Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансово-экономический анализ деятельности гостиницы. Учебное пособие.pdf
или
∑
∑
=
−
⋅
=
f
f
X
i
n
i
i
i
x
1
2
216
3
300200100
222
=
++
=
−
X
. (2.8)
Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации признака в совокупности. Заметим, что используется
средняя квадратическая там, где по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму квадратов индивидуальных значений признака
при их замене на среднюю величину. Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: x
= 100 м; х
1
, = 200 м; х3 = 300 м.
2
Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300) : 3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была
бы равна 3 ∙ 2002 = 120 000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна 1002 + 2002 + 3002 = 140 000 м2.
Правильный ответ дает квадратическая средняя:
(м).
Структурные средние
Для характеристики структуры совокупности применяются особые
показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.
В экономическом анализе наибольшее распространение данные виды
средних получили при изучении потребительского спроса и факторов, его
определяющих.
Модой (Мо) называется чаще всего встречающееся индивидуальное
значение признака в ряду распределения.
Ряд распределения – упорядоченное расположение индивидуальных
значений признака по возрастанию или убыванию.
Мода представляет собой наиболее часто встречающееся или типич-
ное значение. В дискретном ряду мода – это варианта (значение признака)
50
51
с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой при-
( ) ( )
ffff
ff
М
MoMoMoMo
MoMo
MoMo
о
ix
11
1+−−
−+−
−
+=
f
Mo
f
Mo 1−
f
Mo 1+
ближенно считают центральный вариант так называемого модального ин-
тервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (час-
тость). Таким образом, сначала необходимо найти модальный интервал,
а затем в пределах интервала найти то значение признака, которое являет-
ся модой. Решение вопроса состоит в том, чтобы в качестве моды выявить
середину модального интервала. Такое решение будет правильным лишь
в случае полной симметричности распределения либо тогда, когда интер-
валы, соседние с модальными, мало отличаются друг от друга по числу
случаев. В противном случае середина модального интервала не может
рассматриваться как мода. Конкретное значение моды для интервального
ряда определяется формулой
, (2.9)
где xMo – нижняя граница модального интервала;
iMo – величина модального интервала;
– частота, соответствующая модальному интервалу;
– частота, предшествующая модальному интервалу;
– частота интервала, следующего за модальным.
Эта формула основана на предположении, что расстояния от нижней
границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы
модального интервала прямо пропорциональны разностям между числен-
ностями модального интервала и прилегающих к нему.
Мода всегда бывает несколько неопределенной, так как она зависит
от величины групп, от точного положения границ групп.
Мода – это именно то число, которое в действительности встречается
чаще всего (является величиной определенной). В практике имеет самое
широкое применение (наиболее часто встречающийся тип клиента).
Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядо-
ченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значе-
ния варьирующего признака меньшие, чем средний (медианный) вариант,
а другая – большие. Понятие медианы легко уяснить из следующего при-
51
52
мера. Для ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке возрастания
f
S
f
М
e
Me
Me
MeMe
i
x
1
5,0
−
−
∑
+
=
∑
f
5,0
f
Me
или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов ме-
дианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, в ран-
жированных данных о стаже работы семи человек (1, 2, 2, 3, 5, 7, 10 лет)
медианой является четвертая варианта – 3 года. Для ранжированного ряда
с четным числом членов (индивидуальных величин) медианой будет сред-
няя арифметическая из двух смежных вариант. Если в бригаде горничных
из шести человек распределение по стажу работы было таким: 1, 3, 4, 5, 7,
9 лет, то медианой будет значение, равное (4 + 5) : 2 = 4,5 года.
В дискретном ряду медиана там, где накопленная частота больше или
равна ½ всей численности совокупности. В интервальном вариационном
ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах
находим медианный интервал. Медиана делит численность ряда пополам,
следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или
больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности. Если предполагать, что
внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:
, (2.10)
где xMe – нижняя граница медианного интервала;
iMe – величина медианного интервала;
– полусумма частот ряда;
S
– сумма накопленных частот, предшествующих медианному ин-
Me-1
тервалу;
– частота медианного интервала.
Итак, средняя величина отображает объективное свойство явления.
Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними
числами, так как за общими благоприятными средними могут скрывать-
52
53
ся крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных подразделений организации. Необходимо дополнять содержание средних величин
среднегрупповыми и индивидуальными значениями признака.
2.4. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой со-
вокупности называется вариацией признака. Она возникает в результате
того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным
влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Средняя величина, как уже отмечалось, – это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания.
Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения
изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли
они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической
и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет
всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности
далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Термин «вариация» произошел от латинского variation – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие случайную
и систематическую количественные изменения величины исследуемого
признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают
случайную и систематическую вариацию признака. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу
и характер вариации в выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном,
а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных
отдельных единиц Xi к средней измеряется рядом абсолютных, средних
53
54
и относительных показателей. Вариация признака бывает количествен-
max min
R
xx
= −
n
xx
d
∑
−
=
∑
∑
⋅−
=
f
f
xx
d
i
i
(
)
n
xx
∑
−
=
2
2
δ
( )
∑
∑
⋅−
=
f
f
xx
i
i
2
2
δ
ной и качественной (альтернативной). Рассмотрим показатели измере-
ния количественной вариации.
Абсолютным показателем вариации является размах вариации, опре-
деляемый как разность между наибольшим (х
) и наименьшим (x
мах
min
) зна-
чениями признака:
. (2.11)
Данный показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Однако легкость вычислений и простота истолкования обусловили широкое применение данного показателя.
