Теория игр в принятии оптимальных решений. Учебное пособие

УДК: [519.8:330.46](075.8)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: Анофриков С.П. Мачикина Е.П.

Кулешова Т.А., Облаухова М.В. Теория игр в принятии оптимальных решений : Учебное пособие / Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики.

–Новосибирск, 2018. – 63с.

Вучебном пособии рассматриваются некоторые разделы теории игр и их роль в принятии оптимальных решений в различных сферах деятельности. Основное внимание уделяется методам решения и области применения антагонистических игр, игр с природой и неантагонистических некооперативных игр двух лиц. В конце пособия представлен список литературы, рекомендуемой студентам для самостоятельного изучения.

Учебное пособие рассчитано на студентов, обучающихся по направлениям 01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 09.03.03 – Прикладная информатика, 38.03.01 – Экономика, 38.03.02 – Менеджмент.

Кафедра экономической теории

В авторской редакции

©Кулешова Т.А., Облаухова М.В., 2018

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2018

2

3

Введение

Рациональное поведение людей в хозяйственной жизни подразумевает, что они стремятся к принятию оптимальных решений.

Оптимальный (от латинского optimus - наилучший), наилучший, наиболее соответствующий определённым условиям и задачам.

С проблемой принятия оптимальных решений, то есть, с проблемой выбора наилучшего из множества вариантов сталкиваются все экономические субъекты – домашние хозяйства, фирмы, государство - в силу ограниченности имеющихся ресурсов по сравнению с поставленными целями.

Огромное количество конкретных ситуаций, требующих рационального подхода и принятия наилучшего, оптимального решения, связано с взаимодействием субъектов, имеющих различные интересы и преследующих различные цели. Такие ситуации, в которых происходит столкновение целей и интересов участвующих сторон, принято называть конфликтными ситуациями или конфликтами. Любой конфликт характеризуется тремя основными составляющими: 1) заинтересованными сторонами; 2) интересами этих сторон; 3) их возможными действиями.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом, работником и работодателем. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные для себя решения, которые в наибольшей степени реализуют поставленные цели. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать в своем выборе неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать. Для принятия оптимального решения в условиях конфликта необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр. В настоящем пособии рассматриваются статические игры, то есть игры, в которых участники принимают решения о своих действиях независимо друг от друга в течение одного фиксированного периода времени.

1.Основные понятия теории игр

1.1.Историческая справка

Подходы к принятию оптимальных решений, впоследствии реализованные

вматематической теории игр, предлагались различными исследователями еще

вXVIII - XIX вв. В частности, широко известны модели производства и ценообразования в условиях олигополии, разработанные А. Курно (1801-1877) и Ж.Бертраном (1822-1900), которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр. Но рождение теории игр как самостоятельного раздела математики

4

относят к середине XX века и связывают с именами американских математиков Джона фон Неймана (1903-1957) и Оскара Моргенштерна (1902-1977).

Истоки математической теории игр лежат в неоклассической экономической теории, а ее активное развитие тесно связано с кризисом последней. К середине XX века, после Великой депрессии, стало очевидно, что существующая экономическая теория, объясняя общие мотивы поведения экономических субъектов, не дает внятного ответа на главный вопрос: на основании чего и с помощью каких механизмов участник рынка принимает конкретные решения в ходе своей деятельности? Рассматривая различные ситуации, возникающие в практической деятельности, исследователи пришли к выводу, что больше всего поведение различных экономических субъектов похоже на игру против других игроков. Следовательно, можно рассматривать экономические взаимодействия как частный случай игры, а её участников как соревнующихся между собой игроков.

Одной из первых работ по теории игр можно считать статью Дж. фон Неймана «К теории стратегических игр», которая была опубликована в 1928 году. Именно тогда он представил математическое обоснование общей стратегии для игры двух участников в терминах минимизации и максимизации. И с появлением в 1944 году монографии американских математиков Дж. фон Неймана и О.Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» («Theory of Games and Economic Behavior») теория игр сформировалась как самостоятельная математическая дисциплина.

