Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
6. ПОНЯТИЕ НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ
ИГРЫ. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
6.1. НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Ранее мы рассматривали игры, где при любом исходе сумма выигрышей
всех участников была равна некоторому постоянному числу (в частности,
нулю). Гораздо чаще встречается другая ситуация, в которой выигрыш одной
стороны необязательно означает проигрыш другой. Например, отношения
между сотрудником и работодателем содержат элементы конфликта, т.к. они
имеют несовпадающие интересы. Однако, существуют вариант
ы, выгодные
обоим. Так, если фирма получает выгодный заказ, это способствует
повышению заработной платы многим сотрудникам. Но если фирма разоряется,
это невыгодно всем сторонам и этот конфликт не является антагонистическим.
Введём формальное описание неантагонистической игры (называемой
также игрой с ненулевой суммой или с не противоположными интересами)
двух лиц. Каждый игрок обладает некоторым набором стратегий:
AAA
S
A
...
21
...
21
m
– стратегии первого игрока, где – его отдельная
ppp
m
p
i
стратегия;
BBB
S
B
...
21
...
21
n
– стратегии второго игрока, где – его отдельная
qqq
n
q
j
стратегия.
Кажд
ая пара наз
qp,
ывается исходом игры. На множестве исходов
заданы две функции:
qpH ,
1
2
– функция полезности (выигрыш) первого игрока;
qpH ,
– функция полезности (выигрыш) второго игрока.
Будем рассматривать неантагонистические игры двух лиц, где каждый
игрок имеет конечное число стратегий.
Определение 6.1. Кооперативными называются игры, в которых
участники могут заключать между собой соглашения.
В противном случае, игры называются
некооперативными.
В этой главе мы будем рассматривать только некооперативные игры.
Иногда один из участников выбирает свою стратегию, руководствуясь
предполагаемыми действиями другого. Таким образом, возникают следующие
возможности, которых нет в игре с нулевой суммой:
1)
сообщать друг другу о своих намерениях;
угрожать партнёру;
2)
3)
блефовать (т.е. давать ложные сигналы о своих действиях);
накапливать опыт игры;
4)
5)
принимать компромиссные решения.
Если в игре с нулевой суммой игрокам было важно скрывать свои
намерения, то в играх с нулевой суммой иногда бывает выгодно
информировать партнёра о своих действиях. Дадим следующее определение.
Определение 6.1. Исход игры будем называть равновесным, если ни
одному из участников не выгодно отклоняться от нёё в одностороннем
порядке.
Для иллюстрации рассмотрим два примера.
Пример 6.1. «В этой речке утром рано утонули два барана».
Два барана хотят быстрее перейти мост, причем каждый из них не
намерен уступать дорогу. У обоих есть две стратегии: свернуть (уступить
дорогу) и не сворачивать. Если оба не свернут с дороги, то они столкнутся и
упадут в речку, так как мостик узкий. Пусть матрица игры имеет следующий
вид (таблица 6.1):
62
Первый игрок
Таблица 6. 1
сворачивать 0; 0 -5; 5
не
второй
Найдем равновесные исходы и справедливые исходы.
Решение. Для каждого из игроков составим платёжные матрицы:
Если бы участники игры могли договориться, то они исключили бы
ситуацию
(однако, недостаток его в том, что никто не перейдет мост).
и приняли единственное справедливое решение
сворачивать
игрок
100;100
сворачивать
1005
5; -5 -100; -100
50
;
BA
не
сворачивать
50
.
нетстратегийихдоминирующ
1005
0;0
Реализации справедливого решения мешает возможность для каждого
игрока увеличить свой выигрыш, отказываясь от стратегии «не сворачивать».
Исход (0;0) не является равновесным, равновесие наблюдается в исходах
5;5
создается вероятность угрозы для демонстрации своей решимости перейти мост
первым, чтобы второй игрок отступил.
продукт. Пусть при этом первая фирма является лидером. Фирмы заключили
между собой негласный договор – не снижать цены. Если вторая фирма
нарушит договор в одностороннем порядке, то фирма – лидер может ее
наказать, например, прибегнув или к экспансии (искусственному увеличению
и , но они не являются справедливы
Пример 6.2. «Рыночное коварство (блеф)»
Рассмотрим ситуацию: на рынке две фирмы выпускают одинаковый
5;5
ми. Таким образом, здесь
цены), или к демпингу (искусственному снижению цены). У второй фирмы
таких возможностей нет. При помощи рекламы или публикаций в СМИ обе
фирмы могут демонстрировать свои намерения. Если публикуется ст
растущих производственных издержках фирмы, это значит, что фирма не
атья о
63
намерена снижать цену на свою продукцию. Прибыли фирм в зависимости от
A
избранных стратегий – «снижать цену» и «не снижать цену» приведены в
таблице 6.2. Выясните, может ли в таких условиях одна из фирм добиться
максимально возможной прибыли?
