Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
Полное ускорение равно:
2
2
2
2
2
2
0
х
y
z
N
α
α
222
aaa =6,3 м/с2.
n
τ
( ) ( ) ( )
2
22
145,014bbb4
+π=+π=+π=+=
3. Квадратная рамка из однородной проволоки, у которой отрезана одна
сторона, подвешена на гвоздь. Найдите тангенс угла между средней стороной и
вертикалью.
Дано: L1 = L2 = L3 = L.
tgα−?
Решение. На рамку действуют сила ре-
акции N и силы тяжести m1g, m2g, m3g, при-
m1g
m2g
ложенные к серединам сторон рамки (см. рисунок). Так как проволока однородная, то
массы сторон рамки равны между собой m1 =
m2 = m3 = m. Сторону рамки обозначим через
а. Приравнивая нулю сумму моментов сил
(условие равновесия) относительно оси, про-
ходящей через точку подвеса (гвоздь) 0, получим уравнение:
a
m1g⋅ αcos
− m2g⋅ αsin
a
a
С учётом того, что x = y – z = a⋅sinα − αcos
уравнение моментов примет вид:
m3g
− m3g⋅x = 0.
и массы сторон рамки равны,
a
mg⋅ αcos
−mg⋅ αsin
a
−mg⋅(a⋅sinα− αcos
a
)=0,
101
откуда получим искомый тангенс угла α:
3
1
S1
S2
L0
0
F1
F2
tg =α .
2
4. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе,
если к длинному плечу рычага, передающего давление на малый поршень, приложена сила F0 = 100 Н, соотношение плеч рычага равно L0/L1 = 9, а площади
поршней пресса соответственно равны S1 = 5 см2 и S2 = 500 см2. КПД пресса η =
0,8.
Дано: F0 = 100 Н; L0/L1 = 9; S1=5⋅10−4 м2; S2=500⋅10−4 м2; η=0,8 (80 %).
F2 −?
F
L
Решение. Сделаем схематический
рисунок гидравлического пресса. Обозначения на рисунке: L0/L1 = 9 – отношение
плеч рычага; F1 и F2 – силы, действующие
на малый и большой поршни, соответственно; S1 и S2 – площади поршней.
Напишем уравнение для гидравли-
ческого пресса:
F
F
S
1
S
2
1
== ,
2
l
2
l
1
где ℓ1 и ℓ2 – перемещения поршней.
Из этого уравнения следует, что F
1ℓ1
= F
, т.е. А1 = F
2ℓ2
шаемая силой F1, действующей на малый поршень, и А2 = F
– работа, совер-
1ℓ1
− работа, совер-
2ℓ2
шаемая силой F2, действующей на большой поршень, равны. Так как гидравлический пресс используется для получения выигрыша в силе, то А2 = А
ставляет собой полезную работу, а А1 = А
работу. А
пол
= А
− полезная и затраченная работы равны только в том случае,
затр
102
представляет собой затраченную
затр
– пред-
пол
когда не учитываются силы сопротивления, действующие в механизмах пресса.
5
В общем случае, как в нашей задаче, КПД пресса равен:
Так как из уравнения гидравлического пресса следует, что
откуда находим
Значение F1 находим из уравнения для рычага: F1L1 = F0L0, т.е. F1 = F
l
l
η=
1
2
А
пол
А
затр
S
2
=
, тогда η =
S
1
F
l
11
F
l
22
S
2
FF η= .
12
S
1
F
1
F
2
l
1
⋅== .
l
2
S
F
1
⋅ ,
F
2
2
S
1
L
0
.
0
L
1
Подставляя выражение для F1 в уравнение для F2, получаем:
S
2
FF η= =
12
S
1
L
S
0
F ⋅⋅⋅η = 0,8⋅100⋅9⋅
0
L
2
S
1
1
500
= 72⋅103 Н = 72 кН.
5. По трубе радиусом R = 1,5 см течёт углекислый газ (с плотностью ρ =
7,5 кг/м3). Определите скорость его течения, если за время t = 20 мин через по-
перечное сечение трубы протекает m = 950 г газа.
Дано: R=1,5⋅10−2 м; ρ=7,5 кг/м3; t=20⋅60 с; m=0,95 кг.
v −?
