Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
r
2
∫
r
1
()
d
r
2
=
rrf
= F(r2) − F(r1).
dF
∫
r
1
Принято говорить, что в данном случае результат интегрирования не зависит от
пути интегрирования между точками 1 и 2.
Если же f такова, что
fxdx + fydy + fzdz ≠ dF,
то результат интегрирования зависит от пути интегрирования. Это обычно (но
не всегда!) означает, что f есть функция не только от x, y, z, но и от каких-то
других переменных (например, от vx, vy, vz, t и т.д).
Именно поэтому элементарная работа F(r, v, t)dr не является полным
дифференциалом, т.е. F(r, v, t)dr ≠ dA. Это значит, величина работы зависит от
формы траектории (от «формы пути»). Исключение составляет случай, когда F
= F(r) или, что то же самое F = F(x, y, z), а тогда F(r)dr = dФ и тогда
r
2
∫
r
1
()
d
r
2
=
rrF
= Ф(r2) − Ф(r1).
Фd
∫
r
1
Вместо функции Ф(r) удобно использовать функцию U(r) = −Ф(r), где U(r) −
потенциальная энергия.
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении
площадей, объёмов тел, длин дуг кривых, задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения,
работы производимой силой и т.п.
301
t
Δt
t∆∆
dt
dt
t∆∆
dt
dt
R
S
v=
v
=
ср.
vср =
v =
ΔS
dr
r
= r′t
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
при равномерном движении скорость v равна отношению пути S ко
времени t.
v
− средняя скорость равна отношению пути ∆S к промежутку
ср.
времени ∆t, в течение которого этот путь был пройден.
vср − вектор средней скорости перемещения за время ∆t, ∆r − вектор
перемещения.
v − вектор мгновенной скорости равен производной от перемещения по времени.
v =
а
ср
a=
aτ=
dS
=
dv
= S′t
=v′
vd
=v′t
v − модуль мгновенной скорости равен производной от пути по
времени.
а
− вектор среднего ускорения равен отношению изменения ско-
ср
v
рости ∆v к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло.
мгновенное ускорение равно производной от скорости по времени
t
тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту
изменения скорости по модулю и направлено по касательной к
траектории в данной точке.
нормальное (центростремительное) ускорение аn характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру
2
v
а
=
n
кривизны траектории. R − радиус кривизны траектории, v − скорость.
(при равномерном вращении по окружности аn − центростремительное ускорение, R − радиус окружности).
302
R =
∆
2
2
a
2
2
2
lim
R − радиус кривизны в данной точке кривой, ∆ϕ − угол
dSS
→ϕ∆
0
=
ϕ∆
d
между касательными к кривой в точках, отстоящих
ϕ
друг от друга на элементе участка траектории ∆S.
а = an + аτ
a=
+ aa
n τ
22
tgα = an/aτ
х(t)=x0 + v
.
t
0
х(t)=x0 + v
0
.
t +
а − полное ускорение при криволинейном движении;
an, aτ − нормальное (центростремительное) и тангенциальное
(касательное) ускорения, соответственно.
α - угол между векторами полного ускорения и скорости.
кинематическое уравнение равномерного движения со скоростью v0 вдоль оси х, x0 - начальная координата, t - время.
кинематическое уравнение равнопеременного движения
(а=const) вдоль оси х, v0 - начальная скорость. Значения v0
1
at2
и а − положительны, если векторы v0 и а направлены в
сторону положительной полуоси х, и отрицательны в про-
S=v
0
.
t +
at
2
1
v=v0 + a . t
2
2
vv
−
S =
0
2
gt
H =
h(t)=H −
; t =
gt
2
;
v = gt = gH2
тивном случае.
S − путь и v − мгновенная скорость при равнопеременном дви-
жении, v0 − начальная скорость, а − ускорение, t − время.
кинематическое уравнение, связывающее путь S, пройденный
телом за некоторое время, с начальной − v0 и конечной − v скоростями на этом отрезке пути, с ускорением а.