Таблица 6.2
2 фирма
Не снижать цену Снижать цену
1 фирма
Не снижать цену 3;3 2;0
Снижать цену 5;0 1;1
Решение. В данной игре нет доминирующих стратегий, нет также
равновесных исходов, так как, действуя в своих интересах, игроки могут
отклониться от любого исхода. Если фирма – лидер примет стратегию «Не
снижать цену», то лучшим ответом для второй фирмы будет также «Не снижать
цену». Однако, если вторая фирма примет стратегию «Не снижать цену», то
лучши
м ответом первой будет «Снижать цену». Так как первая фирма может
ввести вторую в заблуждение, если подаст ей ложный сигнал о том, что
собирается не снижать цену, а на самом деле снизит цену, то будет реализован
исход с выигрышами (5;0), который даст первой фирме наибольшую прибыль.
6.2. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
Будем рассматривать неантагонистические игры, в которых принимают
участие два игрока, имеющих конечное число стратегий. Поскольку обычно
такие игры можно описать с помощью двух матриц, они называются
биматричными.
Допустим, первый участник имеет стратегий, а второй – .
Количество исходов игры равно
платёжной матрицей
,
обозначим ее элементы
nm
. Зададим выигрыши первого игрока
Аналогично, выигрыши второго игрока выпишем в матрице сост
m n
njmia
ij
,B
оящей из
,,1,,,1
.
64
элементов Также игру можно описать с помощью
p
ij
.,,1,,,1 njmib
таблицы, которая имеет размерность
nm
. В каждой клетке таблицы
указываются два числа, первое число – это выигрыш первого участника, а
второе число – выигрыш второго.
Определение 6.2. Смешанная стратегия первого и второго участников
есть соответственно
AAA
S
A
...
21
...
21
m
и ,
S
ppp
m
B
1
B
q
2
1
2
...
...
BB
n
qq
n
где
n
j
1
q
j
1
,
0
1
p
i
m
p 10
i
i
11
,
q, . (6.1)
j
Обозначим функции выигрышей игроков
qpH
, и
A
.;2qpH
При смешанных стратегиях и функции выигрышей вычисляют
по формулам
pH
A
Запишем строгое определение равновесия по Нэшу.
Определение 6.3. Стратегии
*
p и
называются стратегиями, равновесными по Нэшу, если для любых
, удовлетворяющих (6.1), выполняются следующие неравенства: q
H
A
H
В
S
A
*
1
qpaq,,
jiij
...;
2
qpH ,
B
**
ppp
m
*
S
B
q
pb . (6.2)
ji
ij
*
;
qq
1
...q
2
**
q
n
ся
и
***
,,,
A
qpHqp
***
B
qpHqp
(6.3)
.,,
Таким образом, никому из участников не выгодно отклоняться от своей
равновесной стратегии, если другой участник применяет стратегию,
равновесную по Нэшу. Заметим, что данное определение сохраняется для игры
с любым числом участников.
65
Пример 6.3. Найти равновесные по Нэшу стратегии в примере 6.1
(Таблица 6.1).
Решение. Выпишем все возможные стратегии обоих участников в
матрицу и отыщем для каждого из исходов альтернативные исходы, более
предпочтительные с точки зрения одного из игроков:
N
1
5;5
Рассмотрим точку
Действительно, и 05 1005
. Значит, игра имеет два равновесия по Нэшу - 05
Замечание 6.1. Равновесие по Нэшу не является единственным.
Теорема 6.1. (о равновесии по Нэшу). В любой биматричной игре
существует, по крайней мере, одно равновесие Нэша.
Для биматричных игр размерностью три и более нахождение смешанных
стратегий является сложной задачей, но для матриц размера несложно
. Аналогично, для точки :
. Для нее справедливы неравенства (6.3).
5;50;0
N
2
100;1005;5
5;5 1005 и
.
, NN
21
22
найти решени
Будем рассматривать
выигрышей
Матрица A описывает выигрыши первого игрока, B – второго. В этом
случае смешанные стратегии игроков полностью описываются вероятностью
применения своей первой стратегии каждым из них, т.е.
е в смешанных стратегиях.
