Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр и принятия решений. Учебное пособие
.pdf
21
ij
nj
a
1
max
ijnja1
max
ij
nj
a
1
min
5,18min5,0max5,0max
1
11
ij
nj
ij
njmi
aaV
Таким образом, получаем при применении «стратегии 4».
Ответ. Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 4».
2. Критерий максимакса. Вычислим максимальные значения по строкам
, а далее из них выберем максимальное:
22
21
23
25
15192220
21121821
23878
2518105
A
.
Таким образом, получаем при применении «стратегии 1».
Ответ. Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 1».
3. Критерий Гурвица. Вычислим максимальные и минимальные
значения по строкам, а далее произведем их взвешивание с коэффициен-
том а = 0,5:
5,185,0*225,0*15
5,165,0*215,0*12
155,0*235,0*7
155,0*255,0*5
22
21
23
25
15
12
7
5
15192220
21121821
23878
2518105
A
.
Таким образом, получаем при примене-
нии «стратегии 4».
Ответ. Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 4» [2].
4. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Построим матрицу
рисков. Для этого первоначально вычислим максимальные значения по столбцам:
,
25192221
15192220
21121821
23878
2518105
A
,
а далее непосредственно матрицу рисков:
.
10001
4740
2111513
011216
1525191922222021
2125121918222121
2325819722821
252518191022521
R
.
15minmax
1
1
ij
nj
mi
aV
25maxmax
11
ij
njmi
aV
22
8max
ij
i
qq
7maxmin
1
1
ij
nj
mi
rV
19
1
max
1
1
n
j
ij
mi
a
n
V
Далее вычислим максимальные значения по строкам и из них выберем
строку с минимальным значением:
.
10
7
15
16
10001
4740
2111513
011216
R
.
Таким образом, получаем при применении «стратегии 3».
Ответ. Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 3».
5. Критерий Лапласа. Вычислим средние арифметические по строкам :
19)15192220(*25,0
18)2112182(*25,0
5,11)23878(*25,0
5,14)25805(*25,0
15192220
21121821
23878
2518105
A
.
Таким образом, получаем при применении «стратегии 4».
Ответ. Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 4».
В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных прин-
ципов выбора того или иного критерия. Оптимальные стратегии, выбранные по
различным критериям, различны.
Пример. Пусть матрица последствий есть:
8241
10358
12432
4825
Q
.
Необходимо составить матрицу рисков.
Решение. По условию задачи имеем:
q1 = , qij = 8,
q2 = 5,
q3 = 8,
q4 = 12,
(т. е. из каждого столбца определяем максимальное значение).
19
1
1
n
j
ij
a
n
23
ij
j
i
qa min
)min(maxmax
0
j
ij
i
i
i
i
qaa
j
iji
rb max
)max(minmin
0
j
ij
i
i
ii
rbb
Следовательно, матрица рисков есть:
812284518
1012385588
1212483528
412882558
R
4617
2500
0426
8033
.
При принятии решения некоторым ориентиром могут служить следую-
щие правила-рекомендации.
Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на деле ситуация склады-
вается самая плохая, т. е. приносящая самый малый доход . Но теперь
выберем решение i0 с наибольшим ai0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое, что . Так, в вышеуказанном примере имеем:
а
1
= 2,
а
2
= 2,
а
3
= 3,
а
4
= 1.
Теперь из чисел 2, 2, 3 и 1 находим максимальное. Это — 3. Значит, пра-
вило Вальда рекомендует принять 3-е решение.
При применении правила Сэвиджа анализируется матрица рисков R = (rij).
Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска bi = . Но теперь выберем решение i0 с наименьшим bi0. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i0 такое, что
. Так, в вышеуказанном примере имеем:
b1 = 8,
b2 = 6,
b3 = 5,
b4 = 7.
Теперь из чисел 8, 6, 5, 7 находим минимальное. Это — 5. Значит, данное
правило рекомендует принять 3-е решение [4].
24
n
j
n
j
ijij
i
j
mi
ijj
mi
aaprp
1 1
1
1
1
)max(minmax
2.2. ВЫБОР СТРАТЕГИИ ПРИ НАЛИЧИИ
ВЕРОЯТНОСТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В отличие от полной неопределенности весьма частой является ситуа-
ция, когда в распоряжении первого игрока есть информация о вероятностях
применения стратегий второй стороной. Эти вероятности называются апри-
орными вероятностями. Обозначим вероятности стратегий второго игрока
как pj, j = 1…, n, платежную матрицу первого игрока как A = ||aij||
m, n
, а матрицу
рисков как R = ||rij||
m, n
. Тогда наиболее разумными критериями представляются
либо максимизация среднеожидаемого выигрыша:
n
j
ijj
mi
ap
1
1
,max
,
либо минимизация среднеожидаемого риска:
n
j
ijj
mi
rp
1
1
.min
.
