Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
В53. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики
h
ℓ
v
0
массой m каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2m. Определите
положение центра масс этой системы.
В54. Аэростат поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью
v0 = 5 м/с. К гондоле аэростата привязан на верёвке груз. На высоте h = 30 м верёвку перерезают. Напишите формулу зависимости вертикальной координаты
груза от времени y(t). Координатная ось 0y направлена вверх, а ее начало находится на поверхности Земли. Определите скорость груза в момент падения на
Землю и время его движения до Земли. Ускорение свободного падения принять
равным g = 10 м/с2.
В55. Тело, брошенное вертикально вверх, проходит в первую секунду половину высоты подъёма. Чему равна средняя скорость тела за все время его
движения? Считать, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
В56. Когда гонщик массой 60 кг проходит вираж, его велосипед перпендикулярен к полотну трека и наклонён под углом 600 к горизонту. Найти величину центростремительной силы, действующей на гонщика. Силой трения пренебречь.
В57. Тело начинает скользить по гладкой
поверхности со скоростью v0 = 10 м/с. На пути
v
тела встречается трамплин, верхняя часть ко-
Рисунок 39
торого горизонтальна (рисунок 39). Трение
между телом и поверхностью трамплина отсутствует. Определите высоту
трамплина h, при которой дальность полёта тела ℓ будет максимальной.
В58. Шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. Нить с шариком
отклонили на угол 600 и отпустили. Определить во сколько раз максимальное
значение силы натяжения нити при движении шарика будет больше минимального.
В59. Тело массой m = 1 кг тянут по горизонтальной поверхности с силой
F = 4 Н. Тело движется равномерно, если сила приложена к нему под углом α =
300 к горизонту. С каким ускорением а будет соскальзывать тело вниз по на-
91
клонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 300, если коэффициенты трения тела о горизонтальную поверхность и наклонную плоскость
равны? Считать, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
В60. Центр шара массой 1 г соединен с центром равновеликого шара массой 3 г невесомым cтepжнeм длиной 10 см. Найти величину момента внешней
силы, удерживающей стержень горизонтально, если вся конструкция погружена в жидкость и ее центр масс неподвижен.
В61. В однородном горизонтальном диске радиусом 1 м и массой 6 кг сделан круговой вырез радиуса 0,5 м с центром на расстоянии 0,5 м от центра диска. Определить модуль максимального момента силы тяжести оставшейся фигуры относительно оси, проходящей через центр диска.
В62. Пробка весом 11,76 мН привязана к куску железа весом 114,7 мН.
При погружении в воду их вес стал равен 62,72 мН. Определите плотность
пробки.
В63. Кусок железа массой 11,7 г, связанный с пробкой, масса которой
1,2 г, вместе с ней полностью погружен на нити в воду. Определите плотность
и объём пробки, если сила натяжения нити 62,72 мН. Выталкивающей силой
воздуха пренебречь.
В64. Определите минимальный объём шара, наполненного водородом, который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за время 30 с.
Масса оболочки и корзины 20 кг, плотности воздуха и водорода, соответственно, 1,3 и 0,1 кг/м3. Сопротивлением воздуха пренебречь.
В65. Стальной кубик плавает в ртути. Поверх ртути наливают воду так, что
она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота h слоя воды, если длина
ребра кубика а = 10 см. Определите давление Р на нижнюю грань кубика.
В66. На малый поршень гидравлического пресса давление передаётся с
помощью рычага, плечи которого равны 1,35 м и 0,15 м. К концу длинного плеча рычага приложена сила 200 Н. Площади поршней пресса равны 4 см2 и
400 см2. КПД пресса 80 %. Определите силу давления второго поршня.
92
В67. В колено U-образной трубки площадью поперечного сечения 1 см2,
R/4
R/2
α
2
1
М
содержащей ртуть, налили 7,2 г воды и 20 г бензина. На сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом?
С01. Невесомый стержень, опирающийся на неподвижную призму, находится в равновесии, если к его левому концу прикреплён груз массой М = 3 кг,
а к правому - два груза с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соответственно. На какое
расстояние, и в каком направлении необходимо сместить точку опоры, если
грузы m1 и m2 будут подвешены на нерастяжимой нити к невесомому блоку,
прикреплённому к правому концу (рисунок 40), и начнут двигаться? Длина
стержня ℓ = 0,5 м.
