Теория игр в принятии оптимальных решений. Учебное пособие

Все три упомянутых выше способа нахождения равновесия в чистых стратегиях взаимосвязаны между собой следующим образом:

равновесие в доминирующих стратегиях всегда является равновесием по доминированию, обратное неверно;

приём исключения строго доминируемых стратегий «безопасен» для равновесия по Нэшу, то есть, стратегии, составляющие равновесие по Нэшу, не могут быть исключены при последовательном исключении строго доминируемых стратегий; при исключении нестрого доминируемых стратегий часть равновесий по Нэшу может быть потеряна;

если найдено равновесие по доминированию, то это одновременно единственное равновесие по Нэшу, обратное неверно (то есть, равновесие по Нэшу не обязательно является равновесием по доминированию).

4.3.Решение биматричной некооперативной игры малой размерности

всмешанныхстратегиях

Всамом общем случае поиск решения в неантагонистической некооперативной (в том числе биматричной) игре связан с поиском равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии в неантагонистических играх задаются точно так же, как и в играх антагонистических. Напомним основные понятия, касающиеся смешанных стратегий, применительно к биматричным неантагонистическим играм.

Смешанной стратегией σA игрока А называется применение чистых страте-

гий ( , ,…, ) с вероятностями (p1, p2, ..., pi, ..., pm) причем сумма вероятно-

m

стей равна 1: pi 1 . Аналогично задаются смешанные стратегии игрока

i 1

В, как σB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn), где сумма вероятностей применения стратегий

n

равна 1: qj 1.

i 1

Таким образом, задав два набора σA = (p1, p2, ..., pi, ..., pm) и σB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn), мы оказываемся в ситуации смешанных стратегий. При

Математическое ожидание выигрыша игроков при каждом профиле, выраженном в смешанных стратегиях, равно

41

Чистую стратегию можно считать частным случаем смешанной стратегии и задавать строкой (0, 0, …, 1, …, 0), в которой 1 соответствует вероятности, с которой применяется чистая стратегия.

Пример 4.5.

Пусть у нас дана некоторая игра с платежной матрицей, представленной в таблице 4.7.

Таблица 4.7.

Платёжная матрица биматричной некооперативной игры (условный пример)

Также известно, что оба игрока выбрали свои смешанные стратегии таким образом, что p1 = 1/4, p2 = ¾, q1 = 2/3, q2 = 1/3. Отметим, что этот выбор не обязательно является оптимальным. Необходимо найти выигрыши игроков при заданном профиле смешанных стратегий.

Запишем смешанную стратегию каждого игрока:

σA = (1/4, ¾), σВ = (2/3, 1/3),

атакже профиль стратегий, выбранный игроками:

σ= ((1/4, ¾), (2/3, 1/3)).

Выигрыш каждого игрока при данном профиле стратегий составит:

uA = 6*1/4*2/3 + 12*1/4*1/3 + 8*3/4*2/3 + 16*3/4*1/3 = 10

uB = 24*1/4*2/3 + 0*1/4*1/3 + 4*3/4*2/3 + 20*3/4*1/3 = 11.

необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось для всех чистых стратегий,

Это утверждение существенно облегчает процедуру поиска равновесия.

Алгоритм поиска равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях основы-

вается на тех же принципах, что и рассмотренные выше случаи равновесия в чистых стратегиях, а именно:

42

1.Необходимо найти наилучшие ответы каждого игрока на каждый набор стратегий его противников, т.е. его отображение наилучших ответов.

2.Необходимо найти пересечение отображений наилучших ответов для всех игроков.

Вслучае, когда мы имеем дело с биматричной игрой малой размерности (2*2), задача может быть решена графически. Рассмотрим это решение на при-

мере игры «Инспектирование».

Пример 4.6.

Пусть имеется ряд похожих фирм, которые периодически подвергаются инспекционной (например, налоговой) проверке. При этом по отношению к каждой фирме инспектор имеет две чистых стратегии: «Проверять» и «Не проверять». Фирма в свою очередь также имеет две чистых стратегии: «Нарушать» и «Не нарушать». Пусть матрица выигрышей выглядит так, как показано в таблице 4.8 (механизм формирования выигрыша нам не важен).

В этой игре нет ни одного равновесия по Нэшу в чистых стратегиях.

Для поиска равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях найдем отображения наилучших ответов для каждого игрока. Для этого обозначим вероятности применения стратегий игроков следующим образом: p – вероятность применения фирмой своей первой стратегии, q – вероятность применения инспектором своей первой стратегии. Так как стратегий у каждого игрока всего две, то вероятность применения вторых стратегий составит соответственно (1 – p) и (1

– q).

