Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эффекты коронакризиса и новых экономических санкций в цифровой экономике высшее образование и рынок труда. Монография
.pdf
Необходимо отметить, что, не смотря на обилие теоретических подходов
моделирования, многие актуальные для принятия решений в условиях пандемии
факторы все еще остаются не выявленными. Это относится к тем индикаторам,
которые оказывают влияние на распространение заболевания и приводят к
ощутимым различиям в течении эпидемии в разных регионах. Как мы уже
отмечали ранее [56], не следует слепо копировать чужие социальноэкономические решения в условиях эпидемии, поскольку это может привести к
тяжелым последствиям для социума и национального хозяйства. Исходя из
вышеизложенного, в данном разделе были поставлены следующие задачи:
- проведение сравнительного статистического анализа течения
эпидемииCOVID-19 в ее начальной стадии в различных регионах РФ;
- выявление социально-экономических факторов, обусловливающих
основные характеристики распространения заболевания;
- построение вероятностной математической модели, описывающей течение
эпидемиии позволяющей осуществлять его прогнозирование и оценку
достоверности таких прогнозов.
В качестве источников данных использовались материалы сервиса Yandex
DataLens, официального сайта по коронавирусу в РФ, а также данные Росстата по
субъектам РФ [185].
Теоретические основы анализа эпидемии Covid-19. В работах различных
авторов отмечается, что большое количество задач в самых различных
предметных областях могут быть сведены к процессам случайного блуждания
исследуемых субъектов по узлам ориентированного графа. При этом каждый узел
соответствует той или иной группе (кластеру), в которой объединяются
анализируемые субъекты в соответствии с присущими им характеристиками. Это
могут быть, например, клиенты, выбирающие продукцию одного из
конкурирующих производителей [205]; транспортные средства, перемещающиеся
по улицам города между перекрестками, на которых происходит их
скопление [387] и даже студенты, принадлежащие к различным группам по
успеваемости на массовых открытых онлайн курсах [56].
51
В модели эпидемии COVID-19, рассматриваемой в данной работе,
население группируется по состоянию здоровья следующим образом:
I – инфицированные особи, у которых заболевание не выявлено: болеющие
без клинических симптомов, не обращавшие в медицинские учреждения,
ошибочно диагностировано отсутствие заболевания.
H – здоровые и восприимчивые к заболеванию.
A – выявленные активные случаи заболевания.
R – выздоровевшие.
D – летальные исходы.
U – иммунные (лица, невосприимчивые к болезни: переболевшие, в том
числе и неявно, а также привитые).
В дальнейшем численность каждой группы будем обозначать буквой с
соответствующим индексом N
. Относительную долю каждой из групп в
I…NU
населении анализируемого регионаN обозначим как n с индексом, обозначающим
группу: n
I…nU
.
ூܰН
ήήή ܰൌܰ
ܰ
или (1)
݊
ூ݊Н
ήήή ݊ൌͳ
Граф, соответствующий используемой в работе модели, представлен на
рис. 13. Показатели на стрелках – вероятности переходов.
Рис. 13. Граф возможных переходов между группами участников эпидемии
52
При построении графа сделаны следующие предположения, вытекающие из
ܶൌ
I H A R D U
(2)
PII
PHI 0 0 0 0
I
0 PHH 0 0 0 0
H
PIA 0 PAA 0 0 0 A
0 0 PAR
PRR 0 0
R
PID 0 PAD 0 PDD 0 D
PIU 0 0
PRU 0 PUU
U
информации об особенностях протекания болезни, вызванной вирусом SARSCoV-2, содержащиеся на сайтах по коронавирусу в РФ и других странах:
- Выздоровление сопровождается стойким иммунитетом (возможность
повторного заражения формально учитывается вероятностью P
будем полагать P
UH
=0).
, в дальнейшем
UH
- Все выздоровевшие выздоравливают окончательно, то есть возврат
выздоровевших в группу активных случаев (лечение не завершено или
1
заключение о выздоровлении ошибочно) отсутствует
.
- Отдаленные последствия, приводящие к смерти после зафиксированного
выздоровления (переходы между группами R и D) не учитываются
2
.
- Прививки отсутствуют, то есть переходы из группы H непосредственно в
группу U невозможны.
