Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
ключен и автомобиль двигался равнозамедленно до полной остановки. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пройденном пути.
В12. С башни высотой h = 10 м бросают горизонтально мяч со скоростью
v = 10 м/с. Определите величину вектора перемещения мяча в момент падения
на землю.
В13. Тело брошено под углом α = 600 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 20 м/с. На какой высоте вертикальная проекция скорости равна горизонтальной?
В14. Тело брошено под углом α = 450 к горизонту со скоростью v =
14,1 м/с. Определите угол, который образует вектор скорости с горизонтом, через время t = 1,58 с после начала движения. Значение ускорения свободного падения равно g = 10 м/с2.
В15. Пловец переплывает реку шириной h. Под каким углом α к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? На каком расстоянии S от точки старта он окажется,
если скорость реки равна u, а скорость пловца относительно воды равна v?
В16. Автомобиль проехал по маршруту из пункта А в пункт В и обратно.
При движении из А в В первую половину пути автомобиль имел скорость v1 =
60 км/ч, а вторую – v2 = 80 км/ч. При возвращении скорость автомобиля была
постоянной v3 = 70 км/ч, но на маршруте была остановка в течение t = 30 мин.
Найдите среднюю скорость автомобиля на 1-м (АВ) и 2-м (BA) этапах, а также
на всем маршруте, если расстояние между пунктами А и В равно S = 100 км.
В17. Корабль движется на восток со скоростью v. Ветер дует с юго-востока
(угол между скоростями 1350). Скорость ветра, измеренная на палубе корабля
равна u. Определите скорость ветра, относительно Земли.
В18. С катера, двигавшегося вверх по реке, спустили спасательный круг в
тот момент времени, когда он проплывал под мостом. Через время τ = 1 час после этого мотор катера заглох. Ремонт мотора продолжался t = 15 мин., во время которого катер дрейфовал по течению. После ремонта катер повернул об-
ратно и двигался с прежней относительно воды скоростью. Катер встретил спа-
21
сательный круг на расстоянии ℓ = 6 км от моста. Определите скорость течения
реки.
В19. Два тела движутся с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела v1 = 3 м/с, второго тела – v2 = 4 м/с. В
момент времени, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии S1 = 60 м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии S2 от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?
В20. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло некоторый путь. Чему равно отношение средней скорости движения тела на второй
половине пути к средней скорости на первой половине?
В21. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения
проходит половину всего пути. Определите время падения и высоту, с которой
тело падало без начальной скорости.
В22. Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния в 1 км на
катере туда и обратно по реке (скорость течения v1 = 2 км/час) и по озеру (в
стоячей воде), если скорость катера относительно воды v2 = 8 км/час. Решить
задачу аналитически и графически.
В23. Тело движется вдоль оси 0х по закону х = 6 − 3t + 2t2. Найти среднюю
скорость тела и ускорение за промежуток времени 1−4 с. Построить графики
перемещения, скорости и ускорения.
В24. Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2. Достигнув скорости
37 км/час, он двигался равномерно в течение 2 мин, затем, затормозив, прошел
до остановки 100 м. Найти среднюю скорость поезда. Построить график скорости.
В25. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел два смежных участка
пути по 100 м каждый за 5 с и 3,5 с. Определить ускорение и среднюю скорость
автомобиля на каждом участке пути и на двух участках вместе.
В26. Свободно падая с некоторой высоты, тяжелый шарик на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял половину своей скорости. Во
сколько раз уменьшится скорость падения?
22
В27. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 9,8 м/с. Чему равна дальность и высота полета камня, если известно, что
во время движения его максимальная скорость была вдвое больше минимальной?
В28. Тело А бросают вертикально вверх со скоростью v
= 20 м/с. На ка-
0A
кой высоте h находилось тело В, которое будучи брошено с горизонтальной
скоростью v
= 4 м/с одновременно с телом А, столкнулось с ним в полете?
0B
Расстояние по горизонтали между исходными положениями тел равно ℓ = 4 м.