Решение. Пишем формулу для массового расхода газа, т.е. для массы газа,
протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы:
103
t
m
t
Q ρ== ,
vS
где v – скорость течения газа;
S = πR2 – площадь поперечного сечения трубы, т.е.
m
2
ρπ= ,
vR
откуда находим:
v =
ρπ
m
=
tR
95,0
222
−
= 0,15 м/с = 15 см/с.
6020)105,1(5,7
⋅⋅⋅⋅π⋅
6. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью v = 2 м/с, быстро
перекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку
при внезапной остановке воды, если скорость звука в воде с = 1 400 м/с. Сече-
ние трубы S = 5 см2. Плотность воды ρ = 1 г/см3. Найдите давление на заслонку.
Дано: v = 2 м/с; с = 1 400 м/с; ρ = 103 кг/м3; S = 5⋅10−4 м2.
F − ? Р − ?
Решение. Столкнувшись с заслонкой, часть воды, прилегающая к ней, останавливается, сжимается и возбуждает волну давления, распространяющуюся
навстречу потоку со скоростью звука в воде с. Если бы вода была несжимаема,
то скорость всего потока уменьшилась бы мгновенно до нуля. Однако, благодаря сжимаемости вода продолжает движение, и до нуля падает скорость только
той части столба, которая может быть достигнута волной давления. Выбирая
положительное направление оси в направлении скорости потока v, запишем за-
кон изменения импульса за время ∆t:
0 − mv = 0 − ρ⋅∆v⋅v = 0 − ρ⋅(c∆tS)⋅v = F⋅∆t.
104
Сила, действующая на заслонку:
S
2
2
Fc = − F = ρcvS.
Следовательно, давление на заслонку равно:
Р =
Подставляя числовые значения, найдем:
Fc = ρcvS = 103⋅1.4⋅103⋅2⋅5⋅10−4 = 1 400 Н = 1,4 кН.
Р = ρcv = 103⋅1.4⋅103⋅2 = 28⋅105 Па = 28 атм.
F
c
= ρcv.
Рассмотренное явление внезапного контакта воды с преградой называют
гидравлическим ударом. Разрушительное действие капель также объясняется
этим явлением.
7. Тонкостенный стакан плавает в воде, погрузившись наполовину. Насколько изменится глубина погружения, если стакан поставить в воду вверх
дном. Температура воздуха в стакане постоянна. Высота стакана Н. Атмосфер-
ное давление Р0. Плотность воды ρ. Ускорение силы тяжести g.
Дано: Н; Р0; ρ; g.
∆h −?
Решение. Сделаем рисунок, на котором изобразим положение стакана в
обоих случаях. В позиции (а) стакан плавает, погрузившись на
Н
, и на
Н
край
стакана выступает над уровнем воды. В позиции (в) для перевёрнутого стакана:
на h1 дно стакана выступает над уровнем воды, h2 − разница уровней воды в
стакане и вне стакана.
105
2
2
2
2
1
2
2
Н
h
Н
h
(а)
(в)
1) Для изотермического процесса для воздуха в стакане применяем закон
Бойля – Мариотта:
P1V1 = P2V2, или P0HS = (P0 +ρgh2)(h1 + h2)S,
где S – площадь поперечного сечения стакана.
2) Если записывать условия плавания стакана, то в обоих случаях сила
тяжести стакана mg (m – масса стакана) уравновешивается выталкивающими
силами (Архимеда). Поэтому в качестве второго уравнения записываем:
mg = F
Арх1
= F
, т.е. F
Арх2
Арх1
= F
Арх2
,
или
Н
ρg
S = ρgh2S,
откуда находим
Н
h2 =
.
Н
Подставляем это значение h2 =
в первое уравнение
106
2
2
2
ρ
−
2
2
2
ρ
−
1
упр
х
1
2
1
откуда находим
P0HS = (P0 +ρg
Н
)⋅(h1 +
Н
)S,
h1 =
Н
⋅
gHP2
0
0
.
gHP2
ρ+
А приращение глубины погружения стакана равно (см. рисунок):
1
∆h =
Н
− h1 =
Н
−
Н
gHP2
0
⋅
gHP2
ρ+
0
= H
1
+ .