При необходимости указанные выше ограничения могут быть сняты и
модель расширена, однако это приведет к усложнению вычислений. Переходы,
представленные на рис. 13, можно описать с помощью матрицы ܶ размерности 6
ൈ 6, которая с учетом сделанных выше замечаний имеет вид:
В столбцах матрицы (2) стоят вероятности переходов из группы, указанной
в верхней строке, в группу, представленную в крайнем правом столбце, откуда
следует, что сумма всех элементов каждого столбца равна 1. Такие матрицы
принято называть стохастическими [336].
1
При возможности повторных заражений, возможно возникновение автоколебательных процессов – пресловутых
«волн» эпидемии.
2
В действительности подобные ситуации могут возникать, например, вследствие обострения хронических
болезней, спровоцированных заболеванием Covid-19, однако, надежных статистических данных по таким фактам
нет.
53
С помощью матрицы (2) нетрудно сформулировать уравнение для
вероятности P (N
, NH, … , N
I
времени t будет N
, NH, … , N
I
;t)ؠܲሺܺԦǢݐሻؠܲ, что в группах I – U в момент
U
– лиц. Здесь ܺԦൌሼܰூǡǥǡܰሽ– вектор с
U
компонентами, равными численностям соответствующих групп. Выполняя
несложные вычисления по аналогии с подходом изложенным, например, в работе
В. Феллера [239] при выводе уравнений для процессов рождения и гибели,
получим по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование:
డ
ൌܲήሼܶܰെܰሽܶ
డ௧
ஷ
ሺ
ͳሻܲሺǥǡܰͳǡǥǡܰെͳǡǥǢݐሻ (3)
ܰ
Очевидно, что уравнение (3) является аналогом уравнения Колмогорова для
рассматриваемой модели. С помощью (3) можно исследовать различные аспекты
изменения вероятности P(N
, NH, … , NU;t), в частности, определить
I
доверительные интервалы, для всех прогнозов уровней заболеваемости,
летальности и выздоровления, а также провести анализ возможных сценариев
эпидемии и оценить их вероятности. Однако эти результаты уместнее обсудить в
специальной работе, посвященной математическим аспектам рассматриваемой
модели. В данной работе для целей нашего дальнейшего анализа мы ограничимся
выводом на основании (3) уравнений для математических ожиданий
величин݊
ூǡ݊Н
ͳ
ǡήήήǡ݊
. В дискретной форме2 после ряда преобразований имеем:
ሺ
݊
ݐͳሻൌ݊
ூ
ሺ
ݐͳሻൌ݊
݊
݊
݊
ሺ
ݐͳሻൌ݊
݊
ு
݊
ሺ
ݐͳሻൌ݊
ሺ
ݐͳሻൌ݊
ோ
ሺݐሻ
ூ
ሺݐሻ
ሺ
ݐͳሻൌ݊
െܲ
െܲ
ሺݐሻ
ோ
ு
ூ݊ூ
݊
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ܲ
ܲ
െܲ
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ோ݊ோ
ோ݊
ுூ݊ு
െܲ
െܲ
ܲ
ூ݊ூ
݊
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ோ݊
ܲ
െܲ
(4а)
ܲ
ுூ݊ு
ሺݐሻ
ܲ
ூ݊ூ
ሺݐሻ
(4г)
ሺݐሻ
(4д)
ூ݊ூ
ሺݐሻ
ோ݊ோ
ሺ4е)
ሺݐሻ
ሺݐሻ
ሺ4б)
(4в)
При выводе уравнений (4) была использована упомянутая выше
особенность матрицы (2), заключающаяся в равенстве 1 суммы элементов
1
Такой подход за исключением количества анализируемых участников эпидемии аналогичен модели SIR,
описанной выше.
2
Уравнения (4) могут быть записаны в дифференциальной форме аналогично (3). Для этого необходимо
совершить перенос ݊
ሺ
ݐͳሻെ݊
ሾ݊
ு
డ
ሺݐሻ
ሿ՜
ு
ሺݐሻ
˅ˎˈ˅˖ˡ˚˃˔˕˟˖˓˃˅ːˈːˋˢˋпроизвести замену
ಹ
и т.д. для всех остальных уравнений.
డ௧
ு
54
каждого столбца. Кроме этого, дополнительно предполагалось, что: ܲூൌͲ.
Основанием для этого является то, что все тяжелые случаи, заканчивающиеся
летальным исходом, требуют медицинского вмешательства и до летального
исхода фиксируются как активные (переход из группы I в группу A).
Возможность остаться не выявленными имеется у тех, кто болеет без симптомов
или легко, не обращаясь за медицинской помощью, соответственно и летальный
исход для них маловероятен.
