Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ»
О. В. АЛЕКСАНДРОВА
ТЕОРИЯ ИГР:
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Макеевка - 2020
УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
А 46
к
Рекомендовано
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» 27.04.2020
протокол № 8
изданию
Ученым
советом
Государственного
Рецензенты:
Павлыш В. Н. – заведующий кафедрой прикладной математики, доктор
технических наук, профессор, ГОУ ВПО «Донецкий национальный
технический университет»
Севка В. Г. – заведующая кафедрой экономики, экспертизы и управления
недвижимостью, доктор экономических
методической работе и профессиональному образованию, ГОУ ВПО
«Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
Веретенникова О. В. – заведующая кафедрой экономической теории и
информационно – стоимостного инжиниринга, доктор экономических наук,
доцент, ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и
наук, профессор, проректор по учебно-
архитектуры»
А 46 Александрова О. В. Теория игр : учебное пособие для студентов по
направлению
предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»). / О. В.
38.03.01 «Экономика»,
профиль
«Экономика
Александрова. — Макеевка : ДОННАСА, 2020. – 164 с.
ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
направления «Экономика». Изложены основные положения теории игр,
рассмотрены методы решения и анализа
содержит теоретические сведения, подкрепленные примерами.
также всем, кто интересуется теорией игр.
Данное пособие написано на основе чтения курса «Теория игр» студентам
основных типов игр. Каждый раздел
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Экономика», а
УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
© Александрова О. В., 2020
© ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия
строительства и архитектуры», 2020
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................................................................................................................5
1. Основные понятия теории игр и их классификация........................................... 8
1.1. Основные понятия теории игр......................................................................8
1.2. Классификация игр ........................................................................................ 9
2.Бескоалиционные игры. Нормальная форма игры ............................................10
2.1. Ситуации, равновесные по Нэшу ............................................................... 11
2.2. Оптимальные по Парето ситуации.............................................................14
Задачи ........................................................................................................................ 17
3. Матричные игры.................................................................................................. 18
3.1. Матричные игры с нулевой суммой. Платежная матрица игры .............18
3.2. Смешанное расширение игры..................................................................... 21
3.3. Элементарные методы решения игр.
Решение игр , и
22
n2 2
m .............................................................23
3.4. Доминирование стратегий. Редукция игры. Решение игры в
доминирующих стратегиях......................................................................... 30
3.5. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования .. 34
Задачи ................................................................................................................... 36
4. Бесконечные антагонистические игры .............................................................37
4.1. Выпуклые игры на единичном квадрате ................................................... 40
4.2. Вогнутые игры на единичном квадрате..................................................... 44
Задачи ........................................................................................................................ 46
5. Игры с природой. Принятие решений в условиях неопределенности.
Принятие решений в условиях риска.................................................................46
5.1. Критерии опти
5.2.
Критерии оптимальности решения в условиях риска..............................50
мальности решения в условиях неопределённости ........48
Задачи ........................................................................................................................ 58
6. Понятие неантагонистической игры. Биматричные игры ............................... 61
6.1. Неантагонистические игры .........................................................................61
6.2. Биматричные игры....................................................................................... 64
3
Задачи ........................................................................................................................ 75
7. Динамические игры с полной информацией.....................................................77
7.1. Позиционные игры....................................................................................... 77
7.2. Решение позиционной игры с полной информацией...............................85
7.3. Нормализация позиционной игры..............................................................88
Задачи ........................................................................................................................ 91
8. Байесовские игры ................................................................................................. 93
8.1. Дуополия Курно с неполной информацией .............................................. 93
8.2. Байесовские игры в стратегической форме.............................................100
8.3. Конечные байесовские игры.....................................................................107
Задачи ......................................................................................................................111
9. Динамические игры с неполной информацией...............................................113
Задачи ......................................................................................................................124
10. Коалиционные игры и ядро............................................................................. 125
10.1. Коалиционные игры.................................................................................
