Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
ний. Возведя оба уравнения в квадрат, затем, разделив первое уравнение на А2,
AvA
ω
х
А
второе – на А2ω2 и, сложив их, получим:
2
x
2
2
1
+ или
=
22
2
x
+ .
2
A
v
2
( )
2A
2
πν
1
=
2
Решив это уравнение относительно v, найдем
v = ±2πν
22
− = ±2π⋅0,5
22
5,13 − = ± 8,16 см/с.
Знак ″плюс″ соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси абсцисс, знак ″минус″ - в противном случае.
2) Силу F, действующую на точку, найдем из второго закона Ньютона:
F = ma,
где а – ускорение точки, которое определим, взяв производную по време-
ни от скорости:
а = v′ = -Aω2sin(ωt+ϕ) или а = -A4π2ν2sin(ωt+ϕ),
откуда найдём максимальное значение силы
Fm = mam = m⋅A⋅4π2ν2 = 5⋅10−3⋅4⋅π2⋅0,52⋅3⋅10−2 = 1,49⋅10−3 Н = 1,49 мН.
3) Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму кине-
тической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. В данной задаче проще всего найти полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения, так как в этот момент по-
221
тенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся
2
2
2
2
k
k
точки равна максимальной кинетической энергии
1
Wк =
mv
2
.
m
Максимальное значение скорости vm определим, положив в формуле скорости
cos(ωt+ϕ) = 1, тогда vm = 2πνA. Итак, полная энергия
W = Wк =
1
mv
1
2
=
m
m(2πνA)2 =
1
5⋅10−3⋅(2π⋅0,5⋅3⋅10−2)2 = 22,2⋅10−6 Дж.
2. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период ее вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку положили добавочные гири, период
вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина после
увеличения груза? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: Т1; Т2; g.
∆х − ?
Решение. Период вертикальных колебаний чашки с гирями до того, как
был добавлен груз,
m
Т1 = 2π
,
где m – масса чашки с гирями;
k – коэффициент жёсткости пружины.
Пусть масса добавленных гирь ∆m, тогда период колебаний
mm ∆+
Т
= 2π
2
222
.
Вызывающая удлинение пружины ∆х сила равна
xF∆
xgm∆
⋅
∆
k
(
)
4
π
F = k∆х,
отсюда
k =
=
,
где g – ускорение свободного падения.
Возводя выражения для периодов колебаний в квадрат и вычитая одно выражение из другого, получим:
2
m4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
.
Подставим в последнее равенство выражение для k и получим
2
х4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
,
g
откуда находим:
∆х =
2
.
2
2
2
TTg
−
1
3. Найдите относительное изменение длины математического маятника,
необходимое для того, чтобы его период колебаний на высоте h был равен периоду колебаний на уровне моря.
Дано: h; R0.
ε − ?
Решение. При перенесении маятника на более высокий уровень над Землей его период колебаний увеличится, так как ускорение свободного падения
223
уменьшается по мере увеличения высоты. Следовательно, для того, чтобы пе-
0
GM
(
)
GM
∆
−
риод колебаний не изменился, длину маятника следует уменьшить.
Пусть математический маятник длиной L0 на уровне моря колеблется с
периодом
L
Т
= 2π
0
0
,
g
0
где g0 = G
− ускорение свободного падения на уровне моря;
2
R
М и R0 – масса и радиус Земли;
G – гравитационная постоянная.
На высоте h маятник длиной L будет иметь период колебаний
L
M
Т = 2π
, где g = G
g
Согласно условию задачи Т = Т0, поэтому
L
g
L
0
=
или
g
0
.
( )
0
2
RL
00
=
2
hRM+
2
hRL
+
0
,
откуда
Относительное уменьшение длины маятника
ε =
L
L
L
=
L
0
=
0
L
=1 −
0
LL
0
L
L
0
=1 −
( )
0
2
0
( )
hRR+
0
2
0
=1 −
2
hRR+
.
2
2
R
h
0
1
=1 −
2
R
h
0
1
+
1
+ .
224
Далее воспользуемся с известным из математики условием (1+х)n ≈ 1 + nx, при
∆
2
3
х << 1. Для случая, когда h << R0:
2
R
h
0
−+
h
)2(1 = 2
R
0
R
h
.
0
ε =
L
L
= 1 −
0
1
+ ≈ 1 −
4. Шарик совершает гармонические колебания. Найдите отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия, соответственно, на половину и на одну треть амплитуды.
Дано: x = A⋅sinωt; x1 = A/2; x2 = A/3.
v1/v2 − ?
Решение. Предположим, что шарик совершает гармонические колебания
по закону синуса:
x = A⋅sinωt.
Тогда уравнение колебаний скорости будет иметь вид:
v = x′ = Aω⋅cosωt.
Согласно условию задачи в момент времени t1:
А
x1 =
= A⋅sinωt1 и v1 = Aω⋅cosωt1,
а в момент времени t2:
x2 =
А
= A⋅sinωt2 и v2 = Aω⋅cosωt2.
225
Из первой пары уравнений выражаем sinωt1 и cosωt1, возводим в квадрат
4
9
4
4
9
9
и складываем:
sin2ωt1 + сos2ωt1 = 1 =
А из второй пары уравнений выражаем sinωt2 и cosωt2, возводим в квадрат
и складываем:
sin2ωt2 + сos2ωt2 = 1 =
Из последних двух уравнений выражаем
2
+
+
v
1
.
