Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
08. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
09. При какой скорости ходьбы человека, несущего ведро с водой, вода
начнёт особенно сильно выплескиваться? Длина шага 50 см, а период свободных колебаний воды в ведре 0,8 с.
10. Определить модуль разности фаз колебаний двух точек, удалённых от
источника колебаний на расстояния 3,5 м и 2 м, если период колебаний равен
0,25 с, а скорость распространения колебаний 6 м/с.
11. На сколько секунд отстанут часы за 1 час, если период колебаний ма-
ятника возрастёт на 0,1 %?
12. Расстояние между гребнями волн в море 5 м. При встречном движении
катера частота ударов волн о корпус катера 4 Гц, а при попутном 2 Гц. Найти
скорость катера.
13. Подставка совершает в горизонтальном направлении гармонические
колебания с периодом 5 с. Находящееся на подставке тело начинает скользить,
когда амплитуда колебаний достигает 0,5 м. Определить коэффициент трения
между телом и подставкой.
14. Контур состоит из катушки с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора
ёмкостью 10 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения 200 В. Каким будет
ток в контуре в момент, когда энергия контура окажется поровну распределённой между электрическим и магнитным полями?
15. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом
трансформации k = 8 включена в сеть с напряжением U1 = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки R2 = 2 Ом, сила тока в ней I2 = 3 А. Определите напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке и рассеянием магнитного потока пренебречь.
16. Первичная обмотка трансформатора, включённого в сеть напряжением
U1 = 380 В, имеет N1 = 2 400 витков. Какое число витков должна иметь вторичная обмотка этого трансформатора, чтобы при напряжении U2 = 11 В на ее за-
211
жимах передавать во внешнюю цепь мощность Р = 22 Вт? Сопротивление вторичной обмотки R2 = 0,2 Ом. Рассеяние магнитного потока в сердечнике трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
17. Заряженный конденсатор ёмкостью С = 0,5⋅10-6 Ф подключили к катушке с индуктивностью L = 0,01 Гн. Определите минимальное время, через
которое энергия электрического поля конденсатора станет в n = 2 раза меньше
энергии магнитного поля катушки.
18. Длина нити одного из математических маятников на 15 см больше другого. В то время как один из маятников делает 7 колебаний, другой делает на
одно колебание больше. Чему равны периоды колебаний маятников? Чему равны длины маятников?
19. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний контура, если между пластинами воздушного конденсатора, входящего в контур, внести
пластину из диэлектрика (ε = 4), толщина которой вдвое меньше расстояния
между пластинами конденсатора?
20. Радиус некоторой планеты в 2 раза меньше радиуса Земли, а плотность
такая же, как у Земли. Определить отношение периода колебаний математического маятника на этой планете к периоду колебаний того же маятника на Земле.
А01. Груз массой 0,5 кг зажат на горизонтальной поверхности между двумя пружинами с коэффициентом жёсткости 2 500 Н/м. Какой будет амплитуда
колебаний груза, если ему сообщить скорость 3 м/с вдоль оси пружин?
А02. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько
сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
А03. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определить разность
фаз ∆ϕ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн
на расстояниях x1 = 20 м и х2 = 30 м.
212
А04. Как, зная амплитуду скорости v0 и амплитуду ускорения w0, найти
амплитуду А и частоту ω гармонического колебания?
А05. а) При какой длине ℓ период колебаний математического маятника
будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний Т математического маятника
длины ℓ = 1 м?
А06. Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости на пружине жёсткостью 300 Н/м. Амплитуда колебаний равна 4 см. Найти
полную энергию колебательного процесса.
А07. Звуковая волна распространяется со скоростью 346 м/с и частотой
1 кГц. Определить, на каком минимальном расстоянии находятся ближайшие
точки, совершающие колебания в одинаковых фазах.
А08. Определить длину математического маятника, если явление резонанса вблизи поверхности Земли наблюдается при частоте внешнего воздействия
1 Гц.
А09. Полная энергия колебаний в контуре равна 5 Дж. Найти максимальную силу тока в контуре, если индуктивность катушки равна 0,1 Гн.
А10. Один математический маятник имеет период 3 с, а другой 4 с. Каков
период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме
длин данных маятников?
А11. В процессе гармонических колебаний с частотой 3 Гц с амплитудой
2 см тело достигло максимальной скорости. Чему равно в этот момент смещение тела из положения равновесия?
А12. Как изменится период свободных колебаний в колебательном контуре, если конденсатор в нём заменить батареей из двух последовательно соединённых таких же конденсаторов?
А13. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
А14. Определить первоначальную длину математического маятника, если
при увеличении его длины на 3 м период колебаний маятника увеличился в 2
раза.
213
А15. Как, зная амплитуду смещения А и амплитуду скорости v0, найти частоту ω гармонического колебания?
А16. Звуковая волна распространяется со скоростью 346 м с и частотой
1 кГц. Определить на каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах.
А17. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,01 мкФ и
катушки, индуктивность которой составляет 1/90 мГн. На какую длину волны
настроен контур? Сопротивлением контура пренебречь.
