Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
внутренним, если радиус закругления R =300 м, скорость поезда v =36 км/час и
α
ω
ширина колеи ℓ =1,5 м.
В07. Наибольшее значение силы трения покоя между горизонтальным
диском и расположенным на нем грузом массой m = 1,0 кг равно F
= 3,14 Н.
max
Диск начинает вращаться с частотой ν = 0,5 об/с. Построить график зависимости силы трения груза о диск от расстояния до оси вращения Fтр(R). На каком
максимальном расстоянии R
от оси вращения груз удерживается на диске?
max
В08. Часы отстают в течение суток на 5 минут. Определите отношение линейных скоростей концов стрелок, если длина минутной стрелки (от оси вращения) в n = 2 раза больше длины часовой стрелки.
В09. Тело массой m, прикрепленное к пружине, может без трения скользить по стержню, вращающемуся с
m
постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной
k
оси (рисунок 19). Угол наклона стержня α = 450. Длина
недеформированной пружины ℓ0, жесткость k. Определи-
Рисунок 19
те величину удлинения пружины при вращении системы.
В10. Груз, подвешенный на нити, отклоняют на угол α и отпускают без
начальной скорости. В момент времени, когда нить расположена строго вертикально, ее натяжение в n = 2 раза больше силы тяжести, действующей на груз.
Определите значение угла α.
В11. Вы ведёте автомобиль, когда внезапно видите впереди на расстоянии
ℓ препятствие, которое невозможно объехать. Что в этой ситуации выгоднее:
затормозить или повернуть, не меняя величины скорости. Силу трения в обоих
случаях считайте одинаковой. При обосновании ответа пренебрегайте размерами автомобиля.
В12. Материальная точка равномерно вращается по окружности. Период
вращения равен Т = 4 с. Определите значение отношения величин двух векто-
ров а12/а1, где а12 = а1 – а2; а1 − ускорение точки при t1 = 0 с; а2 − ускорение
точки при t2 = 5 с.
51
В13. В некоторый момент времени скорость тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, образует угол α = -600 с горизонтом. Определите величины тангенциального и нормального ускорения в этот момент.
В14. Первый спутник вращается на расстоянии R от центра планеты, а
второй на расстоянии в 7 раз большем. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?
В15. На диске, который вращается вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой m = 100 г. Шайба соединена с помощью горизонтальной
пружины с осью диска. Если угловая скорость диска не превышает величины
ω1 = 10 рад/с, пружина находится в недеформированном состоянии. При медленном увеличении угловой скорости до величины ω2 = 30 рад/с пружина удлиняется в n = 1,5 раза. Определите коэффициент жёсткости (k) пружины.
В16. На полюсе некоторой планеты тело весит в n = 1,5 раза больше, чем
на экваторе. Период обращения планеты вокруг собственной оси равен Т =
2 часа. Определите плотность планеты, предполагая, что она имеет форму идеального шара.
В17. Два диска, расположенные на одной оси, вращаются с частотой
100 об/с. Пуля, летящая параллельно оси вращения, пробивает оба диска, причём пробоина на втором диске сдвинута относительно пробоины на втором
диске на 240. Расстояние между дисками 45 см. Определите скорость пули.
В18. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1 000 км. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
С01. С увеличением высоты полёта спутника его линейная скорость
уменьшилась с 7,79 км/с до 7,36 км/с. Определите, насколько изменились время
обращения спутника и удалённость его от земной поверхности.
С02. Тело массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити
длиной ℓ = 0,5 м. Ось вращения расположена над поверхностью земли на высоте h = 2 м. При прохождении нижней точки траектории нить обрывается, и тело
падает на землю. Расстояние между местом падения и точкой пересечения с по-
52
верхностью земли перпендикуляра, опущенного из оси вращения, равно S =
10 м. Определите силу натяжения нити при обрыве.
С03. В известном аттракционе ″мотоцикл на вертикальной стене″ мотоцикл движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса
10 м по горизонтальному кругу. Какова при этом должна быть минимальная
скорость движения мотоцикла, если известно, что коэффициент трения скольжения между шинами и поверхностью цилиндра равен 0,24? Как будет двигаться мотоцикл, если скорость станет меньше (больше) найденной?