В работе Дж. фон Неймана и О.Моргенштерна первоначально рассматривались игры с нулевой суммой, т.е. ситуации, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Спустя 5 лет, в 1949 году, молодой математик Джон Нэш (1928-2015) в своей диссертации значительно расширил область исследования теории игр, обратив внимание на ситуации, когда игроки не конкурируют между собой, а кооперируются для достижения общей цели (так называемые кооперативные игры). Дж.Нэш также ввёл понятие игр с ненулевой суммой, и использовал его для анализа ситуаций, в которых суммарный выигрыш не является постоянной величиной, как в играх с нулевой суммой, а может изменяться в зависимости от действий игроков и приводить к одновременному выигрышу или проигрышу всех участников. Для своего времени это был настоящий прорыв в изучении игрового взаимодействия, а работы Дж. Нэша по исследованию неантагонистических игр сделали серьёзный вклад в развитие не только математических аспектов теории игр, но и экономической науки в целом. В частности, Дж. Нэш показал, что классический подход к конкуренции Адама Смита, когда каждый «играет» сам за себя, не оптимален. В 1994 году Дж.Нэш получил Нобелевскую премию по экономике «за фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр».

Несмотря на то, что теория игр первоначально рассматривала только модели экономического поведения, с конца 1940-х годов начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее тео-

5

рией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В1950 году Мерилом Фладом (1908-1991) и Мелвином Дрешером (19111992), была сформулирована одна из основных моделей теории игр, впоследствии получившая название «дилеммы заключенного». Основная идея этой модели, с помощью которой можно описывать самые разные взаимодействия – от ценовой войны корпораций до гонки вооружений - состоит в том, что игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это будет в их интересах.

Большим вкладом в теорию игр стала работа Томаса Шеллинга (р.1921) «Стратегия конфликта» (1960), в которой автор рассматривает различные стратегии поведения участников конфликта и анализирует механизм их взаимодействия.

В1960—1970 гг. интерес к теории игр несколько снизился, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. Но с середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 — 30 лет значение теории игр и интерес к ней существенно вырос, развитие некоторых направлений современной экономической науки невозможно представить без применения теории игр.

За исследования в области теории игр было присуждено несколько Нобелевских премий по экономике. В 1994 году, как было отмечено ранее, премия была присуждена Джону Нэшу, Джону Харшаньи и Райнхарду Зелтену. В 2005 году Нобелевский комитет отметил Томаса Шеллинга и Роберта Ауманна «за обогащение нашего понимания природы конфликтов и сотрудничества при помощи аппарата теории игр». В 2007 году лауреатами Нобелевской премии «за создание основ теории оптимальных механизмов» стали Леонид Гурвиц, Эрик Маскин, Роджер Майерсон. В 2012 году Нобелевскую премию получили Элвин Рот и Ллойд Шепли «за теорию стабильного распределения и практическое применение рыночных моделей».

1.2.Термины и определения

Теория игр — раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в так называемых конфликтных ситуациях. Для описания таких ситуаций, а также механизмов принятия решений широко используется «игровая» терминология.

Игрой в теории игр называется достаточно схематичное и приспособленное для математического изучения описание (модель) конфликта, т.е. ситуации, участники которой преследуют различные цели и вынуждены принимать решения в условиях взаимозависимости. При этом интересы участников могут быть как полностью противоположными (такие модели называются антагонистическими играми), так и частично не совпадающими (в этом случае речь идет о неантагонистических играх).

Таким образом, ситуации, изучаемые в теории игр, имеют следующие характерные черты:

6

теория игр изучает ситуации, в которых несколько лиц, имеющих различные цели, принимают решения;

агенты, принимающие решения, существенным образом взаимосвязаны и взаимозависимы в рамках теоретико-игровых ситуаций;

взаимозависимость побуждает агентов взаимодействия пытаться предугадать действия остальных, а иногда и повлиять на них;

обычно предполагается наличие общего знания о порядке игры, выигры-

шах и рациональности игроков.