22
A
S
A
AA
1
xx
aa
1211
aa
2221
21
S
,
B
биматричную игру с матрицами
21
.
bb
1211
bb
2221
66
B
BB
1
yy
и .
Поскольку 10
x
, 10
y , то каждая игровая ситуация в
биматричной игре 2 может быть изображена точкой на единичном
квадрате на плоскости
2
yx;.
Идея нахождения решения игры состоит в следующем: мы опишем
множества приемлемых ситуаций для каждого из игроков, затем нарисуем
эти множества на единичном квадрате и графически найдем их пересечение.
Очевидно, найденное решение (или множество решений) является
равновесием по Нэшу.
Итак, начнем с первого игрока. Игровая ситуация
yх; (то есть, первый
игрок применяет смешанную стратегию x, а второй - y) будет приемлемой для
него, если
TT
; (6.6)
1
2
yAxya
TT
. (6.7)
yAxya
Здесь - i - тая строка матрицы выигрышей A. Выражение, стоящее в
a
i
правой части неравенств (6.6) – (6.7), является, очевидно, средним
выигрышем первого игрока в ситуации (
делающие ситуацию приемлемой, никак не зависят от матрицы
x, y
). Как видим, условия,
B.
Первому игроку абсолютно неинтересно, какой выигрыш получит второй
игрок. Конечно, то же самое можно будет сказать и про второго игрока.
Выпишем вначале средний выигрыш первого игрока:
T
yAx
1;
=
1111
aa
1211
aa
2221
aaaa
22122111
11
1
aaaa =
22122111
1
=
aaaaaaaaa
.
222221221222211211
Подставим последнее выражение в неравенства (6.6) – (6.7) и упростим их:
67
(a11 − a12 − a21 + a22) (1 − ξ) η + (a12 − a22) (1 − ξ) ≤ 0 , (6.8)
C
С
С
(
Введем обозначения:
;
Тогда, условия (6.8) – (6.9) принимают вид:
C
Рассмотрим три частных случая.
Ситуация (1, η). В этой ситуации первый игрок выбирает свою первую
стратегию. Значит,
будет приемлемой для первого игрока в этом случае, если 0
, если 0С,
a
− a12 − a21 + a22) ξη + (a12 − a22) ξ ≥ 0 . (6.9)
11
aaaaС
22211211
,011
C
ξ = 1 и неравенство (6.10) удовлетворено. Значит, ситуация
С
0
. (6.11)
aa
.
1222
, если 0
С
.
(6.10)
, или
Ситуация (0, η). В этой ситуации первый игрок выбирает свою вторую
стратегию. Значит,
(6.11) выполнено, а (6.10) принимает вид:
, если 0С,
С
Ситуация
неравенство (6.10) на
приемлемости
Объединение этих трех случаев дает нам все множество приемлемых для
первого игрока ситуаций. Изобразим эти ситуации на единичном квадрате.
ξ = 0 и, аналогично предыдущему случаю, неравенство
, ,
.
С
, если 0
С
1, а неравенство (6.11) – на . Тогда условие
1;0
. В этой ситуации мы можем разделить
.
68
ƒ
C
C
Заметим, что этот зигзаг может быть и вырож
0
и 0, то реализуются только первые две ситуации и множество
распадется на два отрезка. Если и 0
и 0
денным. Действительно, если
, то любая допустимая ситуация
будет приемлемой для первого игрока (матрица выигрышей состоит в таком
случае из двух одинаковых строк и игра становится бессмысленной).
Аналогичные размышления позволяют построить такое же множество и для
второго игрока. В этом случае мы полагаем, что стратегиям второго игрока
соответствуют столбцы матрицы:
T
; (6.12)
1
, (6.13)
где и – векторы, соответствующие первому и второму столбцу
2
b
1
b
yBxbx
T
yBxbx
2
матрицы
В.
Сделав пр
еобразования в (6.12) – (6.13), получим:
Введем обозначения:
011
bbbbbb , (6.14)
222122211211
bbbbbb . (6.15)
222122211211
;
bbbbD
22211211
bb
2122
0
.
69
Изобразим множество решений:
Совместим теперь оба эти множества на одном рисунке. В зависимости от
знаков величин
C и D возможны четыре ситуации:
Как видим, точек равновесия может быть либо три, либо одна. Кроме того,
если один или оба зигзага вырождены, возможно бесконечное число
равновесных ситуаций.
Заметим, что не стоит подходить к изложенному методу слишком
формально. Комбинации параметров могут приводит к самым разным
ситуациям, которые следует уметь интерпретировать. Рассмотрим несколько
примеров.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]