Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр и принятия решений. Учебное пособие
.pdf
ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ
Н.А. Рутта
ТЕОРИЯ ИГР
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 519.83
ББК 22.185.1
Р90
Автор:
Рутта Н.А. — канд. экон. наук, доц.,
зав. кафедрой экономики и управления
Южно-Российского гуманитарного института
Рутта, Наталья Александровна.
Р90 Теория игр и принятия решений : учебное пособие / Н.А. Рутта ; Юж-
но-Российский гуманитарный институт. — 2-е изд., стер. — Москва : Ай
Пи Ар Медиа, 2026. — 57 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-4853-9
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал,
направленный на применение теории игр при решении различных задач
в будущей профессиональной деятельности экономиста и менеджера. Изложены базовые понятия, различные методы решения многошаговых игр,
а также принятия решений в условиях риска и неопределенности и др.
Подготовлено с учетом требований Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов укрупненной группы
специальностей и направлений подготовки «Экономика и управление»,
изучающих дисциплины «Теория игр», «Методы принятия управленческих
решений», «Моделирование экономических процессов организации»,
«Аналитические методы в менеджменте» и другие аналогичные курсы.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4853-9 © Рутта Н.А., 2026
© Частное учреждение высшего образования
«Южно-Российский гуманитарный институт», 2026
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
Учебное издание
Рутта Наталья Александровна
Редактор А.Д. Талмаева
Технический редактор, компьютерная верстка А.Д. Шиганова
Корректор Н.К. Толкушкина
Обложка С.С. Сизиумовой
Подписано к использованию 30.09.2025. Объем данных 6 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ ........................................ 7
1.1. Основные определения. Классификация игр ............................................... 7
1.2. Матричные игры ............................................................................................ 9
2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ................................................................................ 18
2.1. Специфика ситуации полной неопределенности.
Критерии выбора оптимальной стратегии ........................................................ 18
2.2. Выбор стратегии при наличии вероятностной информации .................... 24
3. МНОГОШАГОВЫЕ ИГРЫ ........................................................................... 25
3.1. Значение многошаговых игр в принятии решения.................................... 25
3.2. Многошаговые игры с неполной информацией ........................................ 28
3.3. Многошаговые игры с полной информацией ............................................ 28
3.4. Ситуация равновесия по Нэшу ................................................................... 31
4. КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ ............................................................................ 33
ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ...................................................................... 42
ГЛОССАРИЙ................................ ................................................................ ........ 53
ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................................... 57
5
ВВЕДЕНИЕ
В практической деятельности людей часто возникают конфликтные ситуации, когда нескольким участникам приходится взаимодействовать при обстоятельствах, в которых каждый из участников старается достичь своей цели доступным ему способом, но никто из них полностью не влияет на ход событий,
т. е. исход борьбы лишь частично зависит от действий каждого участника.
В конфликтной ситуации имеются несколько заинтересованных сторон, каждая
из которых старается получить максимальный выигрыш.
Теория игр — это раздел математики, в котором исследуются вопросы
поведения и вырабатываются оптимальные правила (стратегии) поведения для
каждого из участников конфликтной ситуации.
Исследования игровых ситуаций проводились многими учеными, основное внимание которых было направлено на создание понятий оптимального поведения игроков и на методы отыскания лучших стратегий.
Теория игр имеет не очень длинную историю. Решающий поворот в ее
развитии произошел в 1928 г. благодаря американцу Дж. фон Нейману. Именно
тогда он представил математическое обоснование общей стратегии для игры
двух участников в терминах минимизации и максимизации. Одним из родоначальников теории игр был и французский математик Э. Борель. Но первым систематизированным изложением идей и методов в этой области была вышедшая в 1944 г. работа фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», которая распространила теорию игр на произвольное число
участников и применила эту теорию к экономическому поведению. Предложенная в ней стратегия — минимакс, или минимизация максимальных потерь —
определяется как рациональный курс в условиях неопределенности.
Теория игр и решений получила сильный импульс в годы Второй мировой
войны, когда был введен термин «исследование операций». В типичной задаче
этой тематики рассматривалась «дуэль» между самолетом и подводной лодкой.
Первому требовалось найти оптимальную схему патрульного поиска в определенном районе; другому было необходимо изыскать наилучший способ ухода от
наблюдения. Математики группы исследования операций по противолодочной
защите, используя материалы фон Неймана, опубликованные в 1928 г., решили
эту задачу.
