Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
элементов другого столбца, следовательно, дальнейших преобразований не
будет.
Пример 3.7. Для данной платёжной матрицы A выявите стратегии,
заведомо невыгодные для первого игрока:
А .
Решение. Обозначим стратегии первого игрока как , , . Сравним
стратегии и : , , ,
A
A
1
2
5776
7618
3434
86 17 67 75
A2A3A
1
. Так как знаки неравенств разные,
то в этой паре нет невыгодных стратегий.
Сравним стратегии и : ,
A
неравенств одинаковые, то выбор стратегии предпочтителен, че
стратегии . Таки
A
3
7618
А .
м образом. Получаем матрицу:
5776
A 46 37
1
3
, , . Так как знаки
A
1
47 35
м выбор
Пример 3.8. Для данной платёжной матрицы A выявить стратегии,
заведомо невыгодные для второго игрока:
А .
5776
7618
3434
Решение. Обозначим стратегии второго игрока как , , , .
Сравним стратегии и , и , и :
B и 2B
1
B
1
76
76
B
2B1
B и 3B
1
B
3B1
B
4
B и 4B
1
56
18 68 78
B
B
B
1
2
B
3
4
31
B и 2B
1
B и 3B
1
B и 4B
1
34 44 34
Так как знаки неравенств в последнем столбце одинаковые, то выбор стратегии
предпочтителен, чем выб
B
4
ор стратегии . Таким образом. Получаем
матрицу:
А .
Сравним стратегии и , и :
B
и
2
B
B
77
61
71
577
761
343
2
3
B
3B2
и
B
2
B
57
B
4
4
43 33
В первом столбце полученной таблицы знаки неравенств одинаковые,
B
1
поэтому выбор стратегии вторым игроком предпочтительнее, чем выбор
стратегии . Таки
B
4
м образом, получаем упрощение игры:
77
А .
61
43
B
2
Дадим общее определение доминирования стратегий в матричных играх.
Определение 3.9. Если для всех значений j=1,2…,n справедливы
неравенства и хотя бы для одного значения j неравенство являет
aa
kjij
ся
строгим, то стратегия l доминирует стратегию k для 1-го участника..
Аналогично:
32
Определение 3.10. Если для всех значений i=1,2…,m справедливы
неравенства , и хотя бы для одного значения i неравенство является
строгим, то стратегия l дом
Редукцией
aa
ilij
инирует стратегию k для 2-го участника.
(сокращением игры) называется вычёркивание доминируемых
стратегий. В результате редукции уменьшается размерность платёжной
матрицы.
Полученное решение игры называется
стратегиях
.
решением в доминирующих
Пример 3.7. Кот Базилио и лиса Алиса узнали, где спрятан золотой
ключик. Каждый из них может сказать об этом либо Карабасу, либо Черепахе
Тортилле. Если оба расскажут Черепахе, или оба расскажут Карабасу, то оба
получат одинаковую награду (для простоты возьмем ее равной 0). Если один
расскажет Черепахе, а другой Карабасу, то Карабас заберет один золотой у
того, кто рассказ
ал Черепахе, и отдаст золотой тому, кто рассказал Карабасу.
Найти рациональные стратегии Алисы и Базилио.
Решение. Составим платежную матрицу:
Базилио
Карабасу Черепахе
Карабасу 0 1
Черепахе -1 0
Алиса
Из матрицы следует, что у Алисы 1-я стратегия доминирует 2-ю, т.к.
10 01
, . Поэтому Алиса выберет 1-ю стратегию. Базилио поймет это из
анализа платежной матрицы, и тоже выберет 1-ю стратегию, т.к. в первой
строке 1. В результате оба расскажут о ключике Карабасу.
0
33
3.5. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИГР К ЗАДАЧАМ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Пусть игра задана матрицей А. Чтобы найти ее решение, нужно составить
пару соответствующих двойственных задач и решить их.
n
n
m
i
Прямая задача: найти максимум функции при условиях
11
xa
j
jij
, ,
mi ,...1 0
x
j
nj ,...1
.
