Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
рость при спуске равна начальной скорости при подъеме? Коэффициент трения
ℓ
ℓ
между телом и наклонной плоскостью µ = 0,2. Угол наклона плоскости α = 450.
В19. Легкая тележка может скатываться без трения с наклонной плоскости.
На тележке укреплен отвес (шарик массы m на нитке). Какое направление будет иметь нить отвеса при свободном скатывании тележки? До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости.
С01. Балка массы m = 100 кг висит на трех вертикальных проволоках равной длины, расположенных симметрично (рисунок 14). Средняя проволока стальная, две
Рисунок 14
крайние − медные. Площади поперечного сечения всех проволок одинаковы.
Модуль упругости стали Ec в два раза больше модуля упругости меди Ем. Во
сколько раз увеличится относительное удлинение ε проволок, если, убрав среднюю стальную проволоку, подвесить балку на двух симметрично расположенных медных проволоках? При какой площади поперечного сечения медных
проволок их относительное удлинение не превысит значения ε = 0,001, если
модуль упругости меди Ем = 1011 Па?
С02. Стоя на льду и стараясь остаться неподвижным, человек пытается
сдвинуть с места тяжелые сани за привязанную к ним веревку. Масса саней М =
200 кг, человека m = 80 кг. Коэффициент трения саней о лед µ1 = 0,15, а человека − µ2 = 0,3. Определите минимальный угол наклона веревки к горизонту, при
котором человек сможет решить свою задачу.
С03. Цепочка из n тел одинаковой массы m, соединенных пружинами,
движется вдоль горизонтальной плоскости под действием силы F. Найти силу
натяжения каждой пружины и ускорение, с которым движется цепочка тел, ес-
ли коэффициент трения тел о плоскость равен µ..
С04. К концам легкой нити, перекинутой через блок, укрепленный на динамометре, подвешены два груза массой 0,1 и 0,2 кг. Определите ускорение
грузов, натяжение нити и показание динамометра при условии, что блок вместе
41
с грузами поднимается на динамометре вертикально с ускорением 1,2 м/с2.
α
х
N
тр
Массой блока и динамометра пренебречь.
С05. Через невесомый неподвижный блок перекинута веревка, на одном
конце ее груз массой m = 25 кг, а на другом карабкается обезьяна. С каким ускорением она поднимаются вверх, если груз висит на одной высоте? Масса
обезьяны 20 кг. Через какое время она доберется до блока, если расстояние до
него 20 м?
Примеры решения задач
1. Наклонная плоскость, образующая угол α = 250 с плоскостью горизонта,
имеет длину ℓ = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения.
у
Дано: α = 250; ℓ = 2 м; t = 2 с; g = 10 м/с2.
µ = ?
F
Решение: На тело, скользящее по наклонной
mg
плоскости, действуют силы тяжести, трения, реакции опоры. Составим уравнение движения в векторной форме:
mg + N + Fтр = ma.
Выберем направления координатных осей и запишем уравнение движения
тела в проекциях на оси 0х и 0у:
mgsinα - Fтр = ma; (*)
N - mgcosα = 0. (**)
42
Известно, что сила трения определяется по формуле
−
α
2
t
25
cos21022⋅
⋅
⋅
Fтр = µN.
Найдем силу реакции опоры N из уравнения (**)
N = mgcosα,
т.е. Fтр = µmgcosα.
Подставляя это выражение в уравнение (*), получим
mgsinα - µmgcosα = ma.
Отсюда находим
µ =
asing
= tgα -
α
cosg
a
.
αcosg
Значение ускорения а можно найти из кинематических условий:
2
ℓ =
at
или а =
2l
.
2
Окончательное выражение для коэффициента трения:
22l
µ = tgα -
= tg250 -
αcosgt
= 0,35.
02
2. На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения,
равная 0,1 силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемая мотором, чтобы автомобиль двигался: 1) равномерно; 2) с ускорением 2 м/с2?
43
Дано: M = 1 000 кг; Fтр = 0,1 mg; а = 2 м/с2; g = 10 м/с2.
х
N
F
F1 = ? F2 = ?
Решение: На автомобиль действуют сила тяжести mg,
F
тр
сила реакции опоры N, сила тяги F и сила трения Fтр. Запи-
mg
шем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
F + Fтр + mg + N = ma.
За положительное направление оси 0х примем направление движения автомобиля.
Рассмотрим проекцию уравнения на ось 0х.
В первом случае (при равномерном движении) ускорение равно нулю, по-
этому
F1 - F
тр
= 0.
Следовательно,
F1 = F
= 0,1 mg = 0,1⋅1 000⋅10 = 1 000 Н = 1 кН.
тр
Во втором случае (при движении с ускорением) уравнение запишется так
F2 - F
= ma.