Оказывается, что оба эти подхода эквивалентны в том плане, что множества
оптимальных стратегий первого игрока по обоим из этих критериев совпадают.
Это следует из следующей цепочки равенств:
)max(min
1 1
1
1
n
j
n
j
ijjij
mi
j
mi
apap
.max)(min
1
1
1
1
n
j
ijj
mi
n
j
ijj
mi
apconstapconst
.
Отсюда видно, что минимум левой части достигается на тех же стратеги-
ях первого игрока, что и максимум в правой части.
25
3. МНОГОШАГОВЫЕ ИГРЫ
3.1. ЗНАЧЕНИЕ МНОГОШАГОВЫХ ИГР В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЯ
Несмотря на то, что ситуации принятия решений существенно отличают-
ся друг от друга, тем не менее они имеют три общие составляющие:
1) множество вариантов решений (стратегий) для лица, принимающего
решение;
2) множество возможных исходов и вероятностей этих исходов;
3) оценка результатов (обычно в денежной форме) при различных вари-
антах принятых решений и исходов.
В том случае, если эти составляющие описаны корректно, лицо, прини-
мающее решение, может рассчитывать найти «оптимальную» стратегию с точки зрения некоторого критерия.
Пример. Некая компания, специализирующаяся на программных разра-
ботках, планирует принять участие в тендере на получение некоторого госзаказа на разработку информационной системы. Тендер проводится закрытым способом, т. е. предложения подаются участниками в запечатанных конвертах
и неизвестны другим участникам. По оценкам компании, участие в тендере
обойдется в 5 000 долл., а выполнение заказа — в 95 000 долл. Из опыта предыдущих тендеров известно, что с вероятностью 30 % конкуренции вообще не будет. Кроме того, известно, что цена подобного тендера имеет следующие
условные вероятности (табл. 5). Необходимо принять решение, участвовать ли
в аукционе и, если да, то с какой ценой. Необходимо выбрать решение, которое
максимизирует ожидаемую прибыль.
Таблица 5
Условные вероятности цены тендера
Цена тендера
Вероятность
Менее 115 000
0,2
От 115 000 до 120 000
0,4
От 120 000 до 125 000
0,3
Более 125 000
0,1
26
Решение. Рассмотрим на примере данной задачи три составляющие для
ситуации принятия решений в условиях неопределенности.
1. Компания должна принять решение — участвовать в аукционе или нет.
Если она все же принимает решение участвовать, то возникает вопрос, с какой
ценой. Ясно, что минимальные затраты в этом случае составят 5 000 + 95 000 =
= 100 000. Отсюда следует, что цена менее 100 000 лишена смысла (отсутствие
прибыли). К сожалению, отсутствие полной вероятностной информации о возможных ценах аукциона приводит к тому, что мы имеем возможность рассмотреть лишь стратегии участия с ценами 115 000, 120 000 и 125 000.
2. Далее, нам необходимо описать исходы и их вероятности. Поскольку
компания точно знает расходы на участие в тендере (5 000) и стоимость выполнения работы (95 000), то вся неопределенность заключается в стратегиях, которые изберут конкуренты. Мы предполагаем, что поведение других игроков
подчиняется тем же закономерностям, что и раньше, поэтому используем вероятностные данные по ценам предыдущих тендеров.
3. Теперь необходимо количественно оценить (вычислить стоимостную
оценку) ситуации для компании при различных выборах стратегии и различных
вариантах разрешения неопределенности в поведении других участников. Если
компания принимает решение не участвовать в тендере, то нет ни затрат, ни
прибыли, т. е. оценка ситуации равна 0. Если компания участвует в тендере и не
проходит по цене, то она теряет 5 000. Если компания участвует в тендере с ценой В и проходит по цене, то ее ожидаемая прибыль составит В — 100 000, где,
как отмечалось ранее, 100 000 = 95 000 + 5 000.
Оценку ситуации иногда удобно записать в виде платежной матрицы, где
строки соответствуют стратегиям, которые выбирает сторона, принимающая
решение, а столбцы соответствуют стратегиям конкурентов. Элементы данной
матрицы A = ||aij|| отражает стоимостную оценку ситуаций при различных сочетаниях стратегий участников тендера (табл. 6).