А18. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое
время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?
А19. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
А20. Тело совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной для момента времени, когда смещение
тела из положения равновесия составляет половину амплитуды?
А21. Тело совершает гармонические колебания. Определить циклическую
частоту колебаний, если максимальная сила, действующая на тело в процессе
колебаний, равна 5 Н, а максимальный импульс равен 8 Н⋅с.
А22. Во сколько раз скорость распространения первой волны больше скорости распространения второй, если ее длина в 5,4 раза, а период в 2 раза
больше?
А23. Человек, стоящий на берегу моря, определил, что расстояние между
следующими друг за другом гребнями волн 8 м и за минуту мимо него проходят 45 волновых гребней. Определить скорость распространения волн.
А24. К конденсатору, заряд которого 2,5 нКл, подключили катушку индуктивности. Определить максимальный ток, протекающий через катушку, если
частота свободных колебаний образовавшегося контура 40 МГц.
А25. В колебательном контуре параллельно конденсатору присоединили
другой конденсатор, ёмкость второго в 3 раза больше. В результате частота
214
электромагнитных колебаний изменилась на 300 Гц. Найти первоначальную
0
а
частоту колебаний.
А26. За какое время звуковая волна с длиной волны 2 м и частотой 165 Гц
пройдет расстояние 660 м?
А27. Ток в первичной обмотке равномерно увеличивают. По какому закону меняется напряжение во вторичной обмотке?
А28. Почему опасно замыкание хотя бы одного витка вторичной обмотки?
А29. Почему при разомкнутой вторичной цепи энергия, потребляемая
трансформатором, мала? На что тратится эта энергия? Является ли энергия, потребляемая трансформатором на холостом ходу, полезной? Как уменьшают потери?
А30. Радиопередатчик работает на частоте 6 МГц. Сколько длин волн
уложится на расстоянии 10 км по направлению распространения радиосигнала?
В01. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид x = Asinωt, где А = 5 см, ω = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к
началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки U = 10-4 Дж, а возвращающая сила F = +5⋅10-3 H. Определить также фазу колебаний в этот момент
времени.
В02. Шарик, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности и прикреплённый к невесомой горизонтальной пружине, совершает гармонические
колебания с периодом Т = 2 с. Определите период колебаний шарика, если на
расстоянии а/2 (а − амплитуда колебаний) от положе-
а/2
ния равновесия (х0) установить вертикальную стенку
(рисунок 81), от которой шарик абсолютно упруго отскакивает.
Рисунок 81
х
В03. На какую высоту над Землей надо поднять математический маятник,
чтобы период его колебаний возрос на 1 %?
В04. Шарик прикреплён пружиной к вертикальной стенке и может перемещаться без трения по горизонтальной поверхности. Шарик отвели из положения равновесия на х0 = 3 см и сообщили ему начальную скорость, равную
215
v0 = 0,2 м/с. После этого шарик стал совершать гармонические колебания с цик-
лической частотой ω = 5 рад/с. Определите амплитуду этих колебаний.
В05. Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с
амплитудой 10 см, частотой 2 Гц и начальной фазой 300, если полная энергия
колебаний 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчёта времени кинетическая энергия будет равна потенциальной?
В06. Две идеально гладкие наклонные плоскости составляют двугранный
угол. Левая плоскость наклонена к горизонту под углом α, правая под углом β.
Определите период колебаний шарика, скользящего вниз и вверх по этим плос-
костям, если вначале он находился на левой плоскости, на высоте Н.
В07. Шарик совершает гармонические колебания. Найти отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия соответственно на половину и на одну треть амплитуды.
В08. Секундный маятник в вертикально движущемся лифте совершает за
время t = 1 мин N = 100 колебаний. С каким ускорением а движется лифт? Как
направлено это ускорение?
В09. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по
вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком
из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению, если его
отпустить?
В10. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F
, действующей
max
на частицу.
В11. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
В12. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В
момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: х
max
=
1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.
216
В13. Математический маятник с периодом колебаний 1 с и состоящий из
непроводящей нити и металлического заряженного шара массой 0,01 кг, помещён в однородное электрическое поле, где совершает колебания с периодом
0,8 с. Определить заряд шарика, если напряжённость поля 130 В/м. Шарик заряжен отрицательно, а поле направлено вверх.
В14. Определить величину деформации пружинки под действием висящего на ней груза, если период малых колебаний груза равен 0,6 с.
В15. Колебательный контур радиоприёмника настроен на частоту 9 МГц.
Во сколько раз нужно изменить ёмкость переменного конденсатора, чтобы контур был настроен на длину волны 50 м?
В16. Замкнутый контур в виде рамки с площадью S = 60 см2 равномерно
вращается с частотой ν = 20 с-1 в однородном магнитном поле с индукцией В =
20 мТл. Ось вращения и направление поля взаимно перпендикулярны. Определить амплитудное Еm и действующее Е значения ЭДС в контуре.
В17. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое
время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?
В18. На горизонтальной подставке, совершающей гармонические колебания по вертикали, лежит груз. При какой минимальной амплитуде колебаний
груз оторвется от подставки, если период колебаний равен 1,57 с?
