Теория игр в принятии оптимальных решений. Учебное пособие

где α – степень оптимизма, меняющаяся в диапазоне от 0 до 1.

Этот критерий учитывает возможность как благоприятного, так и неблагоприятного поведения «природы». В зависимости от значений α данный критерий может превратиться как в критерий Вальда, так и в критерий максимума.

Критерий Сэвиджа.

В ряде случаев невозможно сопоставить результативность решений для различных вариантов обстановки. В этом случае обычный анализ платёжной матрицы даст нам неверный вывод о качестве нашего решения.

Поясним, что мы имеем в виду. Предположим, что выигрыш при стратегии si и состоянии природы Oj, больше, чем при стратегии sk и состоянии природы Ol. Но первый выигрыш может быть больше второго не за счет того, что мы выбрали более удачную стратегию, а просто за счет того, что состояние природы Оj «выгоднее» для нас, чем состояние Ol. Например, для какой-нибудь экономической операции состояние «отсутствие стихийных бедствий» в целом более благоприятно, чем состояния «наводнение», «землетрясение» и т. п., независимо от того, какую стратегию выберет лицо, принимающее решение. Представляется желательным ввести такие показатели, которые не просто давали бы выигрыш в каждой ситуации, а описывали бы «удачность» или «неудачность» применения данной стратегии в данной ситуации, с учетом того, насколько вообще эта ситуация благоприятна для нас.

Для этого в теории статистических решений применяется специальный показатель риска, который показывает, насколько выгодна применяемая нами стратегия в данной конкретной обстановке с учетом степени ее неопределенности. Выбор оптимальной стратегии на основе показателей риска производится с помощью критерия Сэвиджа.

Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, которая не допускает чрезмерно высоких потерь. Для этого находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет рационально действующий игрок, если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле:

Оптимальная стратегия находится из условия:

minmaxrij

i j

При принятии решений в условиях неопределенности следует учитывать результаты расчетов по нескольким критериям. Если они совпадают, то решение является оптимальным. Если различные критерии дают разные оптимальные стратегии, то окончательное принятие решений возможно только после дополнительной оценки слабых и сильных сторон каждого из критериев.

Пример 3.1.

Предположим, что на промышленном предприятии готовятся к переходу на новые виды продукции. При этом возможны четыре стратегии, каждой из которых соответствует выпуск определенного вида продукции (А1, А2, А3 и А4) или их сочетание. Результаты приня-

31

тых решений существенно зависят от обстановки (состояния спроса, степени обеспеченности производства материальными ресурсами и т.п.), которая заранее точно не известна и может быть трех вариантов: О1, О2, О3.

Каждой паре сочетаний стратегии и обстановки Оj соответствует определенный выигрыш, помещаемый в таблицу эффективности. Этот выигрыш характеризует относительную величину результата предстоящих действий (например, рентабельность). Необходимо найти такую стратегию , которая по сравнению с другими является наиболее выгодной.

Эффективность выпуска различных видов продукции

Найдем оптимальную стратегию, используя различные критерии.

1. Решение с использованием принципа недостаточного основания Лапласа.

Принимая по таблице эффективности среднюю вероятность каждого варианта обстановки равной 0,33 и находя среднее наибольшее значение результата, получаем в качестве оптимальной стратегию .

2. Решение по критерию Вальда.

Из таблицы следует, что таким решением является стратегия , обеспечивающая максимальный гарантированный выигрыш в размере 0,35.

3. Решение по критерию максимума.

Из таблицы следует, что таким решением является стратегия , при которой максимальный выигрыш из максимальных его значений равен 0,70.

4. Решение по критерию Гурвица.

Если мы примем коэффициент оптимизма равным 0,5, то для различных стратегий их оценка по данному критерию составит:

Оптимальным решением в данном случае будет стратегия , при которой показатель G максимален.

Аналогичным путем могут быть найдены критерии G и оптимальные решения и при других значениях коэффициента оптимизма.

5. Решение по критерию Сэвиджа.

Для выбора оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа таблица эффективности может быть дополнена таблицей риска.

Величина риска выпуска различных видов продукции

минимальный гарантированный риск составит 0,30.

32

При выборе решения по различным критериям в качестве оптимальной дважды фигурирует стратегия и дважды стратегия . Очевидно, что при определении плана дальнейшего развития предприятия выбор будет осуществляться между этими двумя стратегиями. Какая из них будет принята в качестве основной, зависит от того, какие критерии являются более значимыми для лица, принимающего решение. Возможно также, что будет принято решение о смешении этих двух стратегий.

4.Неантагонистические некооперативные игры двух лиц

испособы их решения

4.1.Основные понятия неантагонистических игр

Антагонистические игры с нулевой суммой являются не единственным вариантом игры. Более того, в реальной экономике более часто встречаются ситуации, когда интересы игроков не полностью антагонистичны, то есть - игры с ненулевой суммой. В этой ситуации может возникнуть желание кооперировать свои действия с другим игроком (подобное поведение будет описываться кооперативной игрой), либо иным способом влиять на его действия (некооперативные игры).