Игра, описывающая конфликт, должна сохранять все основные существенные черты моделируемого конфликта. В игре обязательно отражаются следующие основные компоненты конфликта:

1.Участвующие в конфликте стороны (в теории игр их называют игроками).

2.Решения, которые игроки могут принимать (их называют стратегиями игроков). Набор стратегий, выбранных всеми игроками, называется профилем стратегий или ситуацией.

3.Степень осуществления целей каждого игрока в ситуации, складывающейся в результате выбора всеми игроками своих стратегий. Этот компонент игры часто можно измерить числом, которое будет называться выигрышем игрока в соответствующей ситуации. Функция, которая ставит в соответствие каждому профилю стратегий выигрыш игрока, называется функцией выиг-

рыша этого игрока.

Описание механизма формирования выигрышей игроков не всегда является тривиальной задачей. Следует помнить несколько базовых правил, относящихся к формированию выигрышей:

выигрыши могут зависеть от процесса игры, а не только от её результата;

выигрыши далеко не всегда измеряются в неких материальных, физических величинах (деньгах, конфетах, годах…), но поскольку физические величины легче всего измерять, на практике часто пренебрегают многими нематериальными эффектами, что может привести к принципиально неверным выводам относительно результатов игры;

выигрыш – это не полезность, которую игрок фактически получил в резуль-

тате игры, а та полезность, которую он перед началом игры предполагает получить в её результате.

Строго говоря, выигрыши в теории игр всегда измеряются в полезностях, получаемых игроками в результате реализации той или иной ситуации. Но для упрощения часто в качестве эквивалента этих полезностей принимают некие физические величины.

Для иллюстрации указанных выше правил можно привести пример – так называемую «Новогоднюю игру» игру со следующими условиями.

Два мальчика – Вася и Петя - участвуют в небольшой лотерее. Каждый из них может написать на листочке одно из двух словосочетаний: «Дед Мороз» или «Снегурочка». Количество конфет, которое получит каждый из мальчиков в различных ситуациях, отражено в таблице 1.1:

7

Таблица 1.1.

Матрица выигрышей «Новогодней игры», выигрыш = количество конфет

Мы можем принять в качестве выигрыша количество конфет, полученных каждым из мальчиков. Однако это вовсе не очевидно. Например, если Вася обладает альтруистичными чертами и очень дружен с Петей, то можно предположить, что вариант, при котором оба мальчика получат по 3 конфеты, будет для него предпочтительнее варианта, при котором он получает 6 конфет, а Петя только одну. В том случае, если на степень удовлетворения мальчиков влияют еще какие-то факторы, и мы желаем их учесть, таблица выигрышей не будет совпадать с исходной таблицей полученных конфет. Например, учтя все дополнительные факторы, мы выяснили, что полезности, получаемые мальчиками в ходе игры (u1 и u2), зависят от количества выигранных конфет следующим образом:

Точное описание множества игроков, множества их стратегий, и также их выигрышей в каждой ситуации или функций выигрыша и составляет задание игры. Игры, заданные в таком виде, обычно называют играми в нормальной форме.

Основные элементы игры, заданной в нормальной форме:

•множество игроков I = {1,…, n};

•множество (чистых) стратегий для каждого i-го игрока Si, i = 1,…, n;

•выигрыши (полезности) игроков, как функции от профиля выбранных каждым из игроков стратегий ui(s1,…,sn), si Si, где s = (s1,…,sn) - профиль стратегий, т.е. набор зафиксированных для каждого игрока стратегий.

Для наглядного отображения результатов игры часто используют пла-

тежные матрицы (матрицы выигрышей). При n = 2 каждая строка матрицы выигрышей соответствует какой-либо стратегии игрока, для которого составляется матрица, каждый столбец соответствует какой-либо стратегии его против-

8

ника, а на пересечении строк и столбцов отражаются выигрыши игроков в различных ситуациях.