A
ω
2
v
2
.
A
ω
1
1
2
v
1
= 1 −
A
ω
1
3
=
, и
v
A
2
ω
2
= 1 −
1
8
=
,
затем эти уравнения почленно делим и извлекаем квадратный корень:
v
1
v
2
9
3
⋅=
; и
8
4
v
1
v
2
9
3
8
4
63
=⋅=
.
8
2
5. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присоединили
другой конденсатор вдвое большей емкости, после чего частота колебаний в
контуре уменьшилась на ∆ν = 300 Гц. Определите первоначальную частоту колебаний в контуре.
Дано: ∆ν = 300 Гц; С = 2С1.
ν1 −?
Решение. Напишем выражения для частот ν колебаний в контуре в двух
случаях:
226
ν1 =
ую на напряжение
, ν2 =
LC21π
1
,
LC21π
2
где емкость С2 контура во втором случае равна
С
= С + С1 = 2С1 + С1 = 3С1,
2
так как во втором случае к конденсатору ёмкости С1 присоединяют параллельно конденсатор вдвое большей емкости, т.е. ёмкости 2С1.
Согласно условию задачи
∆ν = ν1 − ν2 =
−
LC21π
1
=
LC21π
2
−
LC21π
1
=
C3L21π
1
=
1
−
1 = ν
LC21π
1
3
1
1
−
1 ,
3
откуда находим
1
ν1 = ∆ν
−
1
1
− = 300
3
1
− = 710 Гц.
1
−
1
3
6. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанн
U0 = 3,5 В и силу тока I0 = 0,28 А, соединили последовательно с конденсатором
и включили в сеть с эффективным напряжением UЭ = 220 В и частотой ν =
50 Гц. Какой должна быть ёмкость С конденсатора, чтобы лампочка горела
нормальным накалом?
Дано: U0 = 3,5 В; I0 = 0,28 А; UЭ = 220 В; ν = 50 Гц.
С −?
227
Решение. Электрическое сопротивление R лампочки находим из закона
2
Ома для участка цепи:
U
R =
0
.
I
0
Амплитудное значение напряжения UA в сети равно
UA = U
.
Нормальный накал лампочки будет в случае, когда сила тока через нее
будет равна I0. Тогда согласно закону Ома для цепи переменного тока
I0 =
R
U
A
1
2
+
πν
=
2
C2
U
0
I
0
2
2U
+
( )
πν
,
1
2
C2
откуда находим
С =
1
−
2
1
2
πν
U2
2
I
0
2
2
U
0
−
2
I
0
=
1
502
⋅π
2
2202
⋅
2
28,0
5,3
−
28,0
1
−
2
2
=2,86⋅10−6 Ф=2,86 мкФ.
2
7. Катушка длиной ℓ = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 10−3 м2
включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки
N = 3 000. Найдите сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током ϕ = 600. Магнитная постоянная µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
Дано: ℓ = 0,5 м; S = 10−3 м2; ν = 50 Гц; N = 3 000; ϕ = 600; µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
R −?
228
Решение: Сдвиг фаз ϕ между напряжением и током в данной задаче опре-
RL2R
πν=ω
l
Rl
R
m
деляется выражением:
где
2
L
N
µ= − индуктивность катушки индуктивности.
0
Подстановка соотношения для L в выражение для tgϕ дает:
откуда находим
R =
S
πνµ
ltg
tg
L
=ϕ ,
2
L2
tg
2
SN2
0
=
πν
=ϕ ,
ϕ
πνµ
=
60tg5,0
⋅
SN2
0
327
−−
103000104502
⋅⋅⋅π⋅⋅π
0
= 4,1 Ом.
8. Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колеба-
ния на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
Дано: A = 10 cм; Wк = 0,5⋅W
к макс
.
x = ?
Решение: Запишем уравнение колебаний шарика x(t) и, взяв первую производную по времени от этого уравнения, найдем зависимость скорости от времени v(t):
x = Asinωt; v = Aωcosωt, где ω2 =
k
Кинетическая энергия шарика в момент времени t равна:
229
или k = mω2;
2
2
2
2
m
m
Wк =
mv
=
mA22ω
cos2ωt; W
к макс
=
mA22ω
.
Так как по условию в этот момент времени Wк = 0,5⋅W
, то из выраже-
к макс
ний для кинетических энергий следует, что в момент времени t:
cos2ωt = 0,5 и sinωt =
22
5,01tcos1 −=ω− = 0,707.
Теперь найдем смещение шарика от положения равновесия в момент
времени t:
x = Asinωt = 10 cм ⋅ 0,707 = 7,07 см = 7 см.
9. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, со-
вершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с2. Какова максимальная скорость груза?
Дано: m = 2 кг; k = 200 Н/м; а0 = 10 м/с2.
v0 = ?
Решение: Подставим выражение для циклической частоты ω колебаний
k
пружинного маятника: ω =
в уравнение, связывающее амплитуду ускоре-
ния а0 и амплитуду скорости v0 при колебательном движении:
k
а
= ωv0 =
0
⋅v0.
Затем из полученного уравнения выразим искомую величину – амплитуду
скорости v0 при колебательном движении пружинного маятника и, подставляя
известные параметры, рассчитаем ее значение:
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]