Тогда математическое ожидание выигрыша фирмы составит: uфирма = -3pq + 3p(1 - q) + (-1)(1 – p)q + 0(1 – p)(1 – q) = p(3 - 5q) - q

Математическое ожидание выигрыша инспектора составит: uинспектор = 2pq + 0p(1 - q) + (-1)(1 – p)q + 0(1 – p)(1 – q) = q(3p - 1)

43

Найдём отображение наилучших ответов фирмы на стратегии инспектора, то есть, определим, какие значения p дают фирме наибольший выигрыш при различных значениях q. Из определения выигрыша видно, что при q = 3/5 выигрыш фирмы не зависит от p, поэтому p может принимать любые значения от 0 до 1. При q > 3/5 скобка (3 - 5q) принимает отрицательные значения, следовательно, для фирмы выгоднее избрать стратегию, в которой p = 0, это обеспечит ей бОльший выигрыш, чем при любых положительных p. И наоборот, при q < 3/5 скобка (3 - 5q) принимает положительные значения, следовательно, для фирмы выгоднее избрать стратегию, в которой p = 1, это обеспечит ей наибольший выигрыш в данной ситуации.

То есть, отображение наилучших ответов фирмы на любую стратегию инспектора будет иметь вид:

[0; 1], q = 3/5

̂( ) = {1}, < 3/5

{0}, q > 3/5

Аналогично отображение наилучших ответов инспектора на любую стратегию фирмы будет иметь вид:

[0; 1], p = 1/3

( ) = {1}, > 1/3

{0}, p < 1/3

Изобразив эти множества графически, получим (сплошная линия – отображение наилучших ответов фирмы, прерывистая – инспектора):

q

q = 1

q = 3/5

0 p = 1/3 p = 1 p

Рисунок 4.1. Пересечение отображений наилучших ответов игроков в игре «Инспектирование»

Таким образом, равновесным по Нэшу будет профиль смешанных страте-

гий σ = ((1/3, 2/3), (3/5, 2/5)).

4.4.Решение неантагонистической некооперативной игры двух лиц

сконтинуумом стратегий

Ранее мы рассматривали основные приёмы решения игр, в которых каждый из игроков имеет конечное множество стратегий. Однако на практике достаточно часто встречаются взаимодействия, которые могут быть описаны как игры, в которых игроки имеют бесконечное множество или континуум

44

стратегий. Такие игры также могут быть решены с помощью базовой концепции решения неантагонистических игр – концепции равновесия по Нэшу.

Рассмотрим основные подходы к решению игр с континуумом стратегий на примере двух известных игр: «Делёж доллара» и «Модель дуополии Курно». Эти игры не относятся к биматричным, так как их выигрыши не могут быть представлены в виде пары матриц в силу бесконечного числа стратегий.

«Делёж доллара»

Смысл игры состоит в следующем: два игрока должны разделить между собой один доллар, назвав долю, которую они хотели бы получить. Если сумма названных долей не превысила единицу, то каждый игрок получит ровно столько, сколько попросил. Если сумма долей превысила единицу, то каждый получит 0.

Запишем игру в нормальной форме:

1.Множество игроков: I = {1; 2}

2.Множество стратегий: [0;1]

ждую стратегию второго игрока (отображение наилучших ответов). Очевидно, что в случае, когда второй игрок назвал долю, равную единице, наилучшим ответом первого игрока будет абсолютно любая стратегия из множества его стратегий, так как в этом случае он всегда получит 0. В случае, когда второй игрок попросил долю si < 1, наилучшим ответов для первого игрока будет попросить остаток, то есть 1 - si.

Аналогично будет выглядеть отображение наилучших ответов и для второго игрока. В игре с двумя игроками мы можем изобразить их отображения наилучших ответов графически:

s2

1

Рисунок 4.2. Пересечение отображений наилучших ответов игроков в игре «Делёж доллара»

Сплошной линией на рисунке выделено отображение наилучших ответов первого игрока, а прерывистой – второго. В этой игре бесконечное множество равновесий по Нэшу: весь диагональный отрезок, соединяющий точки с координатами (0, 1) и (1, 0), а также точка с координатами (1, 1).