Найти также время τ движения тел до столкновения и скорость vA, vВ каждого
тела в момент столкновения.
В29. Шарик бросают под углом α = 300 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 14 м/с. На расстоянии ℓ = 11 м от точки бросания шарик упруго ударяется о
вертикальную стенку. На каком расстоянии S от стенки шарик упадет на землю?
В30. Тело бросили под углом 300 к горизонту со скоростью 10 м/с. Каково
будет кратчайшее расстояние между местом бросания и телом через 4 с после
броска? Чему равен радиус кривизны траектории в этот момент?
В31. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью v0 и с интервалом времени τ. Определить скорость движения второго тела
относительно первого. По какому закону изменяется расстояние между телами?
В32. С какой минимальной скоростью под углом к горизонту надо бросить
камень, чтобы он упал на расстоянии 40 м от точки бросания?
В33. Мяч свободно падает с высоты h = 120 м на горизонтальную поверхность. При каждом ударе он теряет половину скорости (n = 2). Построить гра-
фик зависимости v от t, и найти пройденный путь за m − количество ударов.
В34. Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2. Достигнув скорости
36 км/ч он двигался равномерно в течении 2 мин, затем затормозил и прошел
до остановки 100 м. Найти среднюю скорость vср и построить график v(t).
23
В35. Две машины начинают движение из точки пересечения двух перпендикулярных дорог с постоянными ускорениями a1 = 3 м/с2 и a2 = 4 м/с2. Найти
скорость их удаления друг от друга через 10 секунд.
В36. Над колодцем глубиной 10 м бросают вертикально вверх камень со
скоростью v0 = 14 м/с. Через какое время камень упадет на дно колодца?
В37. Спортсмен прыгает с высоты 10 м и погружается в воду на расстоянии 3 м от края вышки через 2 с. Определить скорость спортсмена в момент
прыжка.
В38. Поезд прошел путь 250 км. В течение времени 1 час он двигался со
скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на время 1 час. Оставшуюся часть
пути он шел со скоростью 75 км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?
С01. Вектор скорости v имеет следующие проекции на координатные оси
vх= 3 м/с и vу= -4 м/с. Величина вектора v1 в n = 2 раза больше величины v.
Определите проекции вектора v1 на координатные оси для случая, когда величина вектора разности u = v1 − v принимает минимально возможное значение.
С02. Пловец переплывает реку шириной L = 50 м по прямой, перпендикулярной берегу, за время t = 2 мин. Определите скорость течения реки, если величина скорости пловца относительно воды в n = 2 раза больше скорости течения.
С03. Жонглёр бросил вертикально вверх шарик. Когда шарик достиг верхней точки своего пути, был брошен второй шарик с той же начальной скоростью. На какой высоте встретятся шарики, если высота бросания их 4,9 м.
C04. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел два смежных участка
пути по 100 м каждый за 5 с и 3,5 с. Определить ускорение и среднюю скорость
автомобиля на каждом участке пути и на двух участках вместе.
С05. Звезда горнолыжного спорта идет по трассе скоростного спуска со
скоростью v = 120 км/ч. Скорость начинающего горнолыжника на этой же
трассе в n = 5 раз меньше. От подножия горы спортсмены добираются до места
старта с помощью подъемника, движущегося со скоростью u = 2 м/с. Определите отношение средних скоростей спортсменов между двумя последователь-
24
ными стартами, если пути подъема и спуска равны, а временем на остановки
u
v
α
v
1
D
С
В
А
v
2
можно пренебречь.
С06. Утка летела параллельно поверхности земли с постоянной скоростью
u. В нее бросил камень неопытный охотник, причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на
утку под углом α к горизонту (рисунок 2). На
какой высоте h летела утка, если камень все
же попал в нее? Сопротивлением воздуха,
размерами утки и ростом охотника пренебречь. Траектории утки и камня лежат в одной
h
Рисунок 2
g
плоскости.