С04. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью v должен перемещаться наземный наблюдатель, чтобы спутник появлялся над ним каждые 5 ч? Разобрать
случаи, когда направления движения спутника и вращения Земли совпадают и
когда – противоположны. Радиус Земли R = 6 400 км. Ускорение свободного
падения у поверхности Земли g = 10 м/с2.
С05. Точка движется по окружности со скоростью, величина которой меняется со временем t по закону v = b⋅t, где b = 2 м/с2. Определите величину полного ускорения и угол между векторами скорости и полного ускорения в мо-
мент времени, когда точка совершит первый оборот после начала движения.
С06. Тело, находящееся на вершине полусферы радиуса R = 1 м, начинает
соскальзывать по ней без трения. Начальная скорость тела равна нулю. Определите, на какой высоте тангенциальное ускорение скольжения совпадает по величине с нормальным ускорением.
Примеры решения задач
1. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиной ℓ = 25 см, описывает в
горизонтальной плоскости окружность. Скорость вращения гирьки соответствует частоте ν = 2 об/с. Найти натяжение нити и угол, образуемый нитью и вертикалью.
53
Дано: g = 10 м/с2; ν = 2 об/с; ℓ = 0,25 м; m = 0,05 кг.
R
х
α
T
R
Т = ? α = ?
Решение: На гирьку, движущуюся по окружности, действуют две силы –
тяжести и натяжения. Составим уравнение движения, согласно второму закону
Ньютона:
mg + Т = ma.
При движении по окружности тело обладает центростремительным ускорением, которое
определяется следующим выражением:
2
v
а
ц
=
= ω2R.
Оси 0х и 0у для составления уравнения движения в проекциях выберем
так, чтобы ось 0х совпадала с направлением ускорения ац.
Центростремительной силой, действующей на гирьку, является проекция
силы натяжения нити на ось 0х, т.е. Т⋅sinα.
Уравнение движения в проекциях запишется так:
у
mg
Tsinα = mω2R
Tcosα - mg = 0
Выразим радиус окружности через длину нити:
R = ℓsinα.
Тогда
Tsinα = mω2ℓsinα
54
или
T
v
π
T = mω2ℓ.
Угловую скорость ω выразим через частоту вращения: ω = 2πν. Следова-
тельно,
T = mω2ℓ = m(2πν)2ℓ = 0,05(2⋅3,14⋅2)2⋅0,25 = 1,96 Н.
Найдём угол α:
cosα =
mg
=
( )
2gπν
=
2
l
( )
10
2
⋅⋅⋅
= 0,25 и α = arccos0,25.
25,0214,32
2. Спутник равномерно вращается вокруг Земли по круговой орбите. Оп-
ределить время одного полного оборота спутника вокруг Земли Т (период обращения), если высота орбиты (расстояние от поверхности Земли): h1 = 1000 км
и h2 = 100 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 10 м/с2.
Радиус Земли R = 6 400 км.
Дано: h1 = 1 000 км; h2 = 100 км; g = 10 м/с2; R = 6 400 км.
Т1 = ? Т2 = ?
Решение: Обозначим через m – массу спутника, М – массу Земли, R − радиус Земли, r – радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника), r =
R + h, где h – высота орбиты.
По определению период обращения спутника
r2
T =
,
где v – скорость спутника.
55
Взаимодействием спутника с другими планетами и влиянием остатков ат-
r
r
r
r
мосферы пренебрегаем. Тогда на спутник действует только одна сила притяжения к Земле
F = G
,
2
которая согласно второму закону Ньютона F = ma сообщает спутнику ускорение, равное
M
mM
a = G
.
2
В данном случае ускорение направлено всё время перпендикулярно траектории
движения (вектору скорости), т.е. является нормальным или центростремительным ускорением (изменяет только направление вектора скорости). Центростремительное ускорение связано с величиной скорости v и радиусом r орбиты соотношением
2
v
a =
.
Сравнивая два последних выражения и проведя преобразования, получим
M
v =
G .
Подстановка полученного соотношения в выражение для периода обращения
приводит к результату
rr2π
Т =
. (*)
GM
56
Прежде чем переходить к вычислениям, удобно перейти от величин G и M к
R
величинам g и R, численные значения которых хорошо известны. Это можно
легко сделать, вспоминая, что вблизи поверхности Земли
mM
G
= mg.
