Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр и принятия решений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю.

Как уже отмечалось, плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ними невозможна.

Верхнее и нижнее значение игры, условие седловой точки.

Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию своего против-

ника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения некоторую конкретную игру (табл. 3).

Таблица 3

Пример матрицы игры

Стратегия 1

Стратегия 2

Стратегия 3

Минимум

по строкам

Стратегия 1

4 4 10

Стратегия 2

2 3 1

Стратегия 3

6 5 7

Максимум

по столбцам

6 5 10

Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою

первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет 1-ю или 2-ю, поскольку в этом случае его потери будут минимальными — 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Рассуждая аналогично, можно видеть, что если 1-й игрок выбирает свою 3-ю стратегию, то 2-ой выбирает 3-ю, проигрывая при этом 1-му. Если 1-й игрок выбирает стратегию 2, то 2-й — стратегию с проигрышем 5. В крайнем правом столбце таблицы записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выигрывать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений. Мы показали, что 1-й игрок может гарантированно выиграть по крайней мере 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая стратегию 2, 2-ой игрок обеспечивает выигрыш 1-го не более 5. Матрица, которую мы рассматриваем, удовлетворяет условию седловой точки:

max (максимум по строкам) = min (минимум по столбцам). (1)



minmax

minj1

maxmin

Говорят, что если выполнено условие (1), то игра имеет седловую точку.

В строго математическом виде это можно записать как

mi 







maxminminmax



(2)

Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любой конечной игры выполнено соотношение

mi 







maxminminmax

Доказательство. Очевидно, что

ijij



1

min

Отсюда получаем

mi 





maxminmax

Так как в этом неравенстве слева стоит конкретное число, а справа — вы-

ражение, зависящее от j, то справедливо следующее неравенство:

mi 







maxminminmax

Что и требовалось доказать. Назовем величину нижней ценой игры, или максимальным га-

рантированным выигрышем первого игрока (максимином). Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Назовем величину верхней ценой игры, или минимальным га-

рантированным проигрышем второго игрока (минимаксом). Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Как было доказано, нижнее значение любой матричной игры не превосходит верхнего значения. Если игра имеет седловую точку, то первый игрок может выбирать любую стратегию, для которой реализуется максимум в левой части соотношения (2) (максиминная стратегия), а второй игрок может выбирать любую стратегию, на которой реализуется минимум в правой части соот-

ношения (2) (минимаксная стратегия). Если игра имеет седловую точку, то общее значение v, которое достигается слева и справа в соотношении (2), называется ценой игры.

Седловая точка может рассматриваться как точка равновесия в том смысле, что отклонение от нее для каждого из игроков невыгодно. Действительно, в нашем примере если первый игрок сменит свою оптимальную стратегию 2 на 1 или 3, то выигрыш первого (соответственно проигрыш второго) увеличится.

В общем виде условие того, что пара стратегий (i0 j0) образуют ситуацию равновесия, можно записать как a

ij0

≤ a

i0 j0

≤ a

i0 j

для всех i и j. Справедлива сле-

дующая теорема.

Теорема 2. Конечная игра имеет седловую точку тогда и только тогда, когда существуют такие чистые стратегии (i0 j0), при которых

aaa

jijiij 0000



(3)

Доказательство (необходимость). Пусть игра имеет седловую точку, т. е. выполнено соотношение:

mi 







maxminminmax

Тогда если i0 — максиминная стратегия первого игрока, то

njnj

minminmax 





Если j0 — минимаксная стратегия второго игрока, то

aaa

ij 0

maxminmax





Поскольку

mi 







maxminminmax

справедливо соотношение

aaa

jiij

ij 0

minmax 



(4)

minmaxmaxmin 

Это неравенство справедливо при любых значениях i и j и, в частности, при i = i0, j = j0, а следовательно

aaa

jiij

ji 00

minmax 



Откуда очевидно следует, что

aaa

jiij

maxminminmax 







Из данных равенства и неравенства (4) следует неравенство (3), что и требовалось доказать.

(Достаточность). Если выполняется неравенство (3), то справедлива сле- дующая последовательность неравенств:

aaaaa

jiij

minmaxminmaxmaxmin

0000



Откуда следует, что

minmaxmaxmin 

В теореме была доказана справедливость обратного неравенства для произвольной матричной игры, а следовательно, справедливо равенство

, что и требовалось доказать.