С02. Определите положение центра тяжести однородного диска радиуса R
с двумя вырезанными кругами (рисунок 41). Круги, лежащие на одном диаметре, касаются граничной окружности диска и имеют радиусы R/2 и R/4.
R
m
0
m
Рисунок 40
Рисунок 41
Рисунок 42
С03. Тонкая доска прислонена к брусу, масса которого в n раз больше массы доски (рисунок 42). Коэффициенты трения между доской и поверхностью
µ1, между брусом и поверхностью µ2. Трение между доской и брусом отсутствует. Определите, при каких значениях угла α система находится в равновесии.
При решении предположите, что брус не может опрокинуться.
С04. Пустой цилиндрический стакан с толстыми стенками и тонким дном
плавает в цилиндрическом сосуде с водой, погрузившись на половину своей
высоты, равной 16 см. В стакан наливают некоторое количество масла, плотность которого составляет 4/5 от плотности воды. В результате уровень воды в
93
сосуде повысился на 4 см. Найти разницу между уровнем воды в сосуде и
•
α
β α
уровнем масла в стакане. Толщина стенок стакана в 5 раз меньше его внутреннего радиуса, а внешнее сечение стакана в 2 раза меньше сечения сосуда.
С05. Тонкий однородный цилиндрический стержень верх-
ним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с жидкостью плотностью ρ (см. рисунок 43). Определи-
Рисунок 43
те плотность материала стержня, если в жидкости находится n-1
часть его длины ℓ.
С06. В цилиндрический сосуд с площадью основания S = 400 см2, частично
заполненный водой, пустили плавать шар объемом V = 1 л с полостью внутри,
так, что шар погрузился до половины. На сколько сантиметров повысился уровень воды в сосуде? Какая часть шара будет выступать из воды, если полость
заполнить водой из этого же сосуда? Объём полости составляет 0,4 V.
С07. Грузик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, отводят в
сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают (рисунок 44).При движении грузика вертикальная составляющая его скорости vв сперва возрастает,
затем убывает. Какой угол α с вертикалью образует нить в
тот момент, когда вертикальная составляющая скорости
Рисунок 44
грузика наибольшая?
С08. Небольшое тело массой m соскальзывает с гладкой полусферы радиусом R. На какой высоте оно оторвётся от поверхности полусферы?
С09. На гладкую неподвижную плоскость с углом наклона α налетает
стальной шарик под углом β к плоскости (рисунок 45). При каком значении β
шарик сможет вернуться в точку его первого удара о плос-
кость, если между первым и последним ударом шарик еще
n раз столкнется с плоскостью? Все соударения шарика с
Рисунок 45
плоскостью считать упругими.
С10. Первый вагон, тронувшегося с места поезда, прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t1, а последний ва-
94
гон за время t2. Движение поезда можно считать равноускоренным, а длины ва-
А
F
m
М
ℓ
0
гонов одинаковыми. Найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда
и количество вагонов в поезде.
С11. Полиспаст (рисунок 46) состоит из неподвижного
блока А и из n подвижных блоков. Определите в случае равновесия отношение веса поднимаемого груза Q к усилию Р,
прилагаемому к концу каната, сходящего с неподвижного
блока А.
Q
С12. Тело начинает прямолинейно двигаться из состоя-
Рисунок 46
ния покоя с постоянным ускорением. Спустя время t0 после
начала движения направление ускорения меняется на противоположное, оставаясь неизменным по величине. Определите, через какое время после начала
движения тело вернётся в исходное положение.
С13.Чтобы выложить карниз здания, каменщик кладёт четыре кирпича
один на другой так, что часть каждого кирпича выступает над нижележащим.
Определите наибольшие длины выступающих частей кирпичей, при которых
кирпичи в карнизе еще будут находиться в равновесии без цементного раствора. Длина каждого кирпича равна ℓ.
С14. Лягушка массы m сидит на конце доски массы М и длины ℓ. Доска
плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль
доски. Какой должна быть при этом начальная скорость лягушки v0, чтобы после прыжка лягушка оказалась на другом конце доски?