ρ
P2
0
gH
−
8. Если пережечь нить, связывающую грузы, висящие на резиновом шнуре, то верхний груз 1 придет в движение с ускорением а1 = 5 м/с2
(см. рисунок). Если грузы поменять местами и пережечь нить, то с
каким ускорением а2 придет в движение груз 2? Ускорение силы
тяжести g = 10 м/с2.
g
Дано: а1 = 5 м/с2; g = 10 м/с2.
а2 − ?
Решение. Упругая резина под действием силы тяжести двух грузов растя-
гивается на величину ∆х, определяемую законом Гука F= k⋅∆x = (m1+m2)g.
Когда нить, связывающую грузы 1 и 2 пережигают, то на
F
m1g
верхний груз 1 действуют F
а
рому закону Ньютона (см. рисунок):
m1а1 = F
+ m1g.
упр
и сила тяжести m1g, и по вто-
упр
Это уравнение в проекции на вертикальную ось 0х имеет вид:
107
-m1a1 = -k⋅∆x+m1g.
M
α
ℓ
2
v
1
β
ℓ ℓ
M
С учётом, что k⋅∆x = (m1+m2)g, имеем
-m1a1 = -(m1+m2)g + m1g = - m2g, т.е. m1a1 = m2g
и
Если поменять грузы 1 и 2 местами, то при тех же рассуждениях можно
получить выражение для а2:
a1 =
а
=
2
m
m
m
m
2
g.
1
1
g.
2
Перемножая почленно полученные выражения для a1 и а2, имеем:
a1⋅а2 =
m
m
m
2
1
g⋅
m
1
g = g2,
2
откуда находим
2
g
а
=
2
a
1
2
10
= = 20 м/с2.
5
9. Шар массой М = 1 кг, подвешенный на нити длиной ℓ = 90 см, отводят
от положения равновесия на угол α = 600 и
отпускают. В момент прохождения шаром
положения равновесия в него попадает пуля
массой m = 10 г, летящая навстречу шару
(см. рисунок). Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите
изменение скорости пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в
108
m
v
m
прежнем направлении, отклоняется на угол β = 390. (Массу шара считать неиз-
−
2
(
)
(
)
h
α
менной, диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити).
Дано: ℓ = 0,9 м; М = 1 кг; m = 10−2 кг; α = 600; β = 390; g = 10 м/с2.
∆v = v1 – v2 = ?
Решение. Шар массой М совершает колебания с максимальным углом отклонения α от вертикали (см. рисунок). При этом от
положения равновесия шар поднимается на высоту h,
определяемую из условия:
ℓ-h
ℓ
cosα =
При этом шар положение равновесия проходит со скоростью vα, определяемой из закона сохранения энергии:
После того как шар будет пробит пулей, он отклоняется на угол β. Это означает, что шар в этом случае положение равновесия проходит со скоростью vβ:
l h
Mv
⇒ h = ℓ⋅(1 − сosα).
l
2
α
= Mgh ⇒ vα = gh2 =
αcos1g2 −l .
vβ =
Так как β < α, то из этого мы заключаем, что шар в момент попадания пули
проходил положение равновесия со скоростью vα, направленной навстречу ско-
рости пули v1. После пробивания шара пуля массой m продолжает движения со
109
β− cos1g2 l .
скоростью v2, в том же направлении. Закон сохранения импульса для системы
(
)
m
m
(
)
(
)
(
)
m
(
)
10
0
α
0
v0x
v0y
vy
v
v
x
min
«пуля – шар» в проекции на направление движения пули имеет следующий вид:
Mvα − mv1 = Mvβ − mv2,
откуда находим искомую величину
min
M
= ?
− vv
βα
, = 100 м/с.
∆v = v1 – v2 =
=
=
земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через 2 с в 20 м от места
броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?
M
1
2
−
10. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности
Дано: t = 2 c; S = 20 м.
v
M
=
(
−−−l =
αcos1g2 −l −
βcos1αcos1g2
00
−−−⋅⋅
y
39cos160cos190102
v
v
β− cos1g2 l ) =
g
Решение: Тело, брошенное
со скоростью v0 под углом α к горизонту, находится под действием
силы тяготения к Земле, и движется вертикально вниз (т.е. в сторону отрицательной полуоси 0у) с ускорением g (см. рисунок). Значения проекций начальной скорости v0 на горизонтальную ось 0х и вертикальную ось 0у равны:
v0x = v0⋅cosα;
v0y = v0⋅sinα.
110
S
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]