тр
Отсюда
F2 = Fтр + ma = 0,1mg + ma = m(0,1g + a) = 1 000(0,1⋅10 + 2) = 3 000 Н = 3 кН.
3. Дирижабль опускается вертикально с постоянной скоростью. Какое ко-
личество балласта необходимо выбросить, чтобы он стал подниматься с той же
скоростью, если его масса М и подъёмная сила F известны?
44
Дано: М; F; g.
m = ?
Решение: при спуске с постоянной скоростью ускорение равно нулю и,
следовательно, сумма всех сил, действующих на дирижабль, равна нулю (второй закон Ньютона):
Mg – F – F
сопр
= 0,
где F
– сила сопротивления воздуха, направленная вверх (против скоро-
сопр
сти).
При движении вверх сила сопротивления имеет ту же величину (так как
скорость по модулю имеет то же значение), но направлена вниз. Сумма всех
сил, с учетом выброшенного балласта, по-прежнему равна нулю:
(M – m)g – F + F
сопр
= 0.
Решая систему из двух уравнений, находим:
F
m = 2
M .
−
g
4. При растягивании пружины некоторой силой, ее длина равна ℓ1 = 22 см.
При увеличении величины силы в n = 2 раза, длина пружины увеличивается до
ℓ
= 24 см. Определите длину недеформированной пружины.
2
Дано: ℓ1 = 0,22 м; ℓ2 = 0,24 м; F2/F1 = n = 2.
ℓ0 = ?
Решение: Согласно закону Гука
45
F1 = k(ℓ1 - ℓ0) и F2 = k(ℓ2 - ℓ0),
−
1
n
−
−
1
2
−
−
⋅
где k – жёсткость пружины.
Поделив почленно уравнения, имеем
F
2
F
1
= n =
02
,
llll−
01
откуда находим
n
ℓ
=
0
ll
21
=
24,022,02
= 0,2 м = 20 см.
Задание 3-3-9. Кинематика и динамика движения материальной точки
по окружности
Линейная и угловая скорости. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения. Угловое ускорение. Искусственные спутники Земли, первая космическая
скорость. Движение материальной точки по окружности под действием нескольких сил. Движение тел на поворотах.
01. Два бумажных диска насажены на одну ось так, что их плоскости параллельны и находятся на расстоянии 30 см, диски вращаются с частотой
2 000 об/мин. Пуля пробила оба диска так на расстоянии 12 см от оси и отверстия отстоят друг от друга на 6 см считая по дуге. Найти скорость пули.
02. Найти отношение ускорений материальных точек, находящихся на поверхности Земли, на экваторе и на широте 600. Радиус Земли Rз = 6 400 км.
03. Тело брошено под углом α = 300 к горизонту со скоростью v0 = 10 м/с.
Определите радиус кривизны траектории в наивысшей точке подъема.
04. На какой высоте h сила тяжести в n = 2 раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли R = 6 400 км.
46
05. Автомобиль при торможении начинает скользить по дороге так, что
ℓ
α
колеса при этом продолжают вращаться. Верхняя точка одного из колес имеет
скорость относительно земли v1 = 110 км/ч, нижняя точка – скорость v2 =
10 км/ч (направлена вперед по движению). Какова скорость v автомобиля?
06. Груз, висящий на невесомой нерастяжимой нити дли-
ной ℓ = 0,5 м, движется по окружности в горизонтальной
плоскости (рисунок 15). Шнур образует с вертикалью угол α =
450. Определите период вращения тела.
Рисунок 15
07. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от
средней плотности лунного? Принять, что радиус Rз Земли в 390 раз больше
радиуса Rл Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.
08. Две материальные точки равномерно движутся по окружностям, отношение радиусов которых равно n = 3. Определите отношение периодов обращения этих точек, если их ускорения равны по величине.
09. Два тела одновременно начинают движение по окружности из одной
точки в противоположных направлениях. Период обращения 1-го равен 2 с, а
второго – 6 с. Через какой промежуток времени тела столкнутся?
10. Материальная точка равномерно вращается по окружности со скоростью v = 20 м/с. Определите величину изменения скорости материальной точки
за три четверти периода вращения.
11. Какими должны быть радиус обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите и его линейная скорость, чтобы период обращения спутника был равен земному? Как будет восприниматься движение такого спутника
неподвижным наблюдателем, находящимся на Земле? Масса Земли М, ее радиус R, период обращения Земли вокруг своей оси Т, гравитационная постоянная
равна G.
12. Поезд выезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью
v0 = 54 км/ч и проходит путь S = 600 м за время t = 30 с. Радиус закругления R =
1 км. Определите угол α между скоростью движения и ускорением в конце пути, считая движение равноускоренным.