10.2. Ядро ........................................................................................................... 130
10.3. Вектор Шепли. Аксиоматика..................................................................132
10
10.4. Вектор Шепли для игр в
Задачи ......................................................................................................................137
Приложение А: Задачи линейного программирования...................................... 138
Приложение В: Элементы теории вероятностей ................................................149
Список обозначений...............................................................................................162
Список литературы ................................................................................................ 163
редуцированной форме..................... 135
125
4
ВВЕДЕНИЕ
Конфликты и самые разные возможности анализа вариантов их решения,
и предвидения их конечных результатов привлекают внимание многих
математиков давно. Письмо Б. Паскаля к П. Ферма от 29 июля 1654 года,
которое считают началом теории вероятностей, также можно считать и
зарождением теории игр. В дальнейшем теоретико-игровые вопросы
рассматривали многие ученые. Вначале объектом изучения были азартн
игры. В игре «проходящий туз» Вальдеграв нашел оптимальные смешанные
стратегии (1712 г.), Д. Бернулли проанализировал «петербургскую игру» (1732
г.), принципы оптимальности рассмотрел П. Лаплас (1814 г.), теоретикоигровой подход к игре в баккара представил Ж. Бертран (1888 г.), в 1911 году
Э. Цермело описал теоретический подход к шахматной игре.
Работа Э. Бореля (1921 г.), в которой было доказано существ
различных стратегий для отдельных случаев игры, положила начало
систематическому изучению матричных игр. В XX веке теория игр получила
бурное развитие, которое было вызвано не только теоретическим интересом
математиков, но и запросами прикладных задач экономики и техники.
Математическая теория игр была впервые детально разработана американскими
учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном в известной работе «Теория игр и
ые
ование
экономическое поведение» (1944 г.) как средст
явлениям конкурентной экономики.
Во второй половине XX века были достигнуты важные результаты в
теории игр и ее применение в самых различных сферах деятельности, прежде
всего в экономике, политике и военном деле. Понятие равновесия, которое
имеет здесь центральное значение, сформулировано выдающимся мат
и экономистом Дж. Нэшем, им же было доказано существование равновесия в
бескоалиционной игре (теорема Нэша). Первое из решений для коалиционных
игр получили Дж. Нейман и О. Моргенштерн (Н-М решение). Современная
теория игр, на основе которой моделируются политические и экономические
во математического подхода к
ематиком
5
процессы, сложилась благодаря трудам Л. С. Шепли, Р. Аумана, А. И.
Соболева.
Общее определение игр и исчерпывающую их классификацию впервые
описал выдающийся российский математик Н. Н. Воробьев. Значительный
вклад в развитие игровой теории внесли его коллеги Е. Б. Яновская, Ю. Б.
Гермейер, Э. Вилкас, Г. Н. Дюбин и В. Г. Суздаль.
Теория игр сыграла ключе
вую роль в создании современной
экономической теории, наряду с математическими моделями общего
равновесия и теорией социального выбора. Она является одним из самых
важных инструментов анализа большого многообразия задач, которые
возникают в экономике, политике, военном деле.
Теорию игр можно понимать как инструмент математического анализа,
который дает ясный язык исследования различных экономических ситуаций,
дает возможность проверять интуитивные представ
ления на логику, дает
возможность проследить путь от наблюдений до предположений и сделать
вывод, какие из них лежат в основе частных выводов.
Многообразие ситуаций принятия решений в экономике и в других
сферах имеет три общие черты, их можно сформулировать в виде основных
принципов:
1. «Совместность действи
й»: конечный результат зависит от выбора
решений несколькими лицами (их называют участниками игры).
2. «Конфликт интересов»: конфликт между участниками какого-либо
общего процесса из-за того, что их интересы не совпадают.
3. Принцип рациональности. Участник процесса стоит перед выбором
решения, которое в максимальной степени должно соответствовать его
интересам. Для принятия рационального решения игрок должен осознавать, что
другие соперники имеют св
ои собственные интересы, а значит, будут выбирать
выгодные им решения. Согласно этому принципу каждый участник конфликта
6
принимает максимально эффективные решения, учитывая возможные действия
своих конкурентов.
Предлагаемое пособие, надеюсь, поможет заинтересованному читателю в
процессе обучения основам теории игр.
Материал написан на основе чтения автором курса теории игр
(дисциплина читалась на протяжении ряда лет с использованием учебных
программ, соответствующих государственному стандарту для экономических
специальностей). В данной работе не ставилась задача детального и
формального изложения основ теории игр. Цель состояла в том, что
бы
познакомить студентов экономических специальностей с основами теории игр
и на простых примерах продемонстрировать возможности теоретико-игрового
моделирования различных экономических ситуаций.
К настоящему моменту написано множество разнообразных учебников по
теории игр, которые рассчитаны на читателя разного уровня подготовки.