Игра 2-х лиц с нулевой суммой далеко не всегда имеет седловую точку. Например, рассмотрим игру со следующей платежной матрицей (табл. 4).

Таблица 4

Платежная матрица игры

Стратегия 1

Стратегия 2

Минимум

по строкам

Стратегия 1

–1

Стратегия 2

–1

Максимум

по столбцам

Можно заметить, что условие существования седловой точки для данной платежной матрицы не выполняется в силу того, что справедливо условие (5):

< . (5)

Далее исследуем вопрос о нахождении значения игры и оптимальных стратегий игроков в случае отсутствия седловой точки [2].

Задача. Пусть в торговом центре работают два магазина, представляю- щие конкурирующие торговые сети и предлагающие аналогичную продукцию. Обе сети планируют устроить акцию по продвижению одного и того же товара и рассматривают два варианта акционной цены на этот товар: 200 или 225 у.е. за штуку. Предположим, что цена может периодически пересматриваться (это обеспечивает соблюдение фундаментального принципа теории игр о многократном повторении каждой игры). По результатам маркетинговых исследований была составлена следующая матрица:

Магазин 2-й сети

200 у.е.

225 у.е.

Магазин

1-й сети

200 у.е.

󰇣

55 % 70 % 40 % 55 %

󰇤

225 у.е.

Элементы матрицы означают долю посетителей торгового центра (в процентах), которые выберут магазин первой сети. Например, в случае если в первой сети назначат цену в 200 у.е., а во второй сети — 225 у.е., то 70 % покупателей выберут первый магазин, и только 30 %, соответственно, второй. Требуется определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение. Эта игра является строго детерминированной, так как максимум из минимумов по строкам — 55 % — равен минимуму из максимумов по столбцам (т. е. нижняя цена игры совпадает с верхней ценой). Таким образом, значение матрицы в седловой точке составляет 55 %, т. е. цена игры — 55 %.

Седловая точка находится на пересечении первой строки и второго столбца. Это означает, что оптимальной стратегией обоих магазинов будет назначение цены в 200 у.е.

Таким образом, если обе сети назначат цену в 200 у.е. и не будут ее менять достаточно долгое время, конкурентное преимущество будет на стороне первого магазина: он обеспечит себе долю покупателей не менее 55 %, тогда как второму магазину достанутся 45 %.

1minmax





1maxmin





* 2

1 рр 

* 2

1 qq 

Аналитическое решение задачи теории игр размерности 2х2.

Пусть матрица игры имеет вид:

 



 





2221

1211

аа

Тогда вектор-строка оптимальной смешанной стратегии первого игрока состоит из двух компонент:

)(*

ррр 

где , так же как и вектор-столбец Q*:

qqQ )(*



где .

Решение подобной игры отыскивается по следующим формулам:

21122211

2122

aaaa







;

* 2

1 рр 

;

21122211

1222

aaaa







;

1 qq 

;

21122211

aaaa







Магазин 2-й сети

200 у.е.

225 у.е.

Магазин

1-й сети

200 у.е.

󰇣

55 % 50 % 40 % 55 %

󰇤

225 у.е.

Решение. Матрица не имеет седловой точки (нижняя цена игры равна

50 %, а верхняя цена игры составляет 55 %), следовательно, игра не является строго детерминированной.

Отыщем ее решение по формулам:

75,0

40505555

4055

21122211

2122















aaaa

25,01

* 2

 рр

;

25,0

40505555

5055

21122211

1222















aaaa

75,01

* 2

 qq

;

(%)25,51

405005555

55*4055*55

21122211















aaaa

Это решение означает, что при определении цены в 75 % случаев первый магазин должен выбирать 200 у.е. и в 25 % случаев — 225 у.е., тогда как второй магазин, напротив, должен назначать меньшую цену в 25 % случаев, а большую — в 75 %.

В этом случае первому магазину гарантирована доля покупателей в размере 51,25 %, а второму — 48,75 % [3].