С07. С балкона, находящегося на высоте h = 4 м над поверхностью земли,
бросили вертикально вверх мяч со скоростью v0 = 8 м/с. Определите средние
скорости мяча: 1) за время подъема до наивысшей точки траектории; 2) за время падения из этой точки на землю; 3) в течение всего времени полета.
С08. Два автомобиля одновременно выходят из пункта А и движутся по
дорогам, образующим треугольник с углом при вершине А, равным α = 600 (рисунок 3). Скорости, автомобилей v1 = 60 км/ч и
v2 = 80 км/ч. Автомобили одновременно достигают пунктов В и С в момент времени t = 1 час.
Определите время встречи автомобилей в точке
D с начала движения из точки А.
Рисунок 3
С09. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения
проходит n = 2/3 часть всего пути. Определите время падения и высоту, с которой тело падало без начальной скорости.
С10. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы максимальная высота его подъема была в n = 2 раза больше его дальности полета?
С11. На вершину идеально упругой наклонной плоскости падает упругий
шарик с высоты 0,5 м. Сколько раз шарик ударится о наклонную плоскость, если длина ее равна 32 м. А угол наклона к горизонту 300?
25
С12. Тело падает с высоты Н без начальной скорости. На высоте h оно упруго соударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом α = 300
к горизонту. Найти время τ падения тела и дальность ℓ полета.
С13. Мальчик ростом h = 1,5 м, стоя на расстоянии ℓ = 15 м от забора высотой Н = 5 м, бросает камень под углом α = 450 к горизонту. С какой минимальной скоростью v0 надо бросать камень, чтобы он перелетел через забор?
С14. Тело, падающее с вершины башни, пролетело расстояние h = 4 м, когда второе тело начало падать из точки, расположенной на расстоянии ℓ = 12 м
ниже вершины башни. Определите высоту башни, если известно, что оба тела
достигают поверхности Земли одновременно.
С15. Шарик свободно падает с высоты 5 м на наклонную плоскость с углом наклона 450 и упруго отскакивает от нее без потери скорости. На каком
расстоянии от места падения шарик снова ударится о наклонную плоскость?
С16. Путь, проходимый вагонеткой от места погрузки до места выгрузки,
равен 200 м. Ускорение постоянно − при движении туда и обратно, и равно a =
0,5 м/с2. Определить максимальную скорость v
, если время движения – ми-
max
нимально.
С17. Тело бросили с высоты Н = 19,6 м горизонтально со скоростью v0 =
10 м/с. Тело упруго ударилось о землю, а затем о вертикальную стенку, расположенную на расстоянии ℓ = 40 м по горизонтали от места бросания. Определите максимальную высоту h, на которую поднимается тело после удара о
стенку. На каком расстоянии S от стенки тело упадет на землю?
Примеры решения задач
1. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после
начала падения находилось на высоте 1 100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м
над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело? Сколько времени оно
было в движении? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
26
Дано: y(t1) = 1 100 м; y(t1 + 10) = 120 м; g = 10 м/с2; v0 = 0.
2
2
2
2
2
H
0
0
у
1
120
1 10
0
t
Н −? T −?
Решение. Так как движение тела происходит по вертикали, то для описа-
, м
v0=0
ния движения возьмем вертикальную ось
0у с началом на поверхности земли. Раз
тело падает свободно, то начальная ско-
t
рость v0 = 0. Обозначим Н – искомая вы-
g
сота, t – время падения (см. рисунок).
Направим ось 0у вертикально вверх,
t1+10
ось времени 0t направим вертикально
вниз с началом отсчета времени t = 0 на
t, с
высоте Н (т.к. тело начинает движение с
высоты Н). Каждой высоте будем сопоставлять моменты времени:
- в начальный момент времени t = 0 тело находится на высоте Н;
- спустя некоторый промежуток времени t1 – на высоте 1 100 м;
- ещё через 10 с, т.е. через t1 + 10 после начала движения – на высоте 120 м;
- через время t после начала движения у =0 (тело достигает поверхности
Земли).
