Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
А 3. Решение задачи линейного программирования
графическим способом
Перечислим этапы нахождения решения задачи ЛП (1) – (2):
1.
Заменяют в ограничениях (2) знаки неравенств на знаки точных равенств и
строят соответствующие прямые.
2.
Путем подстановки произвольного х в каждое неравенство находят
полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
3.
Вычерчивают многоугольник решений.
Строят вектор
4.
5.
Строят прямую 0
Передвигают прямую 0
6.
,ccC , (обычно выходящий из нуля).
21
xcxc , проходящую через многоугольник решений.
2211
xcxc в направлении вектора
2211
C
, в результате
чего находят точку (точки), в которой целевая функция принимает
максимальное значение, либо устанавливают, что целевая функция
неограниченна сверху.
Находят координаты точки, в которой достигается максимум функции как
7.
решение системы соответствующих равенств и вычисляют значение целевой
функции в этой точке.
А 4. Геометрическая интерпретация двойственных задач
Если в прямой и двойственной задачах, которые образуют данную пару,
число переменных равно двум, то можно легко найти их решение. При этом
возможен один из следующих трех случаев:
1) Обе задачи имеют планы;
2) Планы имеет только одна задача;
3) Для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Найти максимум функции
xx
21
,8
21
0,
xx .
21
xx
,1432
при ограничениях
72 xxF
21
141
Для данной задачи составить двойственную задачу и найти решение обеих.
Решение.
Составим двойственную задачу: найти минимум функции
*
814 yyF
21
при ограничениях:
yy
yy .
21
xy
21
0,
,22
21
,73
В нашем примере число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение
можно найти графическим методом. (рис. А1, рис. А2).
рис. А1 рис. А2
Как следует из рисунка 1, максимальное значение целевой функции
исходной задачи достигается в точке
оптимальным планом, при котором
F
max
В. Значит, является
. Минимальное значение целевой
46
функции двойственной задачи достигается в точке
*
*
min
Y
явля
)4;1(
.
46
F
ется оптимальным планом двойственной задачи, при котором
*
X
)6;2(
Е (рис. А2). Значит,
Значения целевых функций исходной и двойственной задач на их оптимальных
планах рав
ны между собой.
142
А 5. Симплексный метод
Для решения задач линейного программирования есть универсальный
метод, который называется симплекс – методом. Алгоритм этого метода в той
или иной интерпретации содержится практически во всех учебниках и учебных
пособиях по линейному программированию. Решение начинают с приведения
задачи к каноническому виду. Оно происходит в три этапа:
а) строится начальное решение;
б) проводится оценка найденного решения по критерию оптимальности;
в) если условие оптимальности не выполняется, переходят к новому
решению.
Этапы б) и в) выполняются до тех пор, пока будет получено оптимальное
решение.
Все правила проиллюстрируем на примере:
Пример 2. Найти
,42
xx
21
2)max( xxZ
при ограничениях:
21
xx
xx
21
,525
21
.3
I этап. Построение начального решения.
а) Приведем задачу к каноническому виду.
1. Следует руководствоваться правилом: если задача на максимум, то все
ограничения должны быть «
ограничения у нас «
», то перейдем к нахождению минимума функции. Так
». Если задача на минимум, то «». Так как все
как в условии требуется найти максимум, решив задачу, мы вернемся к
заданной цели, умножив результат на (- 1). Таким образом, нам нужно
xxZ
минимизировать функцию: .2)min(
21
2. Если в системе ограничений среди свободных членов есть
отрицательные, то эти неравенства умножают на (-1). Умножим третье
неравенство на (-1):
143
M
xx
,42
21
xx
xx
21
,525
21
.3
3. Введем дополнительные переменные, чтобы неравенства преобразовать
в уравнения. Если знак «
», то дополнительная переменная вводится со
знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус». Получим:
xxx
321
,42
xxx
421
xxx
521
,525
.3
Такой вид системы называется каноническим.
б) В те ограничения, где дополнительные переменные вошли со знаком
«минус», следует добавить искусственные переменные. Эти искусственные
неизвестные вносят и в целевую функцию с коэффициентом
. В результате
таких преобразований получим:
xxxx
6321
,42
,525
xxx
521
xxxx
7421
.3
где - основные переменные;
- дополнительные переменные;
- искусственные переменные.