47
13. Горизонтально закрепленный цилиндр, радиус которого R = 0,25 м,
а
R
ω
0
r R
нить
A
0
B
С
В
приводится во вращение грузом, подвешенным на нерастяжимой
нити, постепенно сматывающейся с цилиндра (рисунок 16). В
начальный момент времени груз был неподвижен, а затем стал
опускаться с ускорением а = 2 м/с2. Определите угловую скорость цилиндра в момент времени, когда груз пройдет путь S =
1,2 м. Проскальзывание нити относительно поверхности цилин-
Рисунок 16
дра отсутствует.
14. Тело массой 10 кг движется равномерно по окружности по законам:
S = 2t; ϕ = 5t. Найдите равнодействующую сил, действующих на тело.
15. Катушка с намотанной на нее нерастяжимой нитью может катиться по
горизонтальной поверхности без скольжения (рисунок 17). Нить начали тянуть
в горизонтальном направлении со скоростью v. Определите скорость, с которой
будет перемещаться ось катушки (точка 0). Внешний радиус катушки – R, внутренний – r. Толщиной нити можно пренебречь.
v
v
D
Рисунок 17
А
Рисунок 18
v
16. Плоский диск движется по горизонтальной поверхности (рисунок 18).
Скорости верхней (В) и нижней (А) точек диска равны, соответственно, vВ и vА.
Определите величины скоростей точек С и D, лежащих на диаметре СD, перпендикулярном диаметру ВА.
17. На нити длиной ℓ = 0,5 м подвешен груз. Определите минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо сообщить грузу, чтобы он сделал
полный оборот по окружности.
48
18. Вычислить плотность ρ шарообразной планеты, если спутник движется
вокруг нее по круговой орбите периодом Т = 4 часа на расстоянии от поверхности планеты, равном половине ее радиуса.
19. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом
Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у
поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
20. В цирковом аттракционе мотоциклист едет по внутренней поверхности
вертикального цилиндра радиуса R = 13 м. Определите минимальную скорость,
при которой мотоциклист не упадет вниз, если коэффициент трения между ко-
лесами мотоцикла и поверхностью цилиндра µ = 0,5. При решении рассматривайте систему ″человек + мотоцикл″, как материальную точку.
А01. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью
v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?
А02. Диск катится по дороге без проскальзывания, со скоростью v =
10 м/с. Чему равна величина скорости внешней точки диска относительно дороги, если она находится на расстоянии R от дороги?
А03. При равномерном движении по окружности тело проходит 5 м за
время t = 2 с. Определить величину нормального ускорения an, если период
вращения T = 5 с.
А04. Автомобиль движется со скоростью v = 108 км/ч. Определите нормальное (центростремительное) ускорение верхних точек колес, если их диаметр d = 0,8 м. Скольжения автомобиля по дороге не происходит.
А05. Линейная скорость точек обода вращающегося диска v1 = 10 м/с, а
точек, находящихся на ℓ = 20 см ближе к оси вращения, v2 = 6 м/с. Определите
угловую скорость вращения и радиус диска.
А06. Диаметр задних колес старинного автомобиля в n = 1,5 раза больше
диаметра передних. Определите отношение угловых скоростей вращения колес
при равномерном движении автомобиля.
А07. Шарик массы m подвешен на нити, длина которой ℓ. Шарик равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости (конический маятник).
49
Нить при этом отклонена от вертикали на угол α. Найти время полного оборота
шарика. Ускорение свободного падения g.
А08. Стержень длиной ℓ = 0,8 м вращается с угловой скоростью ω =
8 рад/с вокруг оси, проходящей через стержень и перпендикулярной к нему.
Один из концов стержня движется с линейной скоростью v = 2 м/с. Определите
линейную скорость другого конца стержня.
В01. Поезд движется по закругленному участку пути со скоростью v =
108 км/ч. Путь представляет собой дугу окружности радиусом R = 0,2 км. У
пассажира, находящегося в одном из вагонов, выпал из рук бутерброд. Определите ускорение бутерброда относительно вагона. Сопротивлением воздуха и
отчаянием пассажира пренебречь.
В02. Автомобиль, двигаясь со скоростью v0 = 100 км/ч, выехал на участок
трассы, представляющий собой окружность радиуса R = 1 км. На этом участке
скорость автомобиля равномерно уменьшалась до тех пор, пока он не остановился. Определите величину ускорения автомобиля на середине пути по окружности, если он сделал ровно один оборот по трассе.
В03. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h =
520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
В04. Длина круговой дорожки велотрека 360 метров. Два велосипедиста
ездят по треку во встречных направлениях со скоростями 9 м/с и 15 м/с. Через
какой наименьший промежуток времени после встречи в некотором месте трека
они снова встретятся в этом месте?
В05. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите
на высоте h = 3 200 км над поверхностью Земли. Определить линейную скорость спутника.
В06. Для устранения бокового давления колес поезда на рельсы при движении по закругленным участкам пути наружный рельс укладывают несколько
выше внутреннего. Определите высоту h возвышения внешнего рельса над
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]