Таблица 6
Стоимостная оценка ситуаций
при различных сочетаниях стратегий
Нет
конкуренции
Не более 115
От 115
до 120
От 120
до 125
Более 125
Неучастие
0 0 0 0 0
115 000
15 000
–5 000
15 000
15 000
15 000
27
Нет
конкуренции
Не более 115
От 115
до 120
От 120
до 125
Более 125
120 000
20 000
–5 000
–5 000
20 000
20 000
125 000
25 000
–5 000
–5 000
–5 000
25 000
Вероятности
0,3
0,14 =
= 0,7 × 0,2
0,28 =
= 0,7 × 0,4
0,21 =
= 0,7 × 0,3
0,07 =
= 0,7 × 0,1
Наиболее универсальным подходом для выбора оптимальной стратегии
является подход, при котором выбирается стратегия, обеспечивающая максимальную ожидаемую оценку. Оценку стратегии будем обозначать как EMV
(expected monetary value) и вычислять как
.)(
j
jij
paiEMV
.
Смысл данной оценки состоит в вычислении математического ожидания
выигрыша первого игрока при применении им стратегии i. Опираясь на данные
платежной матрицы, вычислим оценки для всех стратегий первого игрока, результаты оформим в виде табл. 7.
Таблица 7
Результаты оценки
для всех стратегий первого игрока
Стратегии игрока
Расчет EMV
Значение EMV
Не участвовать
0 (1)
0
115 000
15 000 (0,3 + 0,28 + 0,21 + 0,7) – 5 000 (0,14)
12 200
120 000
20 000 (0,3 + 0,21 + 0,07) – 5 000 (0,14 + 0,28)
9 500
125 000
25 000 (0,3 + 0,07) – 5 000 (0,14 + 0,28 +0,21)
6 100
Необходимо отметить, что значение EMV не есть значение реальных вы-
игрышей, а есть среднеожидаемое значение выигрышей при различных стратегиях других участников, таким образом, наиболее эффективной представляется
стратегия участия в аукционе с ценой 115 000, так как именно этой стратегии
соответствует максимальное значение EMV (112 200).
28
3.2. МНОГОШАГОВЫЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Информированность участников об условиях и параметрах игры является
основой для рационального поведения. В современной деловой активности, характеризующейся высоким уровнем конкуренции, свободное распространение
информации, существенной для принятия решения, крайне затруднено. При
этом особенно охраняется информация о функции полезности игрока, что, конечно, затрудняет выбор даже при известной матрице игры.
Неполнота информации может быть вызвана не только действиями по ее
защите, но и большим объемом самой информации. Так, например, участники
биржевых игр имеют дело с невероятным по объему потоком новостей от источников с различной степенью достоверности. Разнообразие реакции участников на
доступную им информацию определяет общую ценовую ситуацию на рынке.
В итоге наблюдаемые решения рыночных игр весьма разнообразны и динамичны.
При неполной информации игроки вынуждены принимать решения на
основе своих ожиданий, выраженных в форме информационных моделей игры,
прогнозирующих как поведение других игроков, так и исход игры. На практике
сбор информации для уточнения моделей происходит одновременно с самим
процессом игры.
Ситуация, когда игрок вынужден принимать последовательность решений
в многошаговой игре в условиях, когда матрицы игры и выигрыши других игроков ему не известны, называется многошаговой игрой с неполной информацией.
Фактически в этих условиях неизвестно даже общее число игроков, участвующих в игре. Постановка такой задачи весьма близка к реальной ситуации при игре на бирже или при деловой деятельности в условиях конкуренции на рынке.
До начала игры игроку известно множество ходов, которые он может делать. Единственная информация, которой дополнительно снабжается игрок в течение игры, — это значения его выигрышей. Игроку также известен его текущий
счет. В чуть более ослабленной постановке игроку может сообщаться информация
о значениях некоторых переменных, характеризующих текущее состояние игры
при играх с несколькими состояниями. Эти переменные добавляются к переменным собственного состояния агента (например, его текущий счет, пространственное расположение и т. п. определяются конкретными особенностями игры).
3.3. МНОГОШАГОВЫЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Пусть задан конечный древовидный граф G = (X, F), где X — конечное
множество вершин, а F — отображение, ставящее в соответствие каждой точке
xX подмножество Fx X.