Сделаем еще одно вполне обоснованное предположение: исключим
возможность отсроченного формирования иммунитета (в этом случае субъекты из
группы R(выздоровевшие) будут переходить в группу U(иммунные)
непосредственно после выздоровления, не задерживаясь в группе R на время,
необходимое для окончательного формирования иммунитета). Это соответствует
тому, что P
=1, тогда как PRR= 0. Нетрудно видеть, что в этом случае группа U
RU
фактически поглощает группу R, и уравнения (4д) и (4е) можно заменить одним:
ሺ
ݐͳሻൌ݊
݊
ሺݐሻ
ܲ
ோ݊
ሺݐሻ
ܲ
ூ݊ூ
ሺݐሻ
(4ж)
Отметим также, что выделение двух различных групп инфицированных (I) и
активных (А) основывается на предположении о том, что выявляются не все
случае заболевания Covid-19. Поэтому вероятность перехода между этими
группами отлична от 1. В имеющейся статистической информации недостаточно
данных для определения численности группы I. Действительно, как мы отмечали
ранее [56], по Ю.М. Свирежеву вероятность ܲ
ܲ
ூൌܲఈ
можно представить в виде:
ூ
்
ሺ݀
ሻ(5)
ே
Здесь d – вероятность самостоятельного обращения инфицированного к
врачу в единицу времени, Т– количество тестов, проводимых в единицу времени
1
для выявления Covid-19
, наконец, ܲఈ – надежность выявления заболевания –
вероятность ошибки первого рода при диагностике (заболевание имеется, но не
выявлено).
1
В формуле (5) тесты соотнесены с численностью населения.
55
Можно попытаться определить параметры (5), используя уравнение (4в), и
данные по количеству активных случаев и количеству тестов. Так, на рис. 14
представлена доля выявленных случаев Covid-19 в проведенных тестах.
Рис. 14. Доля выявленных заболеваний Covid-19 в проведенных тестах по
состоянию на начало эпидемии, и количество заболевших
Источник: расчеты авторов.
Из рис. 14 хорошо видно самое начало эпидемии (примерно до середины
мая 2020), в котором наблюдался экспоненциальный рост количества заболевших
1
и положительных результатов проведенных тестов
. Его последующая
стабилизация и снижение до некоторого постоянного значения, являются
характерной формой подобных графиков для большинства стран. Для примера на
рис. 14 показаны графики для России и Германии.
Если считать, что концентрация заболевших, определенная для
протестированных групп, может быть распространена на все население РФ, то
несложный расчет, показывает, что количество инфицированных в РФ на
1
Более тщательный анализ показывает, что показатель экспоненциального роста количества заболевших в этот
период, в основном обусловлен экспоненциальным ростом количества проведенных тестов.
56
указанный период должно было составлять примерно 4,25 млн. человек, что
существенно превышает официальные данные порядка 860 тыс. человек. Однако
формула (5) предполагает использование случайной выборки представителей
населения для проведения тестов. На практике же в России и в мире тестируются
преимущественно представители групп риска (контактировавшие с больными,
прибывшие из неблагополучных регионов, имеющие признаки ОРВИ, туристы,
медицинские работники и т.д.), среди которых концентрация заболевших,
естественно, повышена. Такая ситуация с тестированием объясняет полученное
выше расхождение и говорит о том, что для оценки общего числа
инфицированных в стране необходимы отдельные исследования на
представительных выборках всего населения (рис. 15).
Рис. 15. Плотность вероятности распределения доли заболевших SARS-CoV-2 по
странам мира
Источник: расчеты авторов (начало пандемии весна-лето 2020 г.).
Как следует из рис. 15, плотность вероятности доли заболевших среди
протестированных по странам мира демонстрирует большой разброс значений.
Медианное значение по странам мира составляет 3,13 %, среднее – 4,84 %.
57
На рис. 16 представлено количество тестов, проводимое в РФ ежедневно.
Периодические колебания на рис. 15 отражают активность тестирования по дням
недели, связанную, видимо, со сложившейся практикой его проведения. Из
рис. 16 видно, что с 30 мая 2020 г. соотношение
стабилизировалось на среднем
уровне 0,194 %, медианное значение примерно такое же 0,198 %.
Рис. 16. Соотношение проводимых ежедневно тестов и численности населения
РФ в (%) –
Источник: расчеты авторов.
்
ே
(5)
Для устранения проблем с анализом уравнений (4) в условиях отмеченной
выше неопределенности данных по количеству инфицированных, можно
использовать различные упрощающие предположения:
1. Система здравоохранения страны выявляет все случаи заболевания
(точнее, доля не выявленных пренебрежимо мала). В этом случае группа I,
фактически ликвидируется.