Статистические критерии для принятия решений в условиях неопределенности были обоснованы математиком из Колумбийского университета
А. Вальдом в 1939 г. Они определяют максимин — критерий, которым пользу-
6
ются в ожидании наихудшего результата. Л. Гурвиц и Л. Сэвидж разработали
и другие критерии, подобные «критериям сожаления», где субъективные вероятности могут заставить увеличить или уменьшить риск.
Теория игр не охватывает все аспекты возникающих реальных ситуаций,
тем не менее при определенном опыте многим ситуациям можно придать игровую схему и тем самым получить возможность ее исследования методами теории игр. В любой игровой схеме конкретной конфликтной ситуации каждый
участник может выбирать по своему усмотрению те или иные действия, в зависимости от которых будет получаться тот или иной исход. Для анализа игры
необходимо знать ее правила, количество игроков, их цели, возможные действия, последствия, выигрыши и т. д. Обычно анализ игры сводится к указанию
наилучших стратегий и выигрышей для каждого игрока. Выигрышем, в частности, может быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, экономических или политических рычагов в производственно-хозяйственной деятельности предприятий.
Данное учебное пособие направлено на формирование теоретических
и практических навыков по вопросам, касающимся принятия управленческих
решений в конфликтных ситуациях; обучение основам процесса принятия
управленческих решений, нахождение оптимальных стратегий в процессе подготовки и принятия управленческих решений в организационно-экономических
и производственных системах, т. е. тех инструментов, с помощью которых
в современных условиях формируются и анализируются варианты управленческих решений в конфликтных ситуациях.
7
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР
Управление экономикой состоит из анализа возможностей, определения,
сравнения и выбора альтернатив, обладающих наибольшей эффективностью,
например, определение лучшего способа использования ресурсов в бизнесе.
Сложность, взаимосвязанность рыночной экономики, экономические кризисы, а также современный высокий уровень требований, предъявляемый
к обоснованию принятия решений, приводят к необходимости использования
серьезных, основательных научных методов для решения проблемы выбора
управленческого решения.
Основной наукой, позволяющей описать на математическом языке задачи
по принятию решения в условиях взаимодействия одновременно нескольких
участников, является теория игр [1].
Игра характеризуется системой правил, определяющих количество участников игры, их возможные действия и распределение выигрышей в зависимости от их поведения и исходов. Игроком принято считать одного участника
или группу участников игры, имеющих одни общие для них интересы, не совпадающие с интересами других групп. Поэтому не каждый участник считается
игроком. Так, например, если в игре принимают участие четыре человека
и каждый играет только за себя, то в ней имеется четыре игрока; если же четыре человека образовали две коалиции по два участника, то считается, что в этой
игре участвуют два игрока.
Пусть три фирмы, имеющие определенный капитал, хотят использовать
его для получения возможности сбыта своей продукции на рынке. Каждая из
этих фирм, вкладывая капитал, может сбывать свою продукцию с некоторой выгодой для себя. Эта выгода зависит не только от вклада одной фирмы, а от вкладов, сделанных другими фирмами. Ни одна из фирм не имеет полного влияния
на рынок сбыта, т. е. каждая фирма только частично влияет на конечный результат — выгоду, получаемую ею. Рассматривая экономическую ситуацию, возникающую в результате взаимодействия трех фирм, как игру, можно допустить:
1) все три фирмы действуют самостоятельно, добиваясь наибольшей вы-
годы для себя за счет своих возможностей и учитывая возможные поведения
других фирм, тогда это будет игра трех игроков;
2) какие-либо две фирмы объединились в коалицию и действуют сов-
местно с единой целью достигнуть наибольшей выгоды для себя, учитывая
возможные поведения третьей фирмы, тогда это будет игра двух игроков.
8
Правила или условия игры определяют возможные поведения, выборы
и ходы для игроков на любом этапе развития игры. Сделать выбор игроку —
это значит остановиться на одной из возможностей его поведения. Затем игрок
осуществляет этот выбор с помощью ходов. Сделать ход — это значит на определенном этапе игры осуществить сразу весь выбор или его часть в зависимости от возможностей, предусмотренных правилами игры. Каждый игрок на
определенном этапе игры делает ход согласно сделанному выбору. Другой игрок, зная или не зная о сделанном выборе первого игрока, также делает ход.
Каждый из игроков старается учесть информацию о прошлом развитии игры,
если такая возможность разрешается правилами игры.