29
Подграфом Gz древовидного графа G, где zX, называется граф с начальной вершиной z, вложенный в дерево графа G и содержащий все вершины,
в которые возможен переход из вершины z (рис. 1).
Рис. 1. Древовидный граф G и подграф Gz
Перейдем к определению многошаговой игры с полной информацией
Г на древовидном конечном графе G.
Пусть G = (X, F) — древовидный граф. Рассмотрим разбиение множества
вершин X на n + 1 множество X1, …, Xn,
где Fx = для xX
n + 1
. Множество Xi, i = 1, …, n, называется множеством оче-
редности i-го игрока, а множество X
n + 1
— множеством окончательных пози-
ций. На множестве окончательных позиций X
n + 1
определены n вещественных
функций H1(x), …, Hn (x), xX
n + 1
. Функция Hi (x), i = 1, …, n называется выиг-
рышем i-го игрока.
Игра происходит следующим образом. Задано множество N игроков, перенумерованных натуральными числами 1, …, i, …, n (в дальнейшем N = {1, 2, …, n}).
Пусть x0X
i 1
; тогда в вершине (позиции) x0 «ходит» игрок i1 и выбирает вершину
x1F
x 0
. Если x1X
i 2
, то в вершине x1 «ходит» игрок i2 и выбирает следующую
вершину (позицию) x2Fx1, и т. д. Таким образом, если на m-м шаге реализована
вершина (позиция) x
m − 1Xik
, то в ней «ходит» игрок ik и выбирает следующую
вершину (позицию) из множества F
xk – 1
. Игра прекращается, как только достигает-
ся окончательная вершина (позиция) xl X
n + 1
, т. е. такая, для которой F
x l
= .
30
n
i
i
UU
1
n
i
i
UU
1
В результате последовательного выбора позиций однозначно реализует-
ся некоторая последовательность x0, …, xk, …, xl, определяющая путь в древовидном графе G, исходящий из начальной позиции x0 и достигающий одной из
окончательных позиций игры. Такой путь в дальнейшем будем называть партией. Из-за древовидности графа G каждая партия однозначно определяет
окончательную позицию xl, в которую она приводит, и, наоборот, окончательная позиция xl однозначно определяет партию. В позиции xl каждый из игроков i, i = 1, …, n, получает выигрыш Hi (xl).
Будем предполагать, что игрок i при совершении выбора в позиции xXi
знает эту позицию x, а следовательно, из-за древовидности графа G может восстановить и все предыдущие позиции. В таком случае говорят, что игроки
имеют полную информацию. Примером игр с полной информацией служат
шахматы и шашки, поскольку в них игроки могут записывать ходы, и поэтому
можно считать, что они знают предысторию игры при совершении каждого
очередного хода.
Определение 1. Однозначное отображение ui, которое каждой вершине
(позиции) xXi ставит в соответствие некоторую вершину (позицию) yFx,
называется стратегией игрока i.
Множество всевозможных стратегий игрока i будем обозначать Ui.
Таим образом, стратегия i-го игрока предписывает ему в любой позиции x
из множества его очередности Xi однозначный выбор следующей позиции.
Упорядоченный набор u = (u1, …, ui, …, un), где uiUi, называется ситуацией в игре, а декартово произведение — множеством ситуаций. Каждая ситуация u = (u1, …, ui, …, un) однозначно определяет партию в игре, а следовательно, и выигрыш игроков. Действительно, пусть x0Xi. Тогда в ситуации
u = (u1, …, ui, …, un) следующая позиция x1 определяется однозначно по правилу u
i 1(x0
) = x1. Пусть теперь x1X
i 2
. Тогда x2 определяется однозначно по прави-
лу xm = u
ik (xm – 1
) и т. д.
Пусть ситуации u = (u1, …, ui, …, un) в указанном смысле соответствует
партия x0, …, xk, …, xl. Тогда можно ввести понятие функции выигрыша Ki игрока i, положив ее значение в каждой ситуации u равным значению выигрыша
Hi в окончательной позиции партии x0, …, xl, соответствующей ситуации
u = (u1, …, ui, …, un), т. е. Ki (u1, …, ui, …, un) = Hi (xl), i = 1, …, n.
Функции Ki, i = 1, …, n, определены на множестве ситуаций .
Таким образом, определив множество стратегий игроков и функции выигрыша, мы определили некоторую игру Г, которую и будем называть многошаговой игрой с полной информацией на древовидном конечном графе G.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]