Средние показатели вариации. Чтобы дать обобщающую характе-
ристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака
этих отклонений:
(2.12)
или
. (2.13)
На практике меру вариации более объективно отражает показатель
дисперсии (δ2 – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя
из отклонений, возведенных в квадрат:
(2.14)
или
. (2.15)
54
55
Дисперсия единиц измерения не имеет.
δδ
2
=
( )
2
2
2
22
.
i
i
f
xf
x
x
f
f
x
δ
⋅
⋅
=−=−
∑
∑
∑∑
Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадра-
тическое отклонение:
. (2.16)
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака. Среднее квадратическое отклонение
является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю
представляемую совокупность.
Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить
расчеты:
1. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А,
то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится.
2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А,
то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А2 раз,
а среднее квадратическое отклонение – в А раз.
3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А,
которая в той или иной степени отличается от средней арифметической x,
то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от
средней арифметической. При этом больше на вполне определенную величину – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т. е. на (x–А)2. Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т. е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда А приравниваем к 0 и, следовательно, не вычисляем отклонения, формула расчета дисперсии принимает следующий
вид:
(2.17)
Таким образом, средний квадрат отклонений δ2 равен среднему квад-
рату значения признака минус квадрат среднего значения признака. Изло-
55
56
женный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклоне-
100⋅=
x
R
k
o
100⋅=
x
d
k
d
100⋅=
x
k
v
δ
ния называется способом моментов или способом отсчета от условного
нуля. Он применим при условии равных интервалов.
Средняя величина отражает тенденцию развития, т. е. действие главных причин (факторов), а среднеквадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики ме-
ры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер
рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).
1. Коэффициент осцилляции (относительный размах вариации) отра-
жает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг
средней:
, %. (2.18)
2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усред-
ненного значения абсолютных отклонений от средней величины:
, %. (2.19)
3. Коэффициент вариации:
, %. (2.20)
Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую
характеристику колеблемости всех значений признака в совокупности, ко-
эффициент вариации является наиболее распространенным показателем
колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
При этом исходят из того, что если коэффициент вариации не превыша-
ет 33 %, совокупность считается количественно однородной, а значение
56
57
коэффициента вариации больше 40 % говорит о большой колеблемости
признака в изучаемой совокупности (для распределений, близких к нор-
мальному).
Следует отметить, что, изучая дисперсию интересующего нас призна-
ка в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю
в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов,
характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) при-
знака. Это можно сделать с помощью группировок, подразделив изучае-
мую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. При этом
можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:
общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригруп-
повых дисперсий. Общая дисперсия характеризует вариацию признака,
которая зависит от всех условий в данной совокупности. Межгрупповая
дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает
под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она
характеризует колеблемость групповых (частных) средних около общей
средней. Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную
вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влия-
нием других, не учитываемых факторов и не зависит от условия (призна-
ка-фактора), положенного в основу группировки. При этом общая диспер-
сия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутри-
групповых дисперсий.
Дисперсия альтернативного (качественного) признака. Наряду
с показателями вариации количественного признака приходится опреде-
лять и вариацию альтернативного признака. Альтернативными являются
признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности
и не обладают другие. Например, работники индустрии гостеприимства
подразделяются на мужчин и женщин, имеющих специальное образование
и не имеющих специального образования, имеющих высшее образование
и не имеющих и т. д. При статистическом выражении колеблемости аль-
тернативных признаков наличие изучаемого признака обозначается 1,
а его отсутствие – 0. Доля вариантов, обладающих изучаемым признаком,
обозначается р, а доля вариантов, не обладающих признаком, – q. Следо-
вательно, q + p = 1.
57
58
Среднее значение альтернативного признака определяется по формуле
xf
∑
∑
( )
pq
qp
q
pp
p
f
f
x
x
i
i
=
+
−
+
−
=
⋅
−
=
∑
∑
22
2
2
)
0
()
1(
δ
qp
⋅+⋅
p
x =
==
f
01
pq
+
. (2.21)
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле
. (2.22)
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им. Естественно, что p + q не может быть больше 1, а pq не может быть больше 0,25,
поскольку q = 1 – p.
2.5. ПОКАЗАТЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ
Ряд динамики – временной ряд, где показатели упорядочены во времени, представлены в хронологическом порядке.
В каждом ряду динамики имеется два основных элемента: показатель
времени t; соответствующие ему уровни развития изучаемого явления
(уровни ряда) у.
В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы,
кварталы, месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру)
развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени,
или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ря-
58
59
да являются данные о стоимости основных производственных фондов
гостиницы на 01.01, 01.04, 01.07, 01.10 рассматриваемого года и на 01.01
следующего года. Особенностью моментного ряда динамики является то,
что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть производственных фондов гостиницы, используемых на 01.01 текущего года, продолжает использоваться в течение
данного года и отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому
при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть
повторный счет. Можно сказать, что суммирование уровней моментного
ряда не имеет смысла. Посредством моментных рядов динамики в экономическом анализе изучают товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.
Интервальные ряды динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Примером интервального ряда динамики могут служить данные об
объеме оказанных услуг за отдельные кварталы текущего года. Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень
складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, объем оказанных услуг за первый квартал определяется
как сумма объемов за первые три месяца, а сумма объемов оказанных услуг четырех кварталов дает объем за год. Свойство суммирования уровней
за последовательные интервалы времени позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов.
С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально-экономических явлений осуществляется в следующих основных
направлениях: характеристика уровней развития изучаемых явлений во
времени; измерение динамики изучаемых явлений посредством системы
статистических показателей; выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда); изучение периодических колебаний;
экстраполяция и прогнозирование. Нами подробно будут рассмотрены
лишь первые две задачи.
Уровни ряда. В ряду динамики выделяют начальный уровень ряда
(у1), конечный уровень ряда (уn ), среднее значение уровня ряда (у). Сред-
59
60