Рассмотрим основные понятия, касающиеся игр двух лиц с ненулевой

Если количество стратегий у каждого игрока является конечным, то игра может быть задана двумя платёжными матрицами, поэтому часто такие игры называют биматричными (см. таблицы 4.1. и 4.2) Заметим, что набор стратегий в платежных матрицах всегда отображается определённым образом, независимо от того, о выигрышах какого игрока идёт речь: по строкам отображаются стратегии игрока А, по столбцам – стратегии игрока В.

Таблица 4.1.

Матрица выигрышей в неантагонистической игре двух лиц для игрока А

33

Таблица 4.2.

Матрица выигрышей в неантагонистической игре двух лиц для игрока В

Две матрицы также можно объединить в одну (таблица 4.3).

Таблица 4.3.

Матрица выигрышей в неантагонистической игре двух лиц, отражающая выигрыши обоих игроков

В биматричных играх появляется принципиально новый момент, которого не было раньше - возможность сговора, совместных действий игроков. Когда интересы обоих игроков прямо противоположны, возможность их сговора исключена. Если же интересы игроков могут хотя бы частично совпадать, то существует возможность сотрудничества между ними. Поэтому неантагонистические игры двух лиц принято разбивать на два класса - некооперативные и кооперативные. В некооперативных играх игроки не имеют возможности и/или желания договариваться друг с другом. В кооперативных играх игроки имеют возможность договариваться в любое удобное для них время и никаких косвенных приёмов для соблюдения договорённостей им применять не надо. Теория кооперативных игр и теория некооперативных игр – это два самостоятельных раздела теории игр. Некооперативная теория игр изучает то, как должны действовать игроки, чтобы прийти к тому или иному устраивающему их результату. Кооперативная же теория игр в первую очередь изучает вопрос о том, какие исходы в игре достижимы (в том числе за счёт кооперации) и каковы условия достижения этих исходов.

Рассмотрим две простых биматричных игры и проиллюстрируем на их примере основные понятия теории неантагонистических некооперативных игр.

Пример 4.1.

Классическим вариантом биматричной игры является «дилемма заключенного». Вспомним ее. Два преступника ожидают приговора суда за совершение преступления. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников

34

освободить его, если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает получить 1 год за незначительное преступление. Если сознаются оба преступника, то с учетом чистосердечного признания они получат 5 лет.

Платежная матрица игры представлена в таблице 4.4.

Таблица 4.4.

Матрица выигрышей игры «Дилемма заключенного»

Пример 4.2.

Рассмотрим еще один пример - игру «Семейный спор».

Муж и жена каждый вечер решают проблему развлечения: пойти на Футбол или пойти на Балет. Муж любит Футбол и терпеть не может Балета. Жена любит Балет и не любит Футбол, но посещение этих зрелищ в одиночку не дает полного удовлетворения. Поэтому если они вместе, то получают удовольствие на 2 единицы на любимом зрелище и 1 единицу на нелюбимом, а если поодиночке, то 0 единиц на любимом и 0 на нелюбимом.

Таблица 4.5.

Матрица выигрышей игры «Семейный спор»

В случае антагонистической игры решение заключалось в выборе оптимальной стратегии игроков, интересы которых противоположны.

Для неантагонистических игр понятие оптимальной стратегии может вообще не иметь смысла: в таких играх оптимальными оказываются не стратегии отдельных игроков, а их сочетания для всех игроков сразу. В некооперативных (бескоалиционных) играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков.

Поэтому в неантагонистической некооперативной игре решение игры – это нахождение ситуаций равновесия, то есть ситуаций, в том или ином смысле устраивающих всех игроков одновременно. Понятие равновесия в игре шире понятия оптимума, так как точка оптимума является лишь частным случаем равновесия.

Важными в теории некооперативных неантагонистических игр являются

выше.

В «Дилемме заключенного» профиль («отрицание», «отрицание») Паретодоминирует профиль («признание», «признание»). Остальные профили не доминируются другими. Таким образом, оптимальными по Парето являются все профили, кроме профиля («признание», «признание»).

В «Семейном споре оптимальными по Парето являются профили («балет», «балет») и («футбол», «футбол»), они доминируют профили («балет», «фут-

гию в одиночку.

Рассмотрим понятие равновесия по Нэшу на примерах, приведенных вы-

ше.

В «Дилемме заключенного» равновесием по Нэшу является профиль («признание», «признание»), так как в этой ситуации ни одному из игроков не выгодно изменять свою стратегию (то есть, переходить к стратегии «отрицание») в одиночку.