Все переменные нео
, xx
21
,, xxx
543
, xx
76
трицательны.
MxMxxxZ
,2)min(
7621
в) Выпишем векторы коэффициентов при неизвестных и вектор свободных
членов.
1
P
1
P
5
1
0
0
5
1
P
P
2
6
2
1
1
1
0
0
P
3
P
7
1
0
0
0
1
0
P
P
4
8
0
1
0
4
5
3
144
г) Строим первую симплекс – таблицу:
Таблица 1.
Базис 2 -1 0 0 0 М М
С
P
0
С.О.
P
P
P
P
1
6
7
5
M
M
0
4 1 2 -1 0 0 1 0 4
5
5
3 -1 1 0 0 1 0 0 -
P
2
1 0 -1 0 0 1 1
P
P
3
4
P
5
P
6
P
7
Z- строка 0 -2 1 0 0 0 0 0
M- строка 9 6 3 -1 -1 0 0 0
Таблицу 1 заполняют следующим образом:
1.
Записывают все векторы
Коэффициенты целевой функции при соответствующих неизвестных
2.
P .
i
записывают в самую верхнюю строку.
В первоначальный базис входят векторы, образующие единичную
3.
матрицу – в данном случае это векторы
Числа, соответствующие базисным векторам, переносят в столбец С из
4.
P , 7P , 5P .
6
верхней строки.
Для вычисления элементов двух последних строк вектор С умножают
5.
последовательно на векторы
P ,
0
P ,…,
1
P и из результата вычитают
7
соответствующие число из верхней строки.
МММСP 9030540
262)1(052
, и т.д.
13102)1(
М – строку записывают коэффициенты при М, в Z – строку –
В
коэффициенты без
М.
0
МММСP
1
ÌÌÌÑP
2
д) После того, как составлена симплекс-таблица, записывают решение. Оно
соответствует переменным с номерами базисных векторов и всегда содержится
145
в столбце . Если векторы переменных не входят в базис, то они равны нулю.
P
0
В данном случае:
,5,4
xx 3
76
II этап. Проверка решения на оптимальность.
Критерий оптимальности: если среди элементов М-строки (а затем
а)
x , ,0,0
5
xx ,0,0
21
xx .0Z
43
Z -строки), начиная со второго, нет положительных чисел, то функция
достигает минимума
. В противном случае решение необходимо улучшать.
В нашем случае решение не является оптимальным.
б) Выбирают ключевой столбец
М – строке (а затем Z – строке), начиная со второго. Ключевой столбец
в
- по наибольшему положительному числу
показывает, какой вектор войдет в базис. Так как в нашем случае наибольшее
число в
вектор .
в) Элементы делят на положительные элементы ключевого столбца
(на отри
М – строке (начиная со второго) равно 6, то в новый базис войдет
P
1
P
0
цательные и нули не делят), это так называемые «симплексные
отношения». По наименьшему симплексному отношению (С.О.) выбирают
ключевую строку. Она показывает, какой вектор выйдет из базиса. В нашем
примере симплексные отношения равны 4 и 1, в третьей строке стоит прочерк,
11;4min
так как на (-1) не делят. Так как
значит, из базиса выйдет вектор .
P
7
, то ключевой строкой будет вторая,
г) Элемент, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевог
столбца, называется разрешающим.
В построенной таблице разрешающий
элемент равен 5.
III этап. Построение нового решения (табл.2)
а) Заменим в базисе вектор на вектор . Столбец, соответствующий
вектору , отбрасываем. Когд
базиса, отбрасывают
б) Столбец
P
7
М –строку.
С заполняют также, как уже было описано.
P
7
P
1
а последний искусственный вектор уйдет из
146
о
Таблица 2
Базис 2 -1 0 0 0 М
P
6
P
1
P
5
С
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
M 3 0 9/5 -1 1/5 0 1 5/3
2 1 1 1/5 0 -1/5 0 0 5
0 4 0 6/5 0 -1/5 1 0 10/3
6
С.О.
Z- строка 2 0 7/5 0 -2/5 0 0
M- строка 3 0 9/5 -1 1/5 0 0
в) Пересчитываем симплекс-таблицу по правилам:
1. Все числа ключевой строки делят на разрешающий элемент для нее и
результат записывают в новую таблицу.