Заметим, что игроком не обязательно является отдельное физическое лицо. Игрок – это сторона конфликта, отстаивающая единые интересы. Игроком в хозяйственной жизни может быть фирма, в спорте – команда, в военном конфликте – армия одной из сторон, в общественных конфликтах – социальная группа. Иногда игроком может быть природа (в прямом и переносном смысле), нецеленаправленно формирующая обстоятельства, в которых приходится принимать решения.

Игроки действуют рационально, то есть, они способны правильно прогнозировать последствия тех или иных действий на рынке и затем выбирать варианты, максимизирующие индивидуальные выигрыши.

Суть игры состоит в том, что каждый из участников принимает такие решения (т. е. выбирает стратегию действий), которые, как он полагает, обеспечивают ему наибольший выигрыш или наименьший проигрыш, причем каждому участнику игры понятно, что результат его действий зависит не только от него, но и от действий партнера (или партнеров), иными словами, он принимает решения в условиях взаимозависимости. Одной из задач теории игр является поиск равновесия, то есть результата игры, в наибольшей степени устраивающего всех ее участников.

Приведем несколько простых примеров игр.

Пример 1.1.

Рассмотрим детскую игру «камень, ножницы, бумага». Правила этой игры просты и известны всем с детства. Двое игроков на счет «раз-два-три» одновременно показывают на пальцах с помощью специальных знаков один из трех предметов: камень, ножницы, или бумагу. Если игроки показали одинаковый предмет, то игра заканчивается вничью. Если они показали разные предметы, то выигрыш формируется следующим образом: в паре «камень-ножницы» выигрывает тот, кто выбрал камень; в паре «ножницы-бумага» выигрывает тот, кто показал ножницы; в паре «камень-бумага» выигрывает тот, кто показал бумагу.

Опишем ситуацию в виде модели теории игр.

Стратегиями игроков в данном случае является выбор ими одного из трех предметов: камня, ножниц или бумаги. То есть, каждый игрок имеет по три стратегии. Следовательно, возможных ситуаций в игре девять. Пусть в случае выигрыша игрок получает одно очко, в случае проигрыша – минус одно, в случае ничейного исхода ноль очков.

Внормальной форме данная игра будет иметь вид:

•множество игроков I = {А; В};

•множество чистых стратегий для каждого i-го игрока Si = {«камень»; «ножницы»; «бумага»}; i = 1, 2;

•полезности игроков могут быть заданы матрицей нижеследующего вида:

9

Либо полезности можно задать прямым перечислением в виде функций, например: uА(«ножницы»; «камень») = -1; uВ(«камень»; «бумага») = 1; и т.д.

Пример 1.2.

Одним и самых распространенных примеров применения теории игр в экономике является «Дилемма заключенного», которая используется при описании олигополистического поведения фирм на рынке, а точнее – при характеристике мотивов выбора ими той или иной стратегии поведения.

Представим, что двое заключенных, задержанных по подозрению в совместном совершении ряда преступлений, содержатся раздельно. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников освободить его, если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает получить 1 год за незначительное преступление. Если сознаются оба преступника, то с учетом чистосердечного признания они получат 5 лет.

В этой игре каждый игрок имеет по две стратегии, следовательно, существует четыре возможных исхода игры (ситуации). В нормальной форме данная игра будет иметь вид:

•множество игроков I = {А; В};

•множество чистых стратегий для каждого i-го игрока Si = {«признание»; «отрицание»}; i = 1, 2;

•полезности игроков могут быть заданы матрицей нижеследующего вида:

Либо полезности можно задать прямым перечислением в виде функций, например: uА(«признание»; «отрицание») = 0; uВ(«признание»; «отрицание») = = -10; и т.д.

1.3.Классификация игр

Существует множество способов классификации игр в зависимости от критериев, которые при этом используются.

По числу участников все игры могут быть разделены на парные и мно-

жественные. Как следует из названия, в парных играх участвуют два игрока, во множественных – более двух. Оба приведенных выше примера относятся к парным играм. Взаимодействие на рынке олигополии нескольких крупных фирм можно описать с помощью множественной игры. В случае множествен-

10