С15. С отвесной скалы падает камень и через 6 с доносится его стук о Землю. Определите высоту скалы, приняв скорость звука равной 340 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
С16. Брусок массой М = 1 кг и длиной ℓ0 =
1 м находится на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может скользить без
Рисунок 47
трения. На бруске у левого его конца лежит небольшой кубик массой m = 0,2 кг
(рисунок 47). К кубику в горизонтальном направлении приложена некоторая
95
сила F, под действием которой кубик, двигаясь равноускоренно, соскользнул с
F
L/2
L
противоположного конца бруска в тот момент, когда брусок переместился на
расстояние ℓ, равное его учетверенной длине (ℓ = 4ℓ0).Определить коэффициент
трения между кубиком и бруском, если в момент падения кубика скорость бруска v = 2 м/с.
С17. Тело, падающее с вершины башни, пролетело расстояние h = 4 м,
когда второе тело начало падать из точки, расположенной на расстоянии ℓ =
12 м ниже вершины башни. Определите высоту башни, если известно, что оба
тела достигают поверхности земли одновременно.
С18. Тело брошено под углом α = 450 к горизонту. Найдите отношение радиусов кривизны траектории в момент броска и в момент достижения телом
максимальной высоты подъема.
С19. На горизонтально расположенный стержень действуют две парал-
лельные силы, равные по величине F
=2 H и F2 = 6 Н (рисунок 48). Первая сила
1
приложена к левому концу стержня и направлена вертикально вверх, вторая − к середине и направлена вертикально вниз. Определите величину и направление силы,
уравновешивающей силы F1 и F2 а также точку прило-
Рисунок 48
F
2
жения этой силы.
С20. Из миномёта ведут обстрел объекта, расположенного на склоне горы.
На каком расстоянии ℓ будут падать мины, если начальная скорость их v0, угол
наклона горы α, угол стрельбы β по отношению к горизонту?
С21. Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись об него?
Радиус мяча равен r, радиус кольца R = 2r, высота его над полом H = 3 м. Баскетболист бросает мяч с высоты h = 2 м, находясь на расстоянии ℓ = 5 м от
кольца, считая по горизонтали. Изменением скорости мяча за время полета через кольцо пренебречь.
С22. Ширина реки 100 м. На что потребуется больше времени: проплыть
вниз по течению 100 м и вернуться обратно или переплыть реку туда и обратно
96
перпендикулярно к берегам? Скорость пловца в неподвижной воде 50 м/мин, а
M M
2α
М
1
М
М
h
А
В
С
скорость течения реки 30 м/мин.
С23. Тело массой 1 кг, висящее на нити длиной 3 м, отвели в горизонтальное положение и отпустили. Определить кинетическую энергию тела в тот
момент, когда вертикальная составляющая скорости тела максимальна.
С24. Через два блока А и В, находящихся на одной горизонтали на расстоянии АВ = 2ℓ друг от друга, перекинута нить, к
концам которой подвешены два равных груза М
весом по Р. К нити в середине С между блоками
подвешен груз М1 весом Р1 и предоставляют ему
падать без начальной скорости (см. рисунок 49).
Определить наибольшее расстояние h, на которое
Рисунок 49
опустится груз М1, предполагая, что длина нити достаточно велика и Р1 < 2Р.
Размерами блоков пренебречь.
С25. Пассажир первого вагона поезда длины ℓ прогуливался по перрону.
Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал двигаться с ускорением
а. Пассажир сразу же побежал со скоростью v. Через какое время t он догонит
свой вагон?
m
С26. На горизонтальной доске стоят два
одинаковых кубика массой М каждый. Между кубиками
вставляют идеально гладкий клин массы m с углом при
Рисунок 50
вершине 2α (см. рисунок 50). С каким ускорением будут двигаться кубики,
если коэффициент трения между кубиками и доской равен µ?
С27. Небольшое тело массы m соскальзывает без трения с вершины полусферы радиуса R, лежащей на горизонтальной плоскости. На какой высоте h
тело оторвётся от поверхности сферы?
