Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
В27. Какую массу пара в секунду надо подавать в цилиндр, чтобы поршень
3
массой 200 кг, площадью 200 см2 двигался вверх со скоростью 16,6 м/c? Величина силы трения поршня о цилиндр 3 000 Н, атмосферное давление 105 Па. Температура пара 420 К. Молярная масса воды 18 г/моль.
В28. Капля ртути массой 1,36 г введена между параллельными стеклянными пластинками. Какую силу следует приложить для того, чтобы расплющить
каплю до толщины 0,1 мм? Считать, что ртуть абсолютно не смачивает стекло.
Коэффициент поверхностного натяжения ртути 0,5 Н/м.
С01. Сосуд с газом разделён подвижной перегородкой на две части, объёмы которых равны V1 и V2, соответственно (V1 < V2). Температура газа в меньшем объёме t1 = −73 0C, в большем объёме t2 = 527 0C. После выравнивания тем-
ператур перегородка переместилась так, что меньший объём стал равным
V,
где V – объём сосуда. Найдите отношение объёмов V1 / V2.
С02. В начальный момент времени сжатый газ в закрытом цилиндре сечением 100 см2 удерживается на расстоянии 10 см от дна цилиндра подвижным
поршнем, на который действует внешняя сила 103 Н и атмосферное давление
105 Па. Затем внешняя сила убирается, и газ начинает изотермически расширяться. На каком расстоянии по отношению к первоначальному положению
поршень будет иметь наибольшую скорость?
С03. Вертикальный цилиндрический сосуд высотой 50 см разделён на две
равные части тонким массивным поршнем, который может скользить без трения по стенкам сосуда. В частях сосуда находятся равные количества одноатомного газа при температурах, отличающихся в два раза. Стенки сосуда теп-
2
лоизолированы, поршень проводит тепло. На сколько сантиметров сдвинется
поршень после выравнивания температур в сосуде? Теплоёмкостью поршня и
стенок сосуда пренебречь.
121
Примеры решения задач
ρ
10
18
⋅
ρ
10
18
⋅
V
V
ν
ρ
10
18
⋅
1. В стакан налито V = 200 мл воды. Найдите число молей воды, количе-
ство и концентрацию молекул, массу молекулы. Молярная масса воды равна
µ = 18 г/моль.
Дано: V=200⋅10−6 м3; µ=18⋅10−3 кг/моль; ρ=103 кг/м3; NA=6,02⋅1023 моль−1.
ν −? N −? n −? m1 −?
Решение. Число молей ν (количество вещества) равно отношению массы
воды m к ее молярной массе µ. Учитывая, что масса равна m = ρV, имеем:
63
=ν
µ
=
µ
Vm
=
−
1020010
⋅⋅
−
= 11,1 моль.
3
Число молекул воды N найдем, исходя из того, что в одном моле содер-
жится число молекул, равное числу Авогадро NA, согласно выражению:
2363
1002,61020010
⋅⋅⋅⋅
= 6,7⋅1024.
N = νNA =
m
µ
NA =
V
µ
NA =
−
3
−
Концентрация молекул n равна числу молекул, содержащихся в единице
объема:
233
1002,610
⋅⋅
−
= 3,3⋅1028 м−3.
3
n =
N
=
N
mN
A
=
A
V
µ
=
N
µ
A
=
Массу молекулы воды m1 можно определить, разделив массу воды на число содержащихся в ней молекул, используя одно из приведённых ниже соотношений:
122
µ=ρ
µ
3
−
1018⋅⋅
= 3,0⋅10
23
1002,6
−26
кг.
m1 =
m
= . m1 =
NnN
A
N
=
A
2. Со дна водоёма поднимается пузырёк воздуха. У поверхности его диа-
метр оказывается в 1,3 раза большим, чем у дна. Найдите глубину водоёма, если атмосферное давление равно 750 мм рт. ст., а температура воды на поверхности водоёма на 5 градусов выше температуры на дне, равной t1 = 4 0C. Плотности воды ρв = 1 г/см3, ρр = 13,6 г/см3. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
Дано: d2=1,3 d1; ρв=103 кг/м3; ρр=13,6⋅103 кг/м3; Т1=277 К; Т2=282 К;
g=9,8 м/с2; Р0=0,75 м рт. ст.
Н −?
Решение. Давление Р воздуха в пузырьке на дне водоёма равно давлению,
оказываемому на пузырёк со стороны окружающей среды и определяемому как
сумма атмосферного Р0 и гидростатического Рг давлений:
Р = Р0 + Р
г
.
Гидростатическое давление (давление столба жидкости) зависит от глубины погружения Н и рассчитывается по формуле Рг = ρвgH. Следовательно,
давление воздуха в пузырьке на дне водоёма
Р
= Р0 + ρвgH,
1
где Н – глубина водоёма.