Некоторые из них приведены в списке литературы. Ряд задач и примеров в
тексте за
имствован из этих учебников.
Автор хотел бы выразить глубокую признательность своим студентам,
которые ориентировали его в процессе подбора задач.
7
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР И ИХ
I
I
I
I
Ss
s
КЛАССИФИКАЦИЯ
1 .1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
Игра ведется по определенным правилам, которые устанавливают
последовательность ходов, количество информации одной стороны о
поведении другой и результат игры в зависимости от ситуации. Этим она
отличается от реального конфликта.
Определение 1.1. Ситуация называется игрой, если
- имеются заинтересованные стороны;
- известны возможные действия каждой из сторон;
- определены интересы сторон.
Далее заинтересованные стороны будут называться игроками, а
множество всех игроков будем обозначать через
Определение 1.2. Любое возможное действие для игрока
.
i будем
называть его стратегией.
Множество стратегий - того игрока будем обозначать . В условиях
конфликт
а каждый игрок
результате получается набор стратегий
i
i
выбирает некоторую стратегию
sss ,...,
, называемый ситуацией.
1
n
S
i
, в
Ss
ii
Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому
игроку
i и каждой ситуации
приписывается число, которое выражает
степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число
называется выигрышем игрока i в ситуации
и обозначается .
sH
i
Определение 1.3. Выбор и осуществление действия одним игроком в
условиях правил игры называется ходом игрока.
Игра состоит из ходов, которые делают игроки. Ходы подразделяются на
личные и случайные.
Определение 1.4. Ход называется личным, если игрок сам выбирает его
из совокупности вариантов.
8
Определение 1.5. Ход называется случайным, если его делает какой-то
механизм случайного выбора (например, жребий), а не игрок.
Определение 1.6. Оптимальной называется такая стратегия, которая
обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш или
минимально возможный средний проигрыш при многократном повторении
игры, независимо от того, какие стратегии применяет противник.
Критерии оптимальности могут быть различны.
Определение 1.7. Если стратегии образуют ситуацию, которую ни один
из игроков не заинтересован изменить, то решение игры называется
устойчивым (равновесным).
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР
1. В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников; в
первом случае игра называется парной, во втором – множественной. Участники
множественной игры могут в ее процессе объединяются в группы,
принимающие совместные решения. Эти группы называются коалициями.
Соответствующие игры называют коалиционными или кооперативными. В
противном случае – бескоалиционными.
2. Участники игры могут принимать решения на основе некоторой
информация. Таки
е игры делятся на игры с полной информацией, и игры с
неполной информацией. Мы имеем дело с игрой с полной информацией, если:
- все участники знают множество всех ситуаций (исходов игры), к
которым приводят все допустимые комбинации стратегий игроков,
- все участники знают количественные значения выигрышей игроков для
каждого исхода.
Если одни участни
ки конфликта являются более информированными, чем
другие, или не располагают какой-то информацией, то тогда имеет место игра
с неполной информацией.
9
3. Возможно, что одна и та же игровая ситуация воспроизводится
множество раз (многократное разыгрывание). Такая игра называется
повторяющейся.
4. Действия одних участников следуют за действиями других, такая игра
называется последовательной.
5. По виду описания игры подразделяются на позиционные (игры в
развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в
виде дерева игры. Любая по
форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому
ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени.
6. Динамические (дифференциальные) игры являются моделями
конфликтных задач управления динамическими объектами, движение которых
описывается дифференциальными уравнениями.
7. Игра зазывается игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает
то, что проигрывает другой.
Надо сказ
совокупность ходов, не всегда имеет количественное выражение. Однако если
установить некоторую шкалу измерения, его можно выразить обычным числом.
ать, что результат (исход) игры, к которому приводит данная
зиционная игра может быть сведена к нормальной
2. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ. НОРМАЛЬНАЯ
ФОРМА ИГРЫ
Рассмотрим формализованное представление бескоалиционной игры.
Определение 2.1. Бескоалиционной игрой в нормальной форме
называется тройка , где
множество стратегий, доступных i-тому игроку, - функция выигрыша -
того игрока.
Процесс игры состоит в выборе кажд
стратегии .
Ss
ii
HSI ,,
nI ,...,2,1
- множество всех игроков, -
H
i
ым игроком своей индивидуальной
S
i
i
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]