Двойственная задача: найти минимум функции при условиях
ya
, , ,.
iij
1
nj ,...1 0
y
i
1
mi ,...1
.
xF
j
j
1
m
*
yF
i
i
1
Решая составленную пару двойственных задач, получим формулы для
вычисления оптимальных стратегий и цены игры:
n
j
*
x
j
*
x
j
1
vx
*
,
j
*
u
i
m
i
*
y
i
*
y
i
1
vy
*
*
,
z
i
j
11
v
i
m
1
n
*
i
1
j
,
*
xy
j
, mi ,...1
.
nj ,...1
Алгоритм решения матричной игры с использованием методов линейного
программирования:
Составляют пару двойственных задач линейного программирования,
1.
соответствующих данной матричной игре.
2.
Находят оптимальные планы составленной пары задач.
34
3. Находят решение игры, используя соотношения между планами пары
F
двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры.
Пример 3.8. Найти решение игры, заданной матрицей:
A .
021
101
012
Решение. Составим двойственную пару задач линейного
программирования. Прямая задача: найти максимум функции
при ограничениях
xx
,12
21
,1
xx
31
xx
Двойственная зада
. 0,,
.12
21
ча: найти минимум функции при
xxx
321
*
ограничениях
yyyF
321
xxxF
321
yyy
,12
321
,12
y
yy
31
.1
2
.
0,,
yyy
321
Составим таблицу и найдем оптимальное решение прямой и двойственной
задач:
i
базис С
Р0
б
1 1 1 0 0 0
Р
Р2 Р3 Р4 Р5 Р6
1
1 Р4 0 1 1 2 0 1 0 0
2 Р5 0 1 1 0 1 0 1 0
3 Р6 0 1 2 1 0 0 0 1
*
0 -1 -1 -1 0 0 0
1 Р4 0 1 1 2 0 1 0 0
2 Р3 1 1 1 0 1 0 1 0
3 Р6 0 1 2 1 0 0 0 1
35
i
F
F
базис С
Р0
б
1 1 1 0 0 0
Р
Р2 Р3 Р4 Р5 Р6
1
1 Р2 1
2 Р3 1 1 1 0 1 0 1 0
3 Р6 0
Таким образом, решение исходной задачи
двойственной -
Следовательно, цена игры
игроков
*
*
*
0;
U ,
1 0 -1 0 0 1 0
*
Y .
2
1
;
3
3
1
2
1
2
3
2
1
0;1;
2
*
Z .
;0
1
2
3
2
1
2
2
1
;
3
3
1 0
0 0
0 0
1
v
1
2
2
3
1
1
2
1
2
1
2
*
, а оптимальные стратегии
1
X , а решение
;0
0 0
0 1
1 0
1;
2
ЗАДАЧИ
I. Определите алгебраическим и геометрическим методами оптимальные
решения следующих игр 2х2:
0125
1.
6. . 7. . 8. . 9. . 10.
II. Решите следующие матричные игры:
1. . 2. . 3. .
4.
0310
718
703
. 2.
63
54
97
1113
315
287
3784
4895
. 5.
. 3.
610
98
21
34
5433
3345
. 4.
. 6.
70
. 5.
410
20
13
15,04,0
68
3,05,01
.
74
11
.
02
181615192519136
1513121618192519
.
36
Y
xHH
31
7. . 8. . 9.
III. Решите следующие матричные игры:
75
119
93
2115
3327
122
84
64
46
. 10. .
131
95
75
57
642
1. . 2.
5. . 6. . 7. . 8.
9. . 10. .
226
262
164
144
611
164
144
611
247
120
156
963
339
393
120
002
210
. 3.
175
155
622
4. БЕСКОНЕЧНЫЕ
АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
465
342
138
. 4. .
231
313
132
252
511
.
212
Рассмотрим игру двух лиц.
Определение 4.1. Тройка
первого игрока,
выигрыша первого игрока или проигрыша второго, называется
антагонистической игрой
Определение 4.2. Антагонистическую игру называют бесконечной, если
хотя бы один игрок имеет бесконечное множество стратегий.
Определение 4.3. Если в антагонистической игре , ]1;0[Х ]1;0[
игра называется антагонистической игрой на единичном квадрате.
Предположим, что функция выигрыша ),(
непрерывной в квадрате .
- множество стратегий второго игрока, Н - функция
.
]1;0[]1;0[
HYХ ,, , где Х – множество стратегий
Y , то
является
y
37
Определение 4.4. Ситуация
x
x
**
, yx называется приемлемой для первого
игрока, если для любого
***
,, yxHyxH .
Аналогично,
Определение 4.5. Ситуация
игрока, если для любого выполнено неравенств
***
Определение 4.6. Ситуация
приемлема для обоих игроков, т.е.:
В этом случае точка
yxH ,.
yxHyxH ,,
]1;0[
выполнено неравенство:
.