Набор правил, которые однозначно указывают игроку, какой выбор он
должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся
в результате проведения игры, называется стратегией игрока. Стратегия в теории игр означает определенный законченный план действий игрока, показывающий, как надо действовать ему во всех возможных случаях развития игры.
Правилами игры предусматриваются определенные выигрыши для игроков в зависимости от применяемых ими стратегий и исходов игры. Выигрыш —
это мера эффекта для игрока. В играх, отображающих экономические ситуации,
выигрыши почти всегда измеряются в стоимостном выражении: прибыль, себестоимость, амортизация и т. д. Так, в описанной ситуации трех фирм выигрыш
может измеряться той прибылью, которую получит фирма в результате применения стратегий всеми фирмами.
Итак, игра — это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия 2-х участников или более. Предполагается, что известны варианты действий сторон (стратегии), исход игры для каждого участника
в случае выбора конкретных действий всеми участниками, степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников.
Приведем некоторую классификацию игр в зависимости от различных
параметров.
1. Количество игроков. Различаются игры 2-х лиц (2 участника игры)
и игры n лиц (число участников более 2).
2. Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число
возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Если число стратегий
хотя бы одного из участников игры бесконечно, то игра называется бесконечной.
3. Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой — сумма
выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы — антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой.
9
4. Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения мож-
но рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между
участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные
игры (коалиции определены заранее).
5. Тип функции выигрыша. По данному критерию традиционно рассмат-
риваются такие классы игр, как матричные (игра 2–х лиц, выигрыш одного из
игроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), биматричные (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей),
непрерывные (функция выигрышей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые (функция выигрышей есть выпуклая функция на множестве стратегий) и т. д.
6. Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра закан-
чивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одношаговой. В противном случае игра называется многошаговой (позиционной,
например, шахматы).
Кроме этого, выделяются различные классы игр по иным признакам (ста-
тистические, дифференциальные и др.). В частности, рассматриваются так
называемые «игры с природой», т. е. игры, когда в качестве второго игрока выступает не игрок с противоположными интересами, а некоторая сторона с «неопределенными» интересами (природа). В этом случае для поиска оптимальных
стратегий используется наряду с принципом гарантированного результата
и другие критерии, например: критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, которые
рассмотрим далее.
1.2. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
Матричной игрой называется игра, осуществляемая по следующим пра-
вилам:
1. В игре участвуют два игрока.
2. Каждый из игроков обладает конечным набором стратегий.
3. Игра заключается в том, что каждый из игроков, не имея информации
о действиях противника, делает один ход (выбирает одну из своих стратегий).
Результатом выбора игроками стратегий является выигрыш и проигрыш в игре.
4. И выигрыш, и проигрыш выражаются числами.
Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, если в этой игре вы-
игрыш одного игрока равняется проигрышу другого игрока.
10
Игры двух лиц с нулевой суммой.
Игра двух лиц с нулевой суммой задается следующими условиями:
1) имеются 2 игрока, стратегии одного из них расположены по строкам
(1-й игрок), а другого — по столбцам (2-й игрок);
2) каждый игрок выбирает одну из своих стратегий независимо от друго-
го: первый одну из m стратегий, второй одну из n;
3) если первый игрок выбирает стратегию i, а второй — стратегию j, то
первый игрок получает выигрыш aij, который интерпретируется как платеж от
второго игрока.
Такая игра называется игрой 2-х лиц с нулевой суммой и представляется
в виде матрицы игры (табл. 1), которая содержит выигрыши первого игрока
(или, как отмечалось, проигрыши второго игрока).
Таблица 1
Матрица игры
Стратегия 1
игрока 2
Стратегия 2
игрока 2
…
Стратегия n
игрока 2
Стратегия 1
игрока 1
a11
a12
…
a1n
Стратегия 2
игрока 1
a21
a22
…
a2n
… … … … …
Стратегия m
игрока 1
am1
am2
…
amn
В табл. 2 приведена некоторая конкретная матрица игры, согласно кото-
рой выигрыш первого игрока составит 2 единицы, если первый игрок выберет
свою вторую стратегию, а второй игрок — свою первую стратегию.
Таблица 2
Пример матрицы игры
Стратегия 1
Стратегия 2
Стратегия 3
Стратегия 4
Стратегия 1
1 2 3
–1
Стратегия 2
2 1 –2
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]