H2
свободное падение (v0 = 0) тела с высоты Н: t − время
;
g
падения; g − ускорение свободного падения; v − скорость
тела в момент достижения поверхности (Земли), h(t) –
высота в момент времени t.
303
y(t) = H −
2
2
t
N
t
ϕ
2
π
ϕ
Т
dtdϕ
dtdω
gt
2
движение тела, брошенного горизонтально со скоро-
;
стью v0 с высоты Н: х0 = 0 и у0 = Н − начальное поло-
х(t) = v0⋅t;
H2
t0 =
; L = v0t0;
жение тела (в момент броска); х(t) и у(t) − уравнения
движения по осям; t0 − время полета; L − дальность по-
g
лета; vx и vy − составляющие скорости v тела по осям
vx = v0; vy = gt;
координат для любого момента времени t во время по-
2
v =
2
vv +
y
x
лета (до удара о поверхность).
vox = v0⋅cosα; v0у = v0⋅sinα;
1
x(t)=vox⋅t; y(t)=voy⋅t−
vx(t)=vox; vy(t) = v
2
v
H=
y0
; t0 =
g2
oy
v2
y0
;
g
gt2;
− gt;
движение тела, брошенного со скоростью v0 под
углом α к горизонту: х0 = 0 и у0 = 0 − начальное
положение тела (в момент броска); vox и voy − проекции скорости v0 по осям; х(t) и у(t) − уравнения
движения по осям; vx(t) и vy(t) − зависимость составляющих скорости по осям от времени t; Н −
2
⋅
L =
0
g
ν=
N
; T=
t
;
ν=T−1; T=ν−1
ω=
; N=
2π
ω = 2πν =
ω =
= ϕ t′
α2sinv
высота подъема, t0 − время полета; L − дальность
полета.
при равномерном вращательном движении: ν − частота вращения, Т − период вращения, N − число оборотов за время t.
ω − угловая скорость при равномерном вращении: ϕ − угол
;
поворота, N − число оборотов за время t; ν − частота вращения, Т − период вращения.
ω − угловая скорость равна производной угла поворота по времени.
ε =
ε − угловое ускорение равно производной угловой скорости по
= ω t′
времени.
304
S=R . ϕ
T
R
2
t
−
2
ε
V
сы
dt
dt
S − путь, пройденный материальной точкой при повороте на угол
ϕ по дуге окружности радиуса R.
2πR
v=ω . R=
=2πRν
at = ε⋅R;
2
an=ω2 . R=
v
=v . ω
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 . t
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 . t +
связь между линейной и угловой скоростями при равномерном вращательном движении
an и at − нормальное (центростремительное) и тангенциальное (касательное) ускорения, соответственно.
кинематическое уравнение равномерного вращения, ϕ0 − на-
чальное угловое положение.
кинематическое уравнение равнопеременного враще-
2
ε ⋅t
ния (ε=const), ω0 − начальная угловая скорость.
ω(t)= ω0 + ε . t
ωω
ε
=
=ϕ
m
ρ=
0
2
2
ωω
−
0
ρ − плотность тела, m − масса, V − объем тела.
р − импульс тела − векторная величина, равная произведению мас
р = m⋅v
m тела на его скорость v.
ω − мгновенная угловая скорость при равнопеременном вращении в момент времени t, ω0 − начальная угловая скорость, ε −
угловое ускорение.
кинематическое уравнение, связывающее угол поворота ϕ с начальной ω0 и конечной ω угловыми скоростями и с угловым
ускорением ε.
F = ma = m
dv
; F =
dp
= p′
второй закон Ньютона: m − масса тела, F − равно-
t
действующая всех приложенных к телу сил, a −
ускорение, p − импульс тела.
305
F = ∑ Fi.
∆
S
R
⋅
M
падения на высоте h над
масса и радиус планеты;
R
иле трения покоя
F21= −F
12
F
= - k∆ℓ;
упр
σ = ε . Е;
принцип суперпозиции для силы − если на рассматриваемое тело
действует несколько сил, то его движение будет таким же, как если
бы на тело действовала результирующая сила, равная векторной
сумме отдельных сил.
третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга
два тела, всегда равны по модулю и противоположно направлены.
закон Гука: сила упругости F
пропорциональна удлинению те-
упр
ла (пружины) ∆ℓ и направлена в сторону, противоположную на-
ε =
;
l
0
F
l
σ=
;
∆ℓ = ℓ− ℓ0
GF
⋅=
правлению перемещений частиц тела при деформации; k − коэффициент пропорциональности (жёсткость пружины); σ − механическое напряжение; S − площадь поперечного сечения образца, к
которому приложена сила F; Е − модуль Юнга (упругости); ε −
относительное удлинение; ℓ0 − начальная длина.
закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к
другу с силой, пропорциональной их массам и обратно про-
mm
2
порциональной квадрату расстояния R между их центрами
21
масс; G − гравитационная постоянная. В такой форме записи
закон справедлив для взаимодействия материальных точек и
однородных тел сферической формы.
Gg(h)
⋅=
1gg(h)
+=
R
2
h)(R
+
2
−
h
сила трения скольжения равна максимальной с
F
=µ . N
тр.
F
, пропорциональной силе нормального давления N (реакции опо-
тр.
g(h) − ускорение свободного
поверхностью планеты, M и R −
g − ускорение свободного падения у поверхности планеты
M
(без учета вращения планеты), т.е.
Gg = .
2
306
r
R
r
;
r
(
)
GM
2
r
2
r
2
2
R
dt
dt
F
=µ
тр.
P = mg
v1 =
ры); µ − коэффициент трения.
F
− сила трения качения: N − сила нормального давления (реак-
тр.
N
.
ция опоры); µ − коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.
P − сила тяжести: m − масса тела, g − ускорение свободного падения.
v1 − первая космическая скорость: M и R − масса и радиус
M
G = gR
планеты, G − гравитационная постоянная, g − ускорение
v = v
1
T = 2π
Т
1
Т
2
mv
Е=
свободного падения на поверхности планеты.
R
местная первая космическая скорость движения по окружности радиусом r. Так как r > R, то v < v1.
R
g
2/1
период обращения спутника по орбите радиусом r
R − радиус планеты; r > R.
2/3
r
R
частная форма третьего закона Кеплера −
2
=
3
r
1
или
r
2
Т
2
3
22π
=
отношение квадратов периодов вращения
двух спутников равно кубу отношения радиусов круговых орбит.
полная энергия Е спутника на круговой
2
- G
mM
= -
mv
2
= -
mgR
2
орбите радиусом r равна сумме кинетиче-
.
v2 = v
1
dv
m
= F − u
= gR2 =
dm
ской и потенциальной энергий.
M
v2 – вторая космическая (или параболическая)
G2 .
скорость, v1 − первая космическая скорость.
уравнение Мещерского (уравнение движения тела с переменной массой). F – геометрическая сумма всех внешних
сил, действующих на ракету, u – скорость истечения газов
307
относительно ракеты, dm/dt − масса сгоревшего топлива, ко-
dt
∆
∆Аt
2
m
2
торое выбрасывается из ракеты за единицу времени.
Fр = − u
v = v0 − u⋅ln
∆А = F⋅∆r =
= F⋅∆r⋅cosα
мощность равна работе, совершаемой в единицу времени: Pср -
dm
Р
ср.
=
средняя мощность за время ∆t.
Fр − реактивная сила
формула Циолковского. m0 − начальная масса ракеты, m −
m
масса в конце ускорения, скорость газовой струи u. Скорость
m
0
ракеты в начале и в конце ускорения − v0 и v, соответственно.
∆А − элементарная работа равна скалярному произведению си-
лы F на перемещение ∆r, α − угол между F и ∆r.