45

Дуополия Курно

Модель дуополии Курно является одной их первых моделей в истории экономической науки. Она описывает поведение фирмы на рынке в условиях взаимозависимости. Модель представляет рынок, на котором действуют всего две фирмы. Объем производства каждой фирмы занимает значительную долю рынка, поэтому его изменение способно влиять на цену, выручку и прибыль обеих фирм. В этой ситуации вопрос о том, сколько фирма должна произвести товара, чтобы получить максимум прибыли, является не очевидным: чем больше совокупный объем производства, тем меньше цена товара, меньше выручка и прибыль обеих фирм. Сокращение объема производства способно увеличить цену, выручку и прибыль обеих фирм, но только в том случае, если обе фирмы сделают это одновременно, сокращение объема производства только одной фирмой приведет к перераспределению выигрыша между игроками.

Пример 4.7.

Рассмотрим на примере, как описывает эту ситуацию теория игр. Пусть на рынке некоторого продукта существует дуополия Курно. Функция спроса имеет вид P = 36 – Q, где Q = q1 + q2. Издержки фирм заданы как TC1 = 12q1, TC2 = 18q2. Целью каждой фирмы является максимизация прибыли. Какой объем производства будет равновесным в данной ситуации?

Для решения задачи надо вновь воспользоваться концепцией равновесия по Нэшу и найти пересечение отображений наилучших ответов обоих игроков.

Так как обе фирмы стремятся максимизировать прибыль, то очевидно, что выигрышем каждой фирмы будет величина прибыли, а ее наилучшим ответом – максимальная прибыль при каждом фиксированном объеме производства конкурента. Запишем функции прибыли для обоих игроков:

Максимизируем функцию прибыли первого игрока, полагая объем производства второго игрока фиксированным. Для этого найдём первую производную этой функции и приравняем ее нулю. Получим, что прибыль первого игро-

Исходя из экономического смысла задачи, q1 не может быть отрицательным, то есть, при q2 > 24, прибыль первой фирмы будет максимальной при нулевых объемах производства, поскольку при любом положительном q1 она убывает. Таким образом, можно записать отображение наилучших ответов для первого игрока:

46

Аналогично для второго игрока отображение наилучших ответов будет иметь вид:

Изобразим эти множества графически (сплошная линия – отображение наилучших ответов первого игрока, прерывистая – второго).

q2

24

9

А

Рисунок 4.3. Пересечение отображений наилучших ответов игроков

вмодели дуополии Курно

Вданной игре только одно равновесие по Нэшу – точка А, координаты которой можно найти, решив соответствующую систему уравнений. Получим, что равновесием по Нэшу в данной игре будет q1 = 10, q2 = 4.

4.5.Некоторые практические вопросы применения концепции равновесия по Нэшу

При поиске равновесия в неантагонистических некооперативных играх возникает ряд вопросов, связанных с практическим применением теории игр:

1.Если в игре существует равновесие по Нэшу, обязательно ли оно будет достигнуто?

2.Как игроки приходят к равновесию по Нэшу?

3.Если в игре существует несколько равновесий по Нэшу, какое из них будет

реализовано?

Следует отметить, что теория игр не ограничивается строгими математическими формулировками и доказательствами. Все выводы, полученные в теории, на практике проверяются и дополняются с помощью так называемой экспериментальной теории игр, в рамках которой проводится эмпирическая проверка основных теоретических положений. В числе прочего, экспериментальная теория игр позволяет дать ответы на поставленные выше вопросы.

47

Для иллюстрации того, как на практике может быть достигнуто равновесие по Нэшу, рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.8. Студенты и зачёт или Простая логика.

Два студента не подготовились к зачету и решили схитрить. Перед началом зачёта они подошли к преподавателю и попросили его перенести сдачу зачёта. Свою просьбу они мотивировали тем, что не выспались, так как накануне вечером, во время движения по загородной трассе, у их автомобиля спустило колесо, и они всю ночь вынуждены были ждать помощи и добираться домой. Преподаватель пошел им навстречу и перенес сдачу зачета на другой день. В день зачёта преподаватель рассадил студентов по разным аудиториям и дал каждому билет с одним-единственным вопросом: «Какое колесо спустило?» Предполагая при этом, что если студенты ответят одинаково, то они получат зачёт, если ответят по-разному, то за обман преподавателя зачёта не получат.

В данной игре существует четыре равновесия по Нэшу и двенадцать неравновесных ситуаций (таблица 4.9). То есть, совершенно не очевидно, что студенты, не имея возможности договориться, выберут профиль стратегий, являющийся равновесным.

Таблица 4.9.