2
Откуда GM = gR2. Тогда вместо (*) имеем
Т =
. (**)
gR
Подставляя численные значения в первом случае, получим
rr2π
33
10740010740014,32
⋅⋅⋅⋅
= 6 300 с = 1,75 ч.
Т
1
=
rr211π
=
gR
3
⋅
10106400
Во втором случае можно положить r = R, так как h << R. В результате получим
Т
= 2π
2
R
= 2⋅3,14
g
1064003⋅
= 5 000 с = 1,4 ч.
10
3. Часовая стрелка карманных часов имеет длину 10 мм, а минутная −
20 мм. Найдите их угловые скорости, периоды обращения стрелок, линейные
скорости их концов. Найдите угол поворота минутной стрелки и путь, пройденный концом минутной стрелки и перемещение конца минутной стрелки за
15 минут.
Дано: RЧ = 0,01 м; RМ = 0,02 м; t = 900 с.
ωЧ, ωМ, ТЧ, ТМ, vЧ, vМ, α, S, ∆r − ?
57
Решение: Период обращения часовой стрелки и минутной стрелки
π
⋅
π
⋅
2
Т
= 12 ч = 43 200 с = 4,32⋅104 с; ТМ = 1 ч = 3 600 с = 3,6⋅103 с.
Ч
Угловая скорость часовой стрелки и минутной стрелки
ωЧ =
Т
2
=
Ч
14,32
= 1,45⋅10-4 рад/с; ωМ =
4
1032,4
⋅
Т
2
=
М
14,32
= 1,74⋅10-3 рад/с.
3
106,3
⋅
Линейная скорость конца часовой стрелки и конца минутной стрелки
vЧ = ωЧ⋅RЧ = 1,45⋅10-4⋅0,01 = 1,45⋅10-6 м/с.
vМ = ωМ⋅RМ = 1,74⋅10-3⋅0,02 = 3,48⋅10-5 м/с.
Угол поворота минутной стрелки за 15 минут
α = ωМ⋅t = 1,74⋅10-3⋅900 = 1,57 рад.
Путь, пройденный концом минутной стрелки за 15 минут
S = R⋅α = 0,02⋅1,57 = 3,14⋅10-2 м.
Перемещение в пространстве конца минутной стрелки за 15 минут
∆r =
2
M
2
RR + = RM⋅
M
= 0,02⋅1.41 = 0,0282 м.
4. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое
меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусст-
58
T
R
R
венных спутников Марса и Земли
М
, движущихся по круговым орбитам на
Т
З
небольшой высоте?
Дано: МЗ = ММ ⋅10; dМ = dЗ ⋅0,5.
ТМ/ТЗ = ?
Решение: Так как высота полёта спутника мала, то радиус орбиты совпадает с радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона сила тяготения равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение:
2
G
mM
2
v
m
= ,
R
где G – гравитационная постоянная;
m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v =
G .
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота
вокруг планеты со скоростью v:
M
Т =
R2π=π
v
R
R2
=
GM
R
23π .
GM
59
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой
планеты, найдём искомое отношение периодов обращения спутников Марса и
Земли:
Т
М/ТЗ
=
2π :
GM
R
М
3
2π =
М
R
GM
3
З
З
R
R
М
3
М
М
З
М
З
=
3
d
М
d
М
З
З
М
=
М
= 105,0
3
⋅ = 1,1.
Задание 4-3-9. Законы сохранения в механике
Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
Механическая энергия. Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения механической энергии. Механическая работа. Работа силы трения.
Мощность. КПД.
01. На неподвижное тело массой 500 г начинает действовать постоянная
сила 2 Н. Найти кинетическую энергию, которой будет обладать тело через 3 с
после начала действия силы.
02. На горизонтальной поверхности лежит цепь длиной ℓ =1 м и массой
m = 4 кг. Взяв цепь за один из концов, поднимают этот конец на высоту h = 2 м
над поверхностью. Определите работу, которую необходимо совершить при
подъеме.
03. Тело движется вниз по наклонной плоскости с углом 450 градусов с начальной скоростью 6 м/c. На сколько метров уменьшится высота тела к моменту, когда оно остановится? Коэффициент трения равен 1,5.
04. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с и сталкивается
с покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
05. Определить полезную мощность водяной турбины с КПД 90 %, если
вода поступает в нее со скоростью 6 м/с, а выходит из нее со скоростью 1 м/с на
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]