Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
11
m
Mm+
−
50001067,6
⋅⋅⋅π
=23,6 м/с.
3
v2=
m
m
1
2
v1=
m
m
1
⋅
2
GR2ρπ
3
80
=
10002
⋅⋅
4
2. Лодка массой М стоит в неподвижной воде. Насколько сместится лод-
ка, если рыбак массой m переместится с кормы на нос лодки. Длина лодки ℓ.
Сопротивлением воды пренебрегайте.
Дано: M; m; ℓ.
L−?
Решение. В системе отсчета, связанной с неподвижной водой или берегом
сохраняется проекция импульса системы рыбак – лодка на горизонтальное направление:
0=Mux+mvx,
где ux ,vx – проекции скоростей лодки и рыбака на горизонтально расположенную ось 0х.
Но vx=ux+vx′, где vx′ − проекция скорости рыбака относительно лодки, поэтому
0=Mux+m(ux+vx′) или 0=(M+m) ux+ mvx′.
Умножим обе части последнего уравнения на ∆t – время перемещения
рыбака с кормы на нос, тогда с учетом того, что ux∆t=L – перемещение лодки
относительно берега, vx′∆t=ℓ – перемещение рыбака относительно лодки равно
длине лодки, имеем:
откуда находим
0=(M+m)L+ mℓ,
L= −
⋅ℓ.
71
Знак “−” указывает на то, что лодка перемещается в направлении, проти-
2
m
MM+
воположном перемещению рыбака.
3. Тележка массой 0,8 кг движется по инерции со скоростью 2,5 м/с. На
тележку с высоты 50 см падает кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к
ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю при этом ударе.
Дано: M = 0,8 кг; v = 2,5 м/с; h = 0,5 м; m = 0,2 кг; g = 10 м/с2.
Q = ?
Решение: Так как кинетическая энергия куска пластилина в момент удара
о тележку равна его потенциальной энергии на высоте h, то полная энергия сис-
темы ″пластилин + тележка″ в момент удара куска пластилина равна
1
Е
= mgh +
1
Mv2.
Поскольку пластилин после удара о тележку прилипает к ней, то удар неупругий. В момент удара куска пластилина его скорость направлена вертикально, т.е. перпендикулярно направлению движения тележки, и поэтому «сила
удара» куска пластилина направлена также вертикально. Применяя закон со-
хранения импульса системы ″пластилин + тележка″ в горизонтальном направлении, имеем:
Mv = (M+m)u,
где u – скорость системы ″пластилин + тележка″ после прилипания пластилина.
Из последнего выражения находим
u =
v.
72
Теперь можем записать выражение для энергии системы ″пластилин + тележка″
2
21m
M
+
2
21m
M
+
2
m
Mm+
2
после прилипания пластилина:
Е2 =
(M+m)u2.
Подставляя в последнее уравнение выражение для u, имеем:
1
2
Е
2
=
M
v2.
Искомую величину Q найдем, применяя закон полной энергии для системы
″пластилин + тележка″:
Q = Е1 – Е2 = mgh +
1
Mv2 −
M
2
v2 =
= mgh +
1
Mv
2
= 0,2⋅10⋅0,5 +
1
0,8⋅2,52⋅
2,0
= 1,5 Дж.
2,08,0
+
4. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по
горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости
пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны
vпл =15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Ко-
эффициент трения скольжения между бруском и столом µ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их
скорость уменьшится на 30 %?
Дано: vпл =15 м/с; vбр = 5 м/с; М/m = 4; µ = 0,17; u = 0,7 u0; g = 10 м/с2.
S = ?
73
Решение: Обозначим: m – масса куска пластилина, М – масса бруска, vпл и
m
M
+
−
m
1
4
+
−
⋅
х
бр
пл
M
m
х
0
б)
vбр – скорости куска пластилина и бруска перед ударом, u0 – начальная скорость бруска с прилипшим к нему пластилином, на рисунке а) – до столкновения бруска и куска пластилина, б) – после столкновения. Направления скоростей указаны стрелками.
v
v
а)
u
M+m
Согласно закону сохранения импульса:
Mvбр + mvпл = (M+m)u0.
При выбранных направлениях скоростей данное векторное уравнение в
проекции на ось 0х примет вид
− Mvбр + mvпл = − (M+m)u0,
Откуда выражаем u0 и находим его значение
M
vv
−
плбр
=
1554
= 1 м/с.
u0 =
mvMv
плбр
=
m
M
1
+
Знак «+» значения u0 указывает на то, что после столкновения система кусок
пластилина + брусок движутся в указанном на рисунке направлении, т.е. в направлении отрицательной полуоси 0х.
В момент, когда скорость системы кусок пластилина + брусок уменьшит-
ся на 30 %, ее скорость u будет составлять 0,7 от первоначального значения u0,
74
т.е. u = 0,7 u0. Согласно закону полной энергии изменение механической энер-
2
2
(
)
гии системы равно работе сил трения:
+
0
−
u)mM(2+
= µ(M+m)gS,
2
u)mM(
откуда выражаем искомую величину S и вычисляем ее значение
2
u7,0u
0
=
g2
µ
2
u51,0
0
=
g2
2
151,0
⋅
1017,02
⋅⋅
= 0,15 м.