2. Соотношение численности инфицированных особей и выявленных
случаев примерно постоянно. Например, для РФ по оценкам выше количество
выявленных зараженных составляет примерно 20-24 % от общего количества
инфицированных.
58
В дальнейшем будем ориентироваться на предположение 2. Для точного
определения соотношения между инфицированными необходимо разрешить
уравнения (4), предварительно определив входящие в них параметры с помощью,
например, регрессионных моделей, анализа медицинской статистики и т.д.
Примеры будут приведены ниже, однако, в целом, это задача для
самостоятельной работы.
Сделаем еще одно замечание. В духе цитированных выше работ [265; 274;
283; 351; 405] предполагалась локальная временная связь между всеми
переменными в уравнениях (4). В действительности это не так. Например, в
момент времени t выздоравливают, лица, инфицированные определенное
количество дней тому назад, точно также, благодаря наличию длительного
инкубационного периода, в момент tвыявляются лица, инфицированные до 14
дней тому назад. Таким образом, уравнения (4) являются уравнениями с
запаздыванием. Текущая численность рассматриваемых групп зависит от их
численности в прошлом. Для учета этого в уравнениях (4) необходимо провести
1
следующие замены
Здесь функции ݂
:
ሺݐሻ
ܲ
ூ݊ூ
ሺݐሻ
ܲ
݊
ሺݐሻ
ܲ
ோ݊
ሺݐሻ
ܲ
ூ݊ூ
ሺ
ݐെ߬ሻ,…,݂
ூ
ሺఛሻ
௧
՜݂
՜݂
՜݂
՜݂
ሺ
ݐെ߬ሻήሺ
ூ
௧
ሺ
ݐെ߬ሻήሺ
௧
ሺ
ݐെ߬ሻήሺ
ோ
௧
ሺ
ݐെ߬ሻήሺ
ூ
ሺ
ݐെ߬ሻ задают плотность вероятности (в
ூ
ሻή݀߬ (7a)
ሺ௧ሻ
ሺఛሻ
ಲ
ሺ௧ሻ
ಲ
ሺఛሻ
ಲ
ሺ௧ሻ
ಲ
ሺఛሻ
ሻή݀߬ (7г)
ሺ௧ሻ
ሻή݀߬ (7б)
ሻή݀߬ (7в)
порядке следования уравнений) времени инкубационного периода (7а), времени
от выявления заболевания до летального исхода (7б), до выздоровления (7в) и
(7г). Последние два времени будут определены на основании имеющихся
статистических данных далее.
1
Для дискретной формы уравнений интегрирование должно быть заменено суммированием. Мы сохранили
интегральную запись из соображений компактности. Таким образ ом, в исходной форме уравнения (4) являются
интегро-дифференциальными уравнениями с запаздыванием.
59
О распределении вероятностей времени инкубационного периода можно
судить по данным сайта о распространении коронавируса в мире. Ориентируясь
на них, мы будем считать, что функция ݂
рис. 17 (разумеется, функция должна включать еще множитель ܲ
ሺ
ݐെ߬ሻ имеет вид, представленный на
ூ
ூ
ͳ,
учитывающий, что выявляются не все лица, у которых инкубационный период
перешел в заболевание).
Рис. 17. Вероятность заражения в зависимости от времени, прошедшего с момента
инфицирования (времени инкубационного периода). Функция приведена без
постоянного для всех точек множителя ܲ
Источник: расчеты авторов.
(5)
ூ
Рассмотрим наиболее важный для распространения эпидемии процесс
перехода здоровых особей популяции в заболевших. При этом дальнейшую
судьбу заболевших пока рассматривать не будем (то есть переходы ܫ՜ܷне
анализируются). Тогда из (4а) и (4б) находим:
ሺݐሻ
ு
ήሺ௧ሻήಹሺ௧ሻ
െ
ሺ௧ሻାሺ௧ሻ
ಹ
ሺ߬ሻ
ூ
ή݀߬
ሺ8а)
ήሺ௧ሻήಹሺ௧ሻ
ሺ௧ሻାሺ௧ሻ
ಹ
. (8б)
ሺ
ݐͳሻൌ݊
݊
ூ
ሺ
ݐͳሻൌ݊
݊
ு
ሺݐሻ
െ݂
ூ
௧
ሺ
ݐെ߬ሻή݊
ூ
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]