Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Игрок B:

























821,15,8,10,16minmaxmin





3:;2:;8 BA

- решение в чистых стратегиях.

Определение 3.6. Если в матричной игре выигрыш одного игрока равен

проигрышу другого, то она называется игрой с нулевой суммой,.

Игра в примере 3.1 – игра с нулевой суммой.

Если

 , то справедливо строгое неравенство

(согласно теореме

3.1). Тогда игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Пример 3.2. Найдите решение игры.

A 6

11 -5

8 -5

17 -2 1 0 -15 -15

-9 14 3 8 5 -9

-1 -7 10 4 12 -7

17 14 12 8 12

Реш

ение.

 ;8;5

. Решения в чистых стратегиях нет.

Среди имеющих практическое значение конечных игр редко встречаются игры с седловой точкой. Случай, когда нижняя цена игры не равна верхней, является более типичным.

3.2. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ ИГРЫ

Рассмотрим игру, не имеющую седловой точки. Если игрок может предугадать, какую из чистых стратегий выберет противник, то он может найти наилучший ответ на ход противника. Таким образом, каждый игрок заинтересован в том, чтобы его ходы нельзя было предсказать. Для этого в выбор стратегий нужно ввести элемент случайности. Правда, отсутствие логики при выборе страт

егий ухудшит положение каждого из игроков, поэтому нужно

достичь определенного компромисса. Он будет заключаться в том, что игроки





чередуют (смешивают) свои стратегии случайным образом, но по определённой схеме. Комбинация чистых стратегий и должна соответствовать этой схеме.

Изменим правила игры: каждый игрок наряду с отдельными стратегиями может применять их комбинации из своего множества стратегий, в которых стратегии представлены в определенных пропорциях.

Определение 3.7. Смешанными стратегиями данного игрока

называются комбинированные стратегии, которые состоят в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот.

Сумма частот равна единице, и сами частоты не отрицательны. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, в которой все стратегии, кроме одной, применяются с частотами, равными нулю, и только данная – с частотой, равной 1.

Теорема 3.2. (Основная теорема матричных игр, Дж. фон Нейман,

1928

). Любая матричная игра имеет, по крайней мере, одно решение, в общем

случае, в смешанных стратегиях и соответствующую цену v.

Введем обозначения для смешанных стратегий. Если, например, смешанная стратегия игрока

вероятностями , , причем

p 1

1p2

состоит в применении стратегий , с



, то будем обозначать эту стратегию

 

 







Аналогично, смешанную стратегию противника будем обозначать

 



 







A2A

Здесь , - частоты, с которыми смешиваются страт

 qq

q2q

егии , ,

B2B

Определение оптимальных стратегий и цены игры и составляет процесс





нахождения решения игры. Переход от чистых стратегий к смешанным стратегиям называют

смешанным расширением игры.

Теорема 3.3. В любой матричной игре нижнее значение игры в

смешанных стратегиях равно верхнему значению игры в смешанных

стратегиях, т.е.

vvv  .

Число v называется решением игры в смешанных стратегиях.

Полезными стратегиями будем называть стратегии, входящие в

оптимальную смешанную стратегию игрока.

Отметим замечательное свойство решения игры: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры

независимо от того, что делает

другой игрок, если он не выходит за пределы своих полезных стратегий.

3.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИГР.

ГРЫ 22

Решение игры 22 

Рассмотрим игру, заданную матрицей

 



 



1211





2221

Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях:



, . (3.1)





 







 



 

BB qq

Вероятности применения чист соотношениям:

 pp , 1

 qq .

, n

2 , 2

 

 

ых стратегий удовлетворяют

Если игрок не выходит за пределы своих полезных стратегий, то

оптимальная смешанная стратегия обладает тем свойством, что обеспечивает

ему максимальный средний выигрыш, равный цене игры, независимо от того,





какие действия предпринимает противник.

vpapa

Цена игры равна

, если игрок А использует свою

221111

оптимальную смешанную стратегию, а игрок стратегию . Аналогично, цена игры равна

B vpapa 

В – свою чистую активную

222112

использует свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок активную стратегию , то. Таким образом, получаем си

нахождения смешанных стратегий игрока





vpapa

221111

стему уравнений для





vpapa

 



222112



Решая полученную систему, найдем:





2122





1211



;

aaaa

21122211

; (3.2)

aaaa

21122211

, если игрок А

В – свою чистую



aaaa



21122211

aaaa



21122211

Для нахождения стратегий второго игрока получим аналогичную систему:





vqaqa

212111





vqaqa

 



222121



Решение последней системы:



1222





2111

;

aaaa

21122211

; (3.3)

aaaa



21122211



aaaa

21122211

aaaa



21122211



























Пример 3.3. Найдите решение игры, заданной матрицей

 

 

 





Решение. Сначала проверим наличие седловой точки у данной матрицы.

Для этого найдем минимальные элементы в каждой из строк (2 и 4) и максимальные элементы в каждом из столбцов (6 и 5). Значит, нижняя цена игры 4)4,2max( 

, а нижняя цена игры 5)5,6min(

. Так как

, то

решением игры являются смешанные оптимальные стратегии, а цена игры заключена в пределах 54 

Каждый из игроков обладает единственной оптимальной смешанной

 

стратегией: , .



 

Подстави

м элементы матрицы











2122



aaaa



1211





aaaa

21122211



aaaa

 



 

А в формулы (3.2):



21122211



aaaa

21122211



21122211









6542





;

6542



;

6542



6542

Найдем теперь оптимальную стратегию для игрока подставим элементы матрицы



2111



aaaa

21122211



1222



aaaa

21122211



aaaa

21122211



aaaa

21122211



Следовательно, решением игры являются смешанные стратегии

 









 





А в формулы (3.3):











6542



6542







, а цена игры



В. Для этого

;

v .