S =
22
uu
−
0
g2
µ
=
2
−
0
µ
3.2 Задания для 10 класса
Задание 1-3-10. Механическое движение (повторение)
Кинематика и динамика материальной точки. Законы сохранения в меха-
нике.
Условие равновесия тела при отсутствии вращения. Момент силы. Центр
тяжести. Центр масс. Условие равновесия тела с неподвижной осью вращения.
Рычаг.
Давление жидкости. Принцип действия гидравлического пресса. Закон
Архимеда. Условие плавания тел. Уравнение непрерывности. Уравнение Бернулли.
01. К правому концу стержня длиной 30 см прикреплен шар радиусом
6 см, масса которого вдвое больше массы стержня. На каком расстоянии от левого конца стержня находится центр тяжести системы?
02. Два человека несут однородную балку массой 80 кг и длиной 5 м. Один
человек поддерживает балку на расстоянии 1 м от ее конца, а второй держит
противоположный конец балки. Определить величину сил, с которой балка
действует на первого человека.
75
03. Сплошной однородный цилиндр высотой 20 см и диаметром основания
0,4 м плавает на поверхности воды. Какую наименьшую работу надо совершить
для полного погружения его в воду? Плотность материала цилиндра вдвое
меньше плотности воды. Трением о воду пренебречь.
04. С какой скоростью должна двигаться вода в трубе сечением 10 см2,
чтобы в течение часа через поперечное сечение протекало 1,8 м3 жидкости?
05. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на
0,2 м, а большой поднимается на 0,01 м. С какой силой действует на пресс зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила 50 Н?
06. Рычаг имеет массу 500 г. Длина рычага 1 м. Короткое плечо имеет дли-
ну 40 см. Какой минимальный вес нужно подвесить к короткому плечу, чтобы
рычаг был в равновесии?
07. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась
стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью v1 = 600 м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью v2 =
580 м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?
08. Мяч ударяется о вертикальную стенку, движущуюся со скоростью u =
1 м/с. Скорость мяча перед ударом равна v = 5 м/с. Направления скоростей мяча
и стенки совпадают. Определите, какую часть кинетической энергии η = ∆Е/Е
потеряет мяч, если столкновение является упругим.
09. Самолет массой m = 1 000 кг летит горизонтально на высоте h =
1 200 м со скоростью 50 м/с. При выключенном моторе он планирует и дости-
гает земли со скоростью 25 м/с. Определить силу сопротивления воздуха, если
длина спуска 8 км.
10. Два стержня пересекаются под углом 2α и движутся с равными скоро-
стями v перпендикулярно самим себе. Какова скорость u точки пересечения
стержней?
11. По горизонтальной поверхности мальчик катит две связанные веревкой
тележки, каждая весом Р = 500 Н, с ускорением а = 0,9 м/с2. Каково натяжение
76
верёвки, связывающей тележки? Угол между горизонтом и веревкой α = 450.
Коэффициент трения µ = 0,3.
12. При ударе шарика о идеально гладкую поверхность теряется 1/3 его
кинетической энергии W. Зная, что угол падения 450, определить угол отражения.
13. Биллиардный шар налетает на точно такой же похожий шар. Определите, под каким углом могут разлетаться шары в результате абсолютно упругого соударения.
14. Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе 2,59 Н, а в воде
2,17 Н. Определите объем внутренней полости шара.
15. Уклон участка шоссе равен 1 м на каждые 20 м пути. Спускаясь под
уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Определите мощность двигателя автомобиля, поднимающегося
по этому уклону с той же скоростью. Масса автомобиля 1,5 т. Ускорение свободного падения 10 м/с2.
16. Пуля, обладающая некоторой начальной скоростью, направленной горизонтально, пробивает доску толщиной d = 3 см и продолжает полет со скоростью в n = 0,75 раз меньше начальной. Определите максимальную толщину
доски, которую может пробить пуля, если сила сопротивления доски не зависит
от скорости пули.
17. Железнодорожная платформа с жестко закрепленным на нем орудием
движется со скоростью 18 км/час. Орудие развернуто под углом 450 к линии
движения, а его ствол возвышается над горизонтом под углом 450. Из орудия
выстреливается снаряд массой 100 кг с начальной скоростью 500 м/с. Найдите
скорость платформы после выстрела, если масса платформы с орудием равна
15⋅103 кг.
18. Сила F = 12 H, действовавшая на покоящееся в начальный момент тело
в течение t = 2⋅10-2 с, сообщила ему кинетическую энергию Е1 = 4 Дж. Определите кинетическую энергию второго такого же тела по прошествии того же
77
времени, если начальная скорость тела v0 = 10 м/с, а сила действует в направлении этой скорости.