1
В уравнение движения тела по оси 0у в общем виде y(t) = y0 + v0t +
at2
подставляем значения y0 = Н (тело начинает движение в момент t = 0 с этой координаты), v0 = 0 (тело свободно падает), а = −g (т.к. проекция gy = −g). Итак,
уравнение движения имеет вид:
1
y(t) = y = Н −
gt2.
Применяя последнее уравнение для моментов времени t1, t1 + 10 и t, полу-
чим 3 уравнения:
1 100 = Н −
1
2
gt
; 120 = Н −
1
1
g(t1+10)2; 0 = Н −
1
gt2 .
27
Решая систему из трёх уравнений, найдем искомые величины Н и t.
2
2
⋅
−=−
2
2
2
2
3
a
2
tS2
2202
Вычтем почленно из первого уравнения второе, затем найдем t1:
1 100 − 120 = Н −
1
2
gt
− Н +
1
1
g(t1+10)2 ,
откуда
t1= .c8,4
g50980
g10
1050980
=
1010
⋅
Подставляя полученное значение t1 в первое уравнение, найдем Н:
1 100 = Н −
1
2
gt
и Н = 1 100 +
1
1
2
gt
= 1 100 +
1
1
⋅10⋅4,82 = 1 215м.
1
Из третьего уравнения 0 = Н −
t =
gt2, найдем t:
H2 ⋅
12152
= = 15,6 с.
g
10
2. За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м,
увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела.
Дано: t = 2 c; S = 20 м; v = 3v0.
v = ?
2
vv
−
0
;
Решение: v = v0 + at; v0 =
1
v; S =
2
Решив систему из написанных 3 уравнений, имеем:
v =
3
⋅ =
3
⋅ = 15 м/с.
3. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности
земли под углом к горизонту, упал обратно на землю в 20 м от места броска.
Чему была равна скорость камня через 1 с после броска, если в этот момент она
была направлена горизонтально?
28
Дано: t = 1 c; S = 20 м; vy= 0.
t
2
1
220⋅
0x
0y vx
y g
S
α
0
v(1) = ?
Решение: На рисунке изображена траектория движения камня, брошенного под углом α к горизонту. Начальная скорость − v0, ускорение свободного падения g, дальность полета − S, v
и v0y − проекции v0 на оси координат 0х и 0у,
0x
v(1) = vx – скорость камня через 1 с после броска (в верхней точке траектории).
При отсутствии сопротивления воздуха движению камня время полета t
пол
равно удвоенному времени движения камня до верхней точки траектории, т.е. t
= 2t = 2 c. Как
пол
v
v
видно из рисунка проекции начальной скорости и ускорения
свободного падения на оси ко-
0
v
x
ординат равны:
v
= v0⋅cosα, v
0x
= v0⋅sinα; gx = 0, gy = -g.
0y
Из равенства gx = 0 заключаем, что по оси 0х имеет место равномерное
движение со скоростью vx = v0x. За время t
S = v0x⋅t
= v0x⋅2t = vx⋅2t,
пол
откуда находим
S
vx =
=
Из последнего выражения заключаем, что
v(1) = vx = 10 м/с.
= 2t камень пролетит расстояние S:
пол
= 10 м/с.
29
4. С башни высоты Н бросили вертикально вниз камень с начальной ско-
t
2
2
2
t
ростью v0 = 0. Найти среднюю скорость на нижней половине пути. Ускорение
свободного падения равно g.
Дано: v0 = 0; g; S = H/2.
vср = ?
Решение: По определению средняя скорость равна
v
=
ср
,
где S – перемещение тела;
t – время, за которое это перемещение совершено.
По условию S = H/2. Найдем время движения тела на нижней половине пути t = t2 – t1. Время падения тела до уровня Земли t2 и время падения до середины башни t1 находим из уравнений:
S
Н =
gt
2
2
,
H
=
gt
2
1
,
откуда
t2 =
H2
, t1 =
g
H
g
и
vср =
S
=
=
ttS−
12
gH
( )
122
−
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]