А давление воздуха в пузырьке на поверхности равно Р2 = Р0, так как на поверхности водоема Н = 0. Атмосферное давление равно
123
Р
6
6
(
)
(
)
ρ
ρ
= ρрgh,
0
где h – высота столбика ртути.
При подъёме пузырька со дна водоёма термодинамические параметры
воздуха в нём удовлетворяют объединённому газовому закону:
VP
T
22
2
= .
T
VP
11
1
Учитывая, что
V1 =
1
3
πd
и V2 =
1
1
3
πd
,
2
где d1 и d2 − диаметры пузырька воздуха на дне и у поверхности, получаем:
3
dgHP πρ+
1в0
=
T6
1
3
d3,1P π
10
.
T6
2
Решая это уравнение относительно Н, находим:
Н =
( )
Т
3
1
3,1
Т
2
Р
1
− =
ρ
в
0
( )
g
Т
3
1
3,1
− =
Т
2
gh
p
1
g
ρ
в
( )
Т
3
1
3,1
− =
Т
2
h
p
1
ρ
в
3
=
( )
277
3
3,1
282
1
− = 11,8 м.
10
75,0106,13
⋅⋅
3
3. В сосуд с ртутью опустили стеклянную капиллярную трубку. Разность
уровней ртути в сосуде и капилляре равна h = 7,5 мм. Считая несмачивание
полным (краевой угол ϕ = 1800), определите радиус R кривизны ртутного мениска в капилляре. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3, ее коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,5 Н/м. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
124
Дано: h = 7,5⋅10−3 м; ρ = 13,6⋅103 кг/м3; σ = 0,5 Н/м; g = 9,8 м/с2.
R
σ
R
σ
σ
⋅
d4R2σ=σ
R −?
Решение. Давление Лапласа, вызванное кривизной мениска ртути, равно:
2
Р =
,
где R – радиус кривизны мениска в капилляре.
Так как ртуть не смачивает стекло, то она в трубке опускается на такую
высоту h, когда гидростатическое давление, равное ρgh, будет уравновешено
давлением Лапласа:
2
= ρgh,
откуда находим
R =
2
=
gh
ρ
5,02
= 10−3 м = 1 мм.
33
−
105,78,9106,13
⋅⋅⋅⋅
При полном несмачивании радиус R кривизны мениска совпадает с ра-
диусом капиллярной трубки. Значит, радиус капилляра 1 мм.
Примечание. Используя приём решения этой задачи, можно выяснить ус-
ловия, при которых можно носить воду в решете. Допустим, решето имеет систему отверстий диаметром (размером) d = 1 мм. Если вода (σ = 0,07 Н/м) не
смачивает материал решета, то вода в решете будет удерживаться на уровне h,
определяемом условием:
откуда
= ρgh,
125
h =
σ
⋅
вылить через край решета, так как при наклоне решета уровень превысит
. Найдите значение избыточного давления внутри мыльного пузыря
R
σ
4
=
gd
ρ
07,04
= 0,03 м = 3 см.
33
−
108,910
⋅⋅
Таким образом, если в такое решето налить воду, то вода может удерживаться
на максимальном уровне h = 3 см от дна. Причём эту воду из решета не удастся
h = 3 см, и вода будет выливаться сквозь отверстия.
4
радиусом R = 0,5 см. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора σ = 0,04 Н/м.
Дано: R = 0,5⋅10−2 м; σ = 0,04 Н/м.
Р
избыт
−?
Решение. Давление Р внутри мыльного пузыря равно:
где Р0 – атмосферное давление;
Р
– избыточное давление, создаваемое искривленным поверхно-
избыт
стным слоем мыльной воды.
Избыточное давление Р
Р = Р0 + Р
равно удвоенному давлению Лапласа:
избыт
избыт
,
Р
избыт
= 2⋅
,
множитель 2 перед дробью (давлением Лапласа) поставлен потому, что мыльный пузырь имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю.
Итак,
2
126
Р
R
σ
⋅
R
σ
0
1
V2
V
2
избыт
= 2⋅
2
= 2⋅
04,02
= 32 Па.
2
−
105,0
⋅
Значение Р
пании воды при малых R, например, в пузырьках воздуха в воде давление Р
обратно пропорционально радиусу R пузырька. При заки-
избыт
избыт
может быть сравнимо с атмосферным давлением. Правда в этом случае поверх-
2
ность пузырька одинарная, и Р
избыт =
.