19. По наклонной доске снизу вверх пустили катиться шарик. На расстоянии ℓ = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через время t1 = 1 с и через время t2 = 2 с после начала движения. Определите начальную скорость v0 и
ускорение движения шарика a, считая его постоянным.
20. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по
прямой, проходит первый километр с ускорением а1, а второй – с ускорением
а
. При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 м/с, а на
2
втором километре – на 5 м/с. Найдите значения ускорений а1 и а2.
А01. Тело брошено под углом α = 600 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 20 м/с. На какой высоте вертикальная проекция скорости равна горизонтальной?
А02. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка.
Большой осколок, масса которого составляла 60 % массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной
25 м/с. Найдите скорость меньшего осколка.
А03. Акробат прыгает на сетку с высоты h1 = 2 м. При этом сетка прогибается на величину х1 = 1 м. Считая силу упругого сопротивления сетки прямо
пропорциональной ее прогибу и пренебрегая массой сетки, найдите максимальную величину прогиба сетки, если акробат будет прыгать на нее с высоты
h2 = 4 м.
А04. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 м/с. На сколько
возрастёт она на втором километре?
А05. Два одинаковых тела, движущиеся с одинаковыми по величине скоростями, сталкиваются абсолютно неупруго. Какой угол был между скоростями
тел до удара, если в результате столкновения кинетическая энергия уменьшилась на η = 25 %?
78
А06. Вдоль оси 0х движутся две точки: первая − по закону х1 = (4 + 2t), м,
вторая − по закону х2 = (24 − 3t), м. В какой момент времени они встретятся?
Укажите место встречи на координатной оси, считая, что движение начато одновременно. Найдите, с какой скоростью приближаются точки друг к другу.
А07. Теплоход идет от Н.Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно 7 суток. Как долго будет плыть плот от Н.Новгорода до Астрахани? Рассмотрите
идеальный случай, когда стоянки и задержки в движении исключены.
А08. Из начала координат начинают двигаться одновременно две точки.
Первая движется по оси 0х со скоростью 3 м/с, вторая по оси 0у со скоростью
4 м/с. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
А09. Под действием взаимно перпендикулярных сил 3 Н и 4 Н тело перемещается в направлении равнодействующей этих сил на расстояние 15 м. Чему
равна работа равнодействующей?
А10. На какой высоте вес тела будет в 2 раза меньше, чем на поверхности
Земли?
А11. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой планеты 3 г/см3. Определить период вращения
планеты вокруг своей оси.
А12. Определите плотность вещества планеты, сутки на которой равны
24 ч, если на ее экваторе тела невесомы.
А13. Две материальные точки движутся согласно уравнениям
х
= А1t + В1t2 + С1t3 и х2 = А2t + В2t2 + С2t3 ,
1
где А1 = 4 м/с, В1 = 8 м/с2, С1 = -16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 = -4 м/с2, С2 = 1 м/с3.
В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.
А14. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков.
На какое расстояние переместится каждый каток, если платформа передвинется
на 1 м?
А15. Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой 100 кг, вбитую в
грунт. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если известно, что при
79
каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см, а высота поднятия копра 1,5 м.
Удар неупругий.
А16. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми α = 600.
Скорость автомашин v1 = 54 км/ч и v2 = 72 км/ч. С какой скоростью v удаляются
машины одна от другой?
А17. Определить КПД η неупругого удара бойка массой m1 = 0,5 т, падающего на сваю массой m2 = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную
на вбивание сваи.
А18. Пуля массой 10 г попадает в дерево толщиной 10 см, имея скорость
400 м/с. Пробив дерево, пуля вылетает со скоростью 200 м/с. Определите среднюю силу сопротивления, которую испытывает пуля, пробивая дерево.
А19. Тело массой 100 г скользит по плоскости с углом наклона 600 к горизонту. Определить мощность силы трения спустя 1 с после начала скольжения.
Коэффициент трения равен 0,5.
А20. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально со скоростью 103 м/с,
пробивает покоящийся ящик с песком массой 5 000 кг, теряя при этом 75 %
своей энергии. Определить скорость ящика. Трением пренебречь.
А21. Два шара массами m1 = 1 кг, m2 = 3 кг движутся навстречу друг другу
со скоростью v1 = 4 м/с, v2 = 8 м/с. Определить, сколько тепла выделится в результате абсолютно неупругого удара.
А22. Неподвижный конькобежец массой m = 88 кг поймал баскетбольный
мяч массой m2 = 2 кг, брошенный ему со скоростью 27 м/с. Коэффициент трения коньков о лед µ = 0,01. Определить расстояние, которое он проедет на
коньках.
А23. На некотором отрезке пути скорость тела увеличилась с 12 см/с до
13 см/с. Зная, что движение равноускоренное, определите, на сколько возрастёт
скорость тела после того, как будет пройден следующий участок такой же длины?
А24. Камень брошен вертикально вверх с поверхности земли со скоростью
v = 10 м/с и при падении на землю углубился в песок на 10 см вертикально
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]