С28. Когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него за время t1 прошел предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо пассажира
за время t2. Определите время, на которое опоздал пассажир к отходу поезда,
97
если он вбежал на платформу в месте стоянки начала поезда. Поезд движется
v
М
ℓ
m
1
2
3
L L
α α
h
T
v
y
α
равноускоренно, длина вагонов одинакова.
С29. Брусок массой m = 0,1 кг находится на левом конце доски, масса которой М = 1 кг, а длина ℓ =
0,5 м (рисунок 51). Коэффициент трения между бру-
Рисунок 51
ском и доской µ = 0,5. Доска находится на гладкой
горизонтальной поверхности и может перемещаться по ней без трения. Летевшая горизонтально пуля попадает в брусок и застревает в ней. Масса пули m1 =
5 г. Определите минимальную скорость пули, при которой брусок сможет соскользнуть с доски. Размерами бруска можно пренебречь.
Примеры решения задач
1. Шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой
угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда проекция скорости шарика на вертикальное направление наибольшая?
Дано: α0 = 900; vy = v
y max
.
y
α−?
g
Решение. В начальный момент
(положение 1 на рисунке) скорость
шарика равна нулю. Значит, равна
нулю и проекция скорости на верти-
v
2
v
mg
кальную ось 0у. В положении 2 вертикальная составляющая скорости снова
равна нулю, так как вектор скорости v2 направлен горизонтально. Следовательно, по мере движения шарика из положения 1 в положение 2 вертикальная проекция скорости vy сначала увеличивается, достигая максимального значения, а
затем начинает уменьшаться. Возрастание вертикальной проекции скорости
98
будет продолжаться до тех пор, пока не станет равной нулю вертикальная про-
L
2
екция равнодействующей приложенных к шарику силы тяжести mg и силы на-
тяжения нити Т. В этот момент (положение 3 на рисунке) вертикальная проекция ускорения обратится в нуль, и второй закон Ньютона в проекциях на ось 0у
запишется в виде:
T⋅cosα − mg = 0,
где α − угол между нитью и вертикалью. Натяжение нити Т найдем, воспользовавшись тем, что шарик движется по дуге окружности радиуса L, где L – длина
нити. Уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось, совпадающей с нитью, выглядит так:
2
T − mg⋅cosα = m⋅
v
.
Квадрат линейной скорости v2 шарика найдём из закона сохранения энер-
гии:
m⋅
Учитывая все записанные соотношения, получаем
откуда находим
2
v
=mgh, где h=L⋅cosα (см. рис.), откуда v2=2gLcosα.
3mgcos2α − mg = 0, и 3cos2α − 1 = 0,
cosα =
1
, и α = arccos
3
1
= 550.
3
Эту задачу можно решить, используя математический приём. Как известно, в точках экстремума функции ее производная равна нулю. В произвольном
положении шарика вертикальная проекция скорости равна:
99
vy = v⋅sinα = α⋅α⋅ sincosgL2 .
()(
)
2
dtddt
(
)
R/b4Rb4R
RbRbtR
ε
Приравняем нулю производную от этого выражения:
vy′=
gL
cos2
α
cos2sin
=α+α−
gL
cos2
α
222
1cos3
−α
= 0.
Отсюда вытекает условие: 3cos2α − 1 = 0, совпадающее с найденным ранее.
2. Точка движется по окружности со скоростью, которая меняется по за-
кону v = bt, где b = 0,5 м/с2. Найдите модуль полного ускорения, когда точка
совершит первый оборот после начала движения.
Дано: v = bt ; b = 0,5 м/с2.
а − ?
Решение. Из уравнения v = bt следует, что в начальный момент времени
t = 0 начальная скорость v0 = b⋅0 = 0, и в этот момент угловая скорость ω0 =
v0/R = 0/R = 0, где R – радиус окружности.
Один оборот соответствует повороту на угол 2π рад. Уравнение враща-
1
тельного движения точки ϕ = 2π =
εt2, откуда находим t2 = 4π/ε, где ε − угло-
вое ускорение.
Поскольку тангенциальное ускорение по определению:
dv
а
=
τ
( )
bbt
== , то из аτ = εR, находим ε = аτ/R = b/R.
Нормальное ускорение равно:
2
2
v
а
=
n
2
b
2
t
π
⋅=⋅==
22
π
⋅=
.b4
π=
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]