****
.
yxHyxHyxH ,,,
**
, yx
**
, yx называется приемлемой для второго
**
, yx называется равновесной, если она
называется седловой точкой функции
о: ]1;0[y
Определение 4.7. Максиминной стратегией первого игрока называют
*
точку
y
Величина
Определение 4.8. Минимаксной стратегией второго игрока называют
точку
x
Величина V - называется верхней ценой игры.
Теорема 4.1. Непрерывная игра на единичном квадрате имеет решение в
чистых стратегиях, тогда и только тогда, когда
При этом пара
, для которой выполнено
yx ,
*
1,0
*
, yx, для которой выполнено
1,0
x
V - называется нижней ценой игры.
*
y
y
1,0
1:0
1,0
x
1:0
**
, yx определяет равновесную ситуацию, а
,minmax,min
**
,maxmin,max .
.
VyxHyxH
**
VyxHyxH
VV
.
*
*
и -
y
чистые стратегии первого и второго игрока соответственно.
Замечание 4.1. Если не существует решения игры в чистых стратегиях,
то ее расширяют на случай смешанных стратегий
.
38
Смешанными стратегиями игроков в игре на единичном квадрате
являются их вероятностные распределения с функциями распределения
yQ
соответственно.
Выигрыш первого игрока определяется ка
Определение 4.9. Ситуация
игрока, если для всех функций распределения
Аналогично,
Определение 4.10. Ситуация
D
1:0,,y
***
,, QPHQPH .
ydQxdPyxHQPH ,,,
D
ydQyxHQxH ,
**
,QP называется приемлемой для первого
к математическое ожидание:
1;01;0
.
1:0,,x
xP выполнено неравенство:
**
,QP называется приемлемой для
xdPyxHyPH .
xP и
второго игрока, если для всех функций распределения выполнено
неравенство:
***
Определение 4.11. Ситуация
приемлема для обоих игроков, т .е.:
При этом и - опти
игрока соответственно.
Цена игры в смешанных стратегиях
Теорема 4.2. Ситуация
единичном квадрате, тогда и только тогда, когда
QPHQPH ,,
.
**
,QP называется равновесной, если она
*
P
Q
*
****
мальные смешанные стратегии первого и второго
.
QPHQPHQPH ,,,
**
,QPHV .
**
,QP называется равновесной в игре на
yQ
****
, для всех
Теорема 4.3. В непрерывной антагонистической игре на единичном
квадрате у игроков всегда существуют оптимальные смешанные стратегии.
Частным случаем игр на единичном квадрате являются выпуклые игры.
yPHQPHQxH ,,,
x,
1;0
y
.
1;0
39
4.1. ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
x
H
x
H
x
H
x
x
x
x
x
H
VV
Определение 4.12. Непрерывная антагонистическая игра на единичном
квадрате с функцией выигрыша ),( y
),( y
выпукла при любом значении
называется выпуклой, если функция
x.
1;0
Теорема 4.4. Пусть - выпуклая игра с функцией выигрыша Г ),( y
дифференцируемой по у при любом х. Чистая оптимальная стратегия второго
игрока
имеется чистая стратегия
имеется чистая стратегия
*
y,V - цена игры. Тогда:
1. Если , то среди оптимальных стратеги
2. Если , то среди оптимальных стратеги
3. Если , и первый игрок не имеет оптимальной стратеги
*
0
y
1
, для которой . 0)0,(
*
1
y
2
, для которой . 0)1,(
*
10
y
1
y
y
xH
2
xH
й первого игрока
й первого игрока
и, то
,
среди оптимальных стратегий первого игрока имеется такая, которая
1
является «смесью» двух стратегий и . При этом стратегии
употребляются с вероятностями
x
и
1 соответственно,
2
x
находится из
1
и
2
уравнения
yy
*2*1
0),(1),(
yxHyxH
. (4.1)
СХЕМА РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
1. Проверить функцию ),( y
выполнение неравенства . 0) ,( yxH
yy
2. Из соотношения
y
*
стратегию второго игрока ка
y
1,0
x
1:0
к значение переменной, на которой достигается
на выпуклость, т. е. проверить
VyxH
,maxmin
найти чистую оптимальную
внешний минимум и цену игры
как значение этого минимума.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]