Платёжная матрица игры «Студенты и зачёт»

Возможно ли в этой игре достичь равновесия по Нэшу и какого именно? Экспериментальная теория игр показывает, что это возможно, если игроки воспользуются обычной логикой. Действительно, если предположить, что студенты действительно ехали вечером по загородной трассе, то наиболее вероятным является выход из строя правого переднего колеса, поскольку оно: а) ближе всего к обочине, где чаще всего встречаются опасные предметы; б) при наличии на обочине помехи переднее колесо наедет на неё раньше заднего. Поэтому вероятность того, что из всех равновесных по Нэшу профилей будет выбран профиль («ПП»; «ПП»), достаточно велика. Более того, в экспериментах этот профиль выбирали около половины испытуемых.

Пример 4.9. Имена или Контекст имеет значение.

Аркадий, Борис и Владимир играют в следующую игру. Они независимо друг от друга записывают свои имена одно за другим. Если все расположат имена в одинаковом порядке, то тот, чье имя записано первым, получит 300 р., тот, чье вторым, - 200 р., тот, чье третьим, – 100 р. Если порядок будет различаться, все получат по 0 р. Какой порядок Вы выберете за Владимира?

В этой игре существует три равновесия по Нэшу. Однако, вероятность того, что игроки предпочтут расположить имена по алфавиту, выше, чем вероят-

48

ность других исходов. Каждый игрок понимает, что это наиболее логичный порядок, а значит, предполагает, что соперник поступит именно так. Таким образом, для Владимира логичным является написать своё имя третьим и получить 100 рублей (вместо возможных 200 или даже 300), так как он понимает, что скорее всего так же расположат имена и другие игроки.

Пример 4.10. Дорожное движение или Правила и законы.

Два автомобиля выезжают на дорогу и движутся во встречном направлении. Если каждый из них поедет по правой или по левой (от себя) стороне дороги, то они спокойно разъедутся и без осложнений доберутся до пункта назначения. Но если один из них выберет правую, а другой левую сторону, то они окажутся на одной полосе движения и столкнутся. Условно выигрыши игроков могут принимать значения, представленные в таблице 4.10.

Таблица 4.10.

Платёжная матрица игры «Дорожное движение»

В этой игре два равновесия по Нэшу: профили («П»; «П») и («Л»; «Л»). Какое из них будет реализовано, зависит от страны, в которой происходит данная ситуация. Причем, если оба водителя знакомы с ПДД данной страны, то вероятность реализации одного из равновесий очень высока.

Пример 4.11. Механизм нащупывания в повторяющихся играх.

Рассмотрим механизм нащупывания равновесия в повторяющихся играх. Пусть дана игра с матрицей, представленной в таблице 4.11.

Таблица 4.11.

Матрица выигрышей биматричной некооперативной игры (условный пример)

решение, однако стимул есть у второго игрока. Вероятно, в следующий раз второй игрок выберет свою вторую стратегию, предполагая, что первый игрок не

49

рёт какую-то другую стратегию, рассчитывая на то, что второй игрок не изменит своего решения. Ход игры при её неоднократном повторении может быть различным, например, таким, как представлено в таблице 4.12. Но её конечным результатом в большинстве случаев станет выбор обоими игроками профиля, равновесного по Нэшу, его так называемое «нащупывание».

Таблица 4.12.

Механизм «нащупывания» равновесия в биматричной некооперативной игре (условный пример)

5. Практическое применение теории игр.

Как указывалось выше, прикладной задачей теории игр является разработка рекомендаций по рациональному действию игроков в условиях конфликтной ситуации. Результатом разрешения конфликта для его участников является либо выигрыш, либо проигрыш. В условиях конфликта и неопределенности использование инструментария теории игр позволяет существенно повысить качество управленческих решений.

На практике применение теории игр для принятия управленческих решений эффективно при проведении ценовой политики, экспансии на новые рынки, различных формах кооперации и создании совместных предприятий, определении лидеров и исполнителей в области НИР и инноваций, вертикальной интеграции и т.д. Положения данной теории можно использовать для всех видов управленческих решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, не обязательно должны быть только рыночные конкуренты. В их роли могут выступать субподрядчики, ключевые клиенты, сотрудники организаций. Инструментарий теории игр особенно эффективен, когда между участниками процесса существуют значимые зависимости в области платежей.

В менеджменте инструменты теории игр применимы не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем отраслей, рынков, предприятий, разработок организационных структур, систем управленческого учета и форм стимулирования деятельности. С помощью теории игр менеджмент предприятия получает возможность предусмотреть ходы своих партнеров и конкурентов и разработать ответную стратегию поведения.

50