В19. Два математических маятника с периодом колебаний 6 с и 5 с одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее
время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?
В20. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1,024 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачиваться под
действием ударов колес о стык рельсов? Длина рельсов 12,56 м.
В21. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний чашки равен 0,4 с. После добавления еще одной гири период колебаний возрос до 0,6 с. Насколько удлинилась пружина после добавления
гири?
217
В22. Груз, подвешенный к вертикально закреплённой пружине, колеблется
с частотой 5 Гц. Насколько окажется растянутой пружина после прекращения
колебаний груза?
В23. Сила тока в колебательном контуре меняется по закону
I = 0,2sin(6 280t), A,
где t – время в секундах.
Найти полную энергию колебаний, если индуктивность контура равна 0,5 Гн.
В24. От вторичной обмотки трансформатора сопротивлением R = 0,1 Ом
питаются 1 000 параллельно включённых ламп мощности Р = 100 Вт каждая,
рассчитанных на напряжение U = 220 В. Определите КПД трансформатора,
пренебрегая рассеянием магнитного потока в сердечнике трансформатора и потерями энергии в первичной обмотке.
С01. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный
момент времени смещение шарика x0 = 4,0 см и он обладает энергией Е =
0,02 Дж. Записать уравнение простых гармонических колебаний шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.
С02. В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка индуктивностью 0,16 Гн и проводник сопротивлением 2 Ом, а также конденсатор
ёмкостью 64 мкФ. Определить силу тока в цепи, если частота его 200 Гц. При
какой частоте наступает резонанс напряжений, и каковы будут при этом сила
тока и напряжение на зажимах катушки и конденсатора?
С03. Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят
за сутки на 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли верно?
С04. Цилиндр массой 0,1 кг с площадью основания 10 см2 плавает в вертикальном положении в жидкости с плотностью 1 г/см3. Его погрузили и отпустили. Определить циклическую частоту колебаний цилиндра.
С05. Математический маятник имеет массу 1 г и заряд 100 нКл. Найти отношение периода колебаний математического маятника к периоду колебаний
218
этого же маятника, внесенного в электрическое поле напряжённостью 300 кВ/м,
силовые линии которого направлены вертикально вниз.
С06. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые одноимённые заряды,
соединены пружиной, жёсткость которой k = 20 Н/м, а длина ℓ0 = 4 см. Шарики
колеблются так, что расстояние между ними меняется от 3 см до 6 см. Найти
заряды шариков.
С07. Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят
за сутки на 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли верно?
С08. Самое высокое место, обжитое человеком на земном шаре, находится
на высоте 5 200 м над уровнем моря (Ронбургский монастырь в Гималаях). На
сколько будут уходить за сутки маятниковые часы, выверенные на этой высоте,
если их перенести на уровень моря?
С09. На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности находится брусок
массой m, связанный двумя пружинами, имеющими одинаковую жёсткость k.
На брусок положили груз массой m1. Максимальная величина коэффициента
трения покоя между бруском и грузом равна µ. На какую максимальную величину от положения равновесия можно сместить брусок, чтобы при последующих колебаниях груз m1 не соскользнул с бруска?
С10. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты ν = 50 Гц,
распространяющийся со скоростью v1 = 330 м/с. При этом на расстоянии от А
до В укладывалось целое число длин волн. Этот опыт повторили, когда температура была на величину ∆Т = 20 К выше, чем в первом случае. Число длин
волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось во втором случае на 2. Найдите расстояние ℓ между пунктами А и В, если известно, что при
повышении температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.
С11. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела массой m
и 3m, связанные пружиной жёсткости k. Определите период колебаний системы
тел после небольшой деформации пружины.
219
С12. Коробка массой М лежит на горизонтальном столе. Коэффициент
трения между столом и коробкой равен µ. Внутри коробки лежит груз массой
m, который может без трения двигаться по дну коробки. Он прикреплен к стен-
ке коробки пружиной с жёсткостью k. При какой амплитуде колебаний груза
коробка начнет двигаться по столу?
Примеры решения задач
1. Материальная точка массой m = 5 г совершает горизонтальные колебания с частотой ν = 0,5 Гц и амплитудой А = 3 см. Определите: 1) скорость v
точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу Fm,
действующую на точку; 3) полную энергию W колеблющейся точки.
в виде
Дано: m = 5 г = 5⋅10−3 кг; А = 3 см = 3⋅10−2 м; ν = 0,5 Гц; х(t).
v(t) −? Fm −? W −?
Решение. Кинематическое уравнение гармонических колебаний запишем
х = А⋅sin(ωt+ϕ),
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
А - амплитуда; (ωt+ϕ) – фаза колебания;
ϕ - начальная фаза;
ω - циклическая частота (ω = 2πν);
t – время.
1) Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения, v = x′ = Aω⋅cos(ωt+ϕ). Исходя из условия задачи, скорость надо вы-
разить через смещение. Для этого исключим время из двух записанных уравне-
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]