5. С азотом произошел процесс, изображенный на рисунке в координатах
P-V. Определите температуру газа Т в этом процессе,
когда его объем равен V = 1,1 л, если масса азота рав-
P
P
1
на m = 0,56 г; Р1 = 100 кПа; V1 = 0,5 л; Р2 = 40 кПа; V2 =
P
1,5 л. Молярная масса азота равна µ = 28 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
V
Дано: Р1 = 100⋅103 Па; V1 = 0,5⋅10−3 м3; Р2 = 40⋅103 Па; V2 = 1,5⋅10−3 м3;
µ = 28⋅10−3 кг/моль; V = 1,1⋅10−3 м3; R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
Т −?
Решение. Процесс, происходящий с газом (см. рисунок), можно выразить
уравнением:
где Р0 – значение давления при нулевом объёме;
α − угловой коэффициент в зависимости P(V).
Запишем это уравнение процесса для состояний 1 и 2:
P = P0 − αV,
P1 = P0 − αV1, P2 = P0 − αV2.
127
Из этих уравнений выразим постоянные α и Р0:
−
−
mR
µ
mR
µ
mR
µ
mR
µ
−
mR
µ
−
−
mR
µ
−
α =
21
; Р0 = Р1 +
VVРР−
12
VVРР−
21
12
⋅V1.
Для промежуточного состояния запишем уравнение процесса и уравнение
Клапейрона-Менделеева:
m
P = P0 − αV, PV =
RT.
µ
Из этих уравнений с учетом выражений для α и Р0 найдём искомую температуру Т:
Т =
V
=
⋅(Р1 +
PV
=
V
VVРР−
21
⋅V1 −
12
⋅Р =
V
⋅(P0 − αV) =
21
VVРР−
12
⋅V) =
V
V
⋅(Р1 +
⋅(Р1 +
21
⋅V1 − αV) =
VVРР−
12
21
⋅(V1 − V) =
VVРР−
12
=
−−
33
⋅⋅⋅
1028101,1
3
⋅⋅
31,81056,0
3
+⋅⋅
10100
33
⋅−⋅
104010100
⋅−⋅
105,0105,1
( )
−−−
33
⋅−⋅⋅
101,1105,0
−−
33
=
= 424 К.
6. Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой 400 кг запол-
нен гелием. Он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17 0С, а давление 105 Па, груз массой 225 кг. Какова масса гелия в оболочке
шара? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению
объёма шара.
Дано: Т = 290 К; Р = 105 Па; µВ = 29 г/моль; µ
М = 225 кг; М
= 400 кг.
об
= 4 г/моль;
Не
mНе = ?
128
Решение: Обозначим силы, действующие на воздушный шар: Мобg - сила
µ
µ
х
A
тяжести оболочки, Мg − сила тяжести груза, mНеg - сила
F
тяжести гелия, заполняющего воздушный шар, FA - сила
Архимеда (см. рисунок). В условиях равновесия воздушного шара векторная сумма перечисленных сил равна ну-
Mg
Mобg
лю:
mHeg
FA + Мg + Мобg + mНеg = 0.
Так как все силы направлены по вертикали, то запишем данное векторное
уравнение в проекции на вертикальную ось 0х с учетом того, что сила Архимеда равна весу вытесненного воздушным шаром воздуха (FA = mВg, где mВ −
масса вытесненного воздушным шаром воздуха):
mВg - Mg - Мобg - mНеg = 0. (*)
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия, заполняющего
воздушный шар, и для воздуха, вытесненного воздушным шаром:
PV =
m
He
RT; PV =
µ
He
m
B
RT. (**)
µ
B
В уравнениях (**) учтено, что для воздуха и гелия в указанных в задаче
условиях давление Р, температура Т и объёмы V – одинаковы. Из уравнений
(**) выразим массу воздуха mВ = m
Не
В
и подставим в уравнение (*):
µ
He
Не
В
g - Mg - Мобg - mНеg = 0,
µ
He
m
откуда и выразим искомую величину mНе:
129
mНе =
+
4
+
P
10
28
⋅
10
⋅
µ
µ
В
Не
ММ
об
=
1
−
29
400225
1
−
= 100 кг.
7. В баллоне находятся 20 кг азота при температуре 300 К и давлении
105 Па. Каков объём баллона?
Дано: m=20 кг; μ=28⋅10−3 кг/моль; R=8,31 Дж/(моль⋅К); Т=300 К; Р=105 Па.
V = ?
Решение: Из уравнения состояния идеального газа
PV =
RT,
µ
где m – масса азота;
μ – его молярная масса;
R – газовая постоянная;
Т − абсолютная температура газа;
V – объём газа, находящегося при давлении Р,
выражаем искомый объём V и вычисляем его значение:
m
m
V =
µ
⋅
RT
=
20
⋅
3
−
= 17,81 м3 ≈ 18 м3.
5
3008,31
Задание 3-3-10. Термодинамика
Внутренняя энергия, способы ее изменения. Работа газа, количество теплоты. Первый закон термодинамики, его применение к процессам в газах. Теплоемкости газа.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]