;

2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

2.1. СПЕЦИФИКА СИТУАЦИИ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. КРИТЕРИИ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ

Мы предполагали, что все участники игры имеют свои интересы, которые

выражаются либо платежными матрицами (антагонистические игры, биматричные игры), либо платежными функциями (игры n лиц). Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, при которых нам либо ничего не известно об интересах второй стороны (или сторон), либо эти интересы действительно отсутствуют (второй игрок — «природа»), характеризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неопределенности (или игры с «природой»). Естественно, что термин «природа» употребляется здесь в некотором символическом смысле как обозначение некой действительности, мотивы проявления которой нам неизвестны.

Как ранее отмечали, теория игр — это математическая дисциплина, ис-

следующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Поскольку в рассматриваемой ситуации вторая сторона не имеет, с нашей точки зрения, каких-либо интересов, это несколько меняет и наш подход к выбору своей оптимальной стратегии. Иными словами, разумно рассмотреть несколько иных критерий, чем, например, принцип минимакса для антагонистической игры (игры с нулевой суммой) двух лиц.

Следует отметить и еще одно отличие. При применении принципа доми-

нирования стратегий мы уже не можем производить исключение стратегий второго игрока («природы»), поскольку не имеем информации о его интересах, а следовательно, никаких разумных оснований для исключения его стратегий.

Критерии выбора оптимальной стратегии.

Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей первого игрока (матри-

ца выигрышей первого игрока размера m × n): A = ||aij||

mxn

1. Максимальный критерий Вальда. Это тот самый критерий, который

использовался при рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических) игр. Он отражает «принцип гарантированного результата», т. е. мы рассматриваем самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации. В математическом виде критерий записывается как





minmax

В качестве оптимальной выбирается стратегия, на которой достигается зна-

чение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пессимизма».

2. Критерий максимакса. Этот критерий является в некоторой степени

противоположным по своему смыслу предыдущему критерию, а именно он предполагает рассмотрение не самого для нас неблагоприятного случая (критерий Вальда), а, наоборот, наиболее благоприятного. Выбирается в качестве оптимальной такая стратегия, для которой этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш.

В математическом виде критерий записывается так:





minmax

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой до-

стигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего оптимизма».

3. Критерий Гурвица. Этот критерий является своего рода обобщением

двух предыдущих критериев. Он представляет из себя целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметра α, смысл которого — в определении баланса между подходами «крайнего пессимизма» и «крайнего оптимизма».

В математическом виде критерий записывается так:

 

.min1maxmax



















njmi

aaV



Критерий Вальда представляется как частный случай при α = 0, а критерий максимакса — при α = 1. Выбор конкретного значения параметра определяется скорее субъективными факторами, например склонностью к риску ЛПР (лица, принимающего решения). При отсутствии каких-либо явных предпочтений вполне логично, например, выбрать значение α = 0,5.

4. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Применение дан-

ного критерия предполагает рассмотрение некоторой производной матрицы, смысл которой состоит в том, что для каждой стратегии второго игрока определяется выигрыш в наиболее благоприятном случае (при наиболее правильном выборе стратегии первым игроком для данной ситуации), а далее вычисляются величины «недополученных» выигрышей для всех остальных стратегий первого игрока при рассматриваемой стратегии второго игрока. Элементы данной

ijij

aar 

1

max

 



 





min

матрицы R = ||rij||

m, n

, которая обычно называется матрицей риска, рассчитываются как . Далее к матрице рисков применяется минимаксный подход, а именно:





maxmin

В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой до-

стигается min, тем самым мы выбираем такую стратегию, для которой наибольшее значение «недополучения» будет иметь наименьшее значение.

5. Критерий Лапласа. Этот критерий исходит из следующего соображе-

ния. Поскольку нам ничего не известно о принципах или вероятностях применения вторым игроком своих стратегий, то мы предполагаем эти вероятности равными

Тогда критерий можно записать так:

max

 



 











Таким образом, смысл данного критерия — максимизация ожидаемого

выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.

Пример. Найти оптимальные стратегии первого игрока исходя из раз-

личных критериев, в игре с полной неопределенностью относительно поведения второго игрока, заданной следующей платежной матрицей:















15192220

21121821

23878

2518105

Решение.

1. Максиминный критерий Вальда. Вычислим минимальные значения по

строкам , а далее из них выберем максимальное:

15192220

21121821

23878

2518105













A

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]