Решение игр и n2 2



































Игра или 2 всегда имеет решение, которое находится из

уравнения:

n2 m





Для того, чтобы найти максимум по переменной



плоскости . Затем выбирают ломану

находят ее максимальную точку. В этой точке будут пересекаться две прямые. Таким образом, игра будет свед можно решить алгебраическим методом.

Если в оптимальной точке пересекается более двух стратегий, то в

качестве активных может быть выбрана любая пара из них.

Решение игры 2 осуществляется аналогично. Но в этом случае

строится графическое изображение игры для второго игрока и выделяется

yp;,



papaZ  1min



1;0p

2



оптjоптj



, строят прямых вида n

ена к игре

ю, огибающую их снизу, и



papapapav

1minmax1min

, которую более точно

от функции

 1

paay



на

верхняя граница выигрыша (так ка стратегия игрока ординатой (минимакс).

Пример 3.4. Найдите решение игры, платежная матрица которой имеет

 



вид:

стратегиях. Для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры:

решение можно найти в смешанных стратегиях.



Решение. Сначала проверим, не решается ли данная игра в чистых



Платежная матрица не имеет седловой точки, поэтому оптимальное

Обозначим смешанные стратегии игрока

В), и на ней находится оптимальная точка с наименьшей

852

 



347

, 5)8;5;7min(

3)3;2max(



к находится оптимальная смешанная

А как

и p1. Матрица А

содержит 3 столбца. Следовательно, нам нужно построить графики следующих функций:

1j:













 ;

pppy 57172

2

3



 4145



 .

pppy

;

pppy 53138

Построим полученные прямые на чертеже (рис.3.1):

10 10

0.2 0.4 0.5 0.6 0.8

Рис. 3.1

В точке

стратегиям

N (максимин) пересекаются линии, соответствующие активным

и В2 игрока В. Таким образом, исключая стратегию В3, получаем

матричную игру

 

 

 





Подставив элементы полученной матрицы в формулы (3.2) – (3.3), найдем:



p ;



q ;

v .



с платежной матрицей вида



5742





5742



5742

 pp ;

 qq ;

1 2

5 6



5742



BBB



321



5 6

;





v .

Ответ:

 



 





;

 

 







вид



























Пример 3.5. Найдите решение игры, платежная матрица которой имеет

 

 





 



 

35,1



Реш

ение. Проверим, решается ли данная игра в чистых стратегиях. Для

 

 







  

 

этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры:



2)5,1;2;3;1;2;0max(

, 4)4;6min(

Платежная матрица не имеет седловой точки. Обозначим смешанные

стратегии игрока В как и q q

1. Матрица А содержит 6 строк. Следовательно,

нам нужно построить графики следующих функций:

1i :

 110



;

qqqz 

2i :

3i :

4i :

5i :

6i :

 ;

 ;











qqqz 22124

qqqz 5414

qqqz 4313

qqqz 82126

qqqz 5,13135,1

Строим для игрока В графическое изображение игры (рис. 3.2).

-1

-2

-3

0.2 0.4 0.6 0.8

-1

-2

-3

Рис.3.2

В точке М (минимакс) пересекаются отрезки, соответствующие активным







стратегиям А

, А6 и А3 игрока А. Исключая стратегии А1, А4 и А5 и выбирая из

трех активных стратегий две (например, А матричной игре 22

. Мы не можем выбрать стратегии А3 и А6 , так как тогда

точка М перестанет быть точкой минимакса.

Выберем стратегии А

 

 

 41

 

 

и А3. Тогда игра приобретает вид : 22 

Подставив элементы полученной матрицы в формулы (3.2) – (3.3), найдем:

p ;

q ;

 







1244



1244

p ;

q ;

5 7

и А3 или А2 и А6), приходим к

v .



 

Ответ:



 

Обобщая изложенные выше результаты решения игры 2, можно

2144





1244

AAAAA



54321



;





 



 





;

2 7





v .

2 

указать

Основные этапы решения игры n

Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

Определяют нижнюю (верхнюю) границу выигрыша.

Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две

2 и 2

прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.

Находят цену игры и оптимальные стратегии.

3.4. ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ. РЕДУКЦИЯ ИГРЫ. РЕШЕНИЕ





ИГРЫ В ДОМИНИРУЮЩИХ СТРАТЕГИЯХ

В этом параграфе пойдет речь о попарном сравнении между собой стратегий игрока. Иногда в результате такого сравнения делается вывод о превосходстве (т.е. доминировании) одной стратегии над другой. Рассмотрим пример.

Пример 3.6. Дана платёжная матрица A:

  

31

 

2232



 

1728









Первый игрок выбирает строку, второй выбирает столбец.

Второй и

грок может заметить, что элементы 4-го столбца больше или равны соответствующих элементов 2-го столбца. А как было указано выше, второй участник стремиться минимизировать . Значит, при любых действиях

соперника 2-я стратегия оказывается лучше ил

и не хуже, чем 4-я. В таких случаях говорят, что 2-я стратегия доминирует над 4-й. Следовательно, 4-ю стратегию 2-й участник может вычеркнуть.



 



 



2413

 

2322

 

8271





413

 

 



 

322

 

271





 

 



 

 



Аналогично, продолжая рассуждения и сравнивая 1 и 3 стратегии второго

 

 



игрока, получим, что платёжная матрица примет следующий вид:

 

 



В последней матрице нет таких двух строк, чтобы элементы одной строки были больше соответствующих элементов другой строки, а также таких столбцов, чтобы элементы одного столбца были меньше соответствующих

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]