2. Остальные элементы пересчитывают, используя правило
прямоугольника: «старый» элемент вычесть «новый» элемент, результат
разделить на разрешающий элемент для «старой» строки.
Так как в последней строке таблицы 2 есть положительные числа, то
условие оптимальности не выполняется. Вновь пер
есчитываем симплекс-
таблицу по вышеуказанному правилу. Придем к таблице 3:
Таблица 3
P
С.О.
6
Базис 2 -1 0 0 0
P
2
P
1
P
5
С
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
-1 5/3 0 1 -5/9 1/9 0 -
2 2/3 1 0 1/9 -2/9 0 6
0 2 0 0 2/3 -1/3 1 3
Z- строка -1/3 0 0 7/9 -5/9 0
Так как из базиса вышел последний искусственный вектор , то таблица
3 не содержит М-строку.
Так ка
к в последней строке таблицы 3 есть положительные числа, то
условие оптимальности не выполняется вновь. Пересчитываем симплекстаблицу:
147
Таблица 4
/
/
Z
Z
Базис 2 -1 0 0 0
P
2
P
1
P
3
С
P
0
P
1
P
2
P
P
3
4
-1 10/3 0 1 0 -1/6 -5/6
2 1/3 1 0 0 -1/6 -1/6
0 3 0 0 1 -1/2 3/2
P
5
Z- строка -8/3 0 0 0 -1/6 -7/6
В последней строке полученной таблицы нет положительных чисел,
следовательно, выполнено условие оптимальности. Искомое решение имеет
вид:
xx .3
21
,3/10,3/1
8)min(
8)max(,3
148
A
A
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В этом приложении представлены понятия теории вероятностей, которые
необходимы для понимания материала данного пособия.
В 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. ВИДЫ
Приложение В
СОБЫТИЙ
Пространством элементарных событий (исходов) называется любое
множество взаимо
интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан при
помощи элементов этого множества.
Рассмотрим конечные или счетные п
Это так называемые дискретные пространства. Элементы пространства
будем называть
Событием называется любое подмножество элементов
(считается, что событие
элементарных событий
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении
элементарными событиями.
исключающих исходов эксперимента такое, что каждый
А произошло, если произошло какое - либо из
).
ространства элементарных событий.
некоторых условий может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно
обязательно происходит.
Невозможным называется событие, которое в результате испытания
произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании,
если никакие два из них не могут появиться вместе.
Например, если подбрасывается монета, то событие «выпадение герба» и
«выпадение решки» – несовместные события, то есть появление одного из
149
событий исключает появление другого события.
Случайные события называются совместными в данном испытании,
если появление одного из них не исключает появление другого.
Например, подбрасываются два игральных кубика. Событие
очков на первом игральном кубике, событие
кубике.
A и B – совместные события.
B – выпадение 4 очков на втором
A – выпадение 3
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в
появлении хотя бы одного из событий А или В.
Произведением или пересечением событий называется событие, которое
состоит в совместном появлении этих событий.
Очевидно, что
A + A = A, A · A =A.
Например, если событие A – это попадания стрелком в цель при первом
выстреле, а событие
B – попадание в цель при втором выстреле, то событие
C = A + B – это попадание в цель вообще, не имеет значения, при каком
выстреле, при первом, при втором, или при обоих вместе. Событие
C = A · B –
это попадания в цель при обоих выстрелах.
Обозначим – достоверное событие;
события
A и B несовместные, то можно записать A · B = Ø.
Говорят, что случайные события А
Ø – невозможное событие. Тогда, если
, А2, … , Аn образуют полную группу,
1
если события попарно несовместные Аi · Аj = Ø, i ≠ j, а их сумма образует
достоверное событие А1 + А2 + … + Аn = .
Событие называется противоположным событию A и обозначается A ,
если A и A несовместные события, и AA
– достоверное событие:
AAAA ,, то есть события A и A образуют полную группу событий.
Вероятностью события А называют отношение числа m
благоприятствующих этому событию исходов испытания к общему числу n
всех равновозможных несовместных исходов данного испытания:
m
AP
.
n
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]