36

4.2.Решение биматричной некооперативной игры

вчистыхстратегиях

Итак, поиск решения в неантагонистической некооперативной игре состоит в нахождении равновесия, то есть профиля (или профилей) стратегий, в том или ином смысле устраивающих всех игроков одновременно. Рассмотрим сначала способы отыскания равновесия в чистых стратегиях.

1. Равновесие в доминирующих стратегиях

Самым простым случаем является ситуация, когда у каждого игрока есть одна доминирующая стратегия. Понятие доминирующих и доминируемых стратегий нам известно из анализа антагонистических игр, вспомним и немного дополним его:

исходу, нежели использование . Если у нас дана биматричная игра, в матрице которой записаны выигрыши игроков, то для обоих игроков должны соблюдаться неравенства:

ду, нежели использование . То есть, в биматричной игре для обоих игроков

Если у каждого из игроков существует стратегия, которая доминирует любую другую, то профиль, состоящий из этих доминирующих стратегий, называется равновесием в доминирующих стратегиях.

Рассмотрим понятие доминирующих стратегий на наших примерах.

В «Дилемме заключенного» оба игрока имеют единственную доминирующую стратегию – стратегию «признание». Поэтому игра легко решается в доминирующих стратегиях и равновесием в доминирующих стратегиях будет профиль («признание», «признание»).

В игре «Семейный спор» доминирующих стратегий нет ни у одного из игроков, поэтому игру невозможно решить в доминирующих стратегиях.

2. Равновесие по доминированию.

Ситуации, когда у игроков есть по одной доминирующей стратегии, встречаются довольно редко. Однако и при отсутствии равновесия в доминирующих стратегиях равновесие в игре найти можно, используя различные способы его поиска.

Один из них состоит в последовательном исключении строго домини-

руемых стратегий. Если нам удалось найти у одного из игроков строго доминируемую стратегию, мы исключаем её из рассмотрения и переходим к новой игре, в которой из множества возможных стратегий данного игрока исключена доминируемая стратегия. Затем в этой новой игре ищем и исключаем из рассмотрения строго доминируемую стратегию некоторого игрока и т.д.

Если в результате последовательного исключения строго доминируемых стратегий в игре остается единственный профиль стратегий, то он называется равновесием по доминированию.

При этом важно знать, что если на некотором шаге последовательного исключения строго доминируемых стратегий процесс их исключения прервется, т.е. ни у одного из игроков не будет строго доминируемых стратегий, то набор

не исключенных к этому моменту стратегий не зависит от порядка ис-

ключения стратегий. Иными словами, даже если путем последовательного исключения доминируемых стратегий невозможно найти равновесие в игре, этот приём можно использовать для сокращения размерности игры.

Пример 4.3.

Рассмотрим в качестве примера биматричную игру с матрицей выигрышей, представленной в таблице 4.6.

Таблица 4.6.

Платёжная матрица биматричной некооперативной игры (условный пример)

Последовательно исключая строго доминируемые строки и столбцы, мы получим решение игры.

38

Шаг 1.

Шаг 3.

(45; 45)

При поиске равновесия по доминированию важно помнить, что речь идёт о последовательном исключении строго доминируемых стратегий. Для ситуации нестрогого доминирования этот приём может привести к получению нелогичных результатов, поэтому исключение нестрого доминируемых стратегий при решении игр использовать не принято.

Пример 4.4.

Рассмотрим в качестве примера игру со следующей платежной матрицей:

Здесь наблюдается ситуация нестрогого доминирования: у обоих игроков первая стратегия нестрого доминирует вторую. Если мы воспользуемся приёмом исключения доминируемых стратегий, то получим в качестве равновесия по доминированию профиль, в котором оба игрока используют первые стратегии и получают выигрыши (1; 1). Однако, если рассмотреть игру в целом, становится очевидным, что скорее всего игроки выберут вторые стратегии и получат выигрыши (100; 100), так как в ситуации выбора второй стратегии ни у кого из игроков нет стимула менять свое решение.

39

3. Равновесие по Нэшу

Более общим подходом, используемым для решения некооперативных игр, является поиск равновесий по Нэшу. Напомним, что:

Например, в игре «Семейный спор», наилучшим ответом жены на стратегию мужа «Балет» будет выбор стратегии «Балет», а наилучшим ответом жены на стратегию мужа «Футбол» будет выбор стратегии «Футбол».

Нэшу – это ситуация, в которой каждый из игроков выбирает свой наилучший ответ на равновесные стратегии остальных игроков, то есть, та-

Рассмотрим технологию поиска равновесия по Нэшу на наших примерах, выделяя жирным шрифтом наилучшие ответы первого игрока, а курсивом – второго.

В игре «Семейный спор» равновесием по Нэшу являются профили («Балет»; «Балет») и («Футбол»; «Футбол»).

В игре из примера 4.3 равновесием по Нэшу является профиль ( ; )

40