мгновенная мощность P равна скалярному произведению
P = F ⋅ v = F⋅v⋅cosα
EК =
mv
2
=
2
p
работа равнодействующей силы равна изменению кинетической
А=ЕК2 − ЕК1
энергии тела (при условии постоянства потенциальной энергии).
работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциаль-
А = −∆ЕП
ной энергии (при условии постоянства кинетической энергии).
потенциальная энергия тела в однородном поле тяготения: h - вы-
Е
=m g . h
П
сота над поверхностью Земли (высота от нулевого уровня), g - ус-
силы F на скорость v, с которой движется точка приложения силы, α − угол между F и v.
EК - кинетическая энергия тела массой m, движущегося со
скоростью v, р - импульс тела.
корение свободного падения, m - масса тела.
308
Е
2
2
2
R
m
m
⋅
1
iN1
i
∆
t
2
2
2
2
Е
−потенциальная энергия упруго деформированного тела (пру-
П
2
)(k
=
l∆⋅
П
жины): ∆ℓ − удлинениe тела (пружины); k − коэффициент пропорциональности (жёсткость пружины).
Е
− потенциальная энергия упруго растянутого
П
1
=
ES
(∆ℓ)2 =
Е
П
l
Е
=
G
П
N
⋅−
∑ ∑
= =
21
iii
mv – mv0 = F⋅∆t;
E2ε
(сжатого) стержня: V – объём тела; Е − модуль Юнга
V
(упругости); ε − относительное удлинение.
потенциальная энергия взаимодействия двух тел массами
m1 и m2, находящихся на расстоянии R друг от друга; G –
гравитационная постоянная.
закон сохранения импульса: суммарный импульс
замкнутой системы остается постоянным (по величи-
=⋅=
constm vp
не и направлению) при любых взаимодействиях тел
этой системы между собой.
изменение импульса тела ∆р за время
равно импульсу
∆р = р − р0 = F⋅∆t
равнодействующей силы F⋅∆t.
полная механическая энергия материальной точки (тела) равна
Е=E
+ EП
K
сумме кинетической и потенциальной энергий.
закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел остается посто-
Е=EK + EП=сonst
янной при любых движениях тел системы, если в системе не
действуют диссипативные силы.
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2;
1
m1v
1
2
+
1
m2v
1
2
=
2
m1u
законы сохранения импульса и энергии
1
2
+
1
m2u
при центральном абсолютно упругом
2
2
ударе двух тел (шаров).
309
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
2
2
2
dx
dx
закон сохранения импульса при центральном абсолютно неупругом ударе двух тел.
изменение кинетической энергии при
∆ЕК=Q=(
А
А
А
А
пол
затр
пол
затр
η=
η= %100
m1v
Р
=
Р
⋅ = %100
dE
n
1
=
2
Ed
n
=
2
xn
)(E
пол
затр
′
xxn
=
1
0)(E
″
> 0
1
2
+
m2v
1
2
) −
2
(m1+m2)u
абсолютно неупругом ударе (часть ее
2
переходит в «тепловую» форму энергии).
коэффициент полезного действия механизмов
;
равен отношению полезной работы A
Р
Р
пол
затр
⋅
ной мощности Р
ченной − Р
затр
).
) к затраченной A
пол
условие равновесия - экстремальное значение потенциальной энергии (для случая одномерной задачи, когда Еп зависит только от координаты х, т.е. когда Еп = Еп(х) ).
условие устойчивого равновесия
(полез-
пол
(затра-
затр
момент силы М относительно неподвижной точки − физическая ве-
М = r×F
личина, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из этой точки в точку приложения силы, на эту силу F.
M = r⋅F⋅sinα=F⋅d
= 0
i
= 0
i
∑F
∑M
М – модуль момента силы, α − угол между r и F,
d=R. sinα − плечо силы равно кратчайшему расстоянию от
оси вращения до линии действия силы.
(первое) условие равновесия тела при отсутствии вращения:
векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
(второе) условие равновесия твердого тела с неподвижной
осью вращения: алгебраическая сумма моментов сил относи-
310
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]