Теория игр в принятии оптимальных решений. Учебное пособие

В экономических ситуациях игры могут иметь полную информацию или же неполную. Чаще всего менеджеры сталкиваются с неполной информацией для принятия решений. Поэтому приходиться принимать решения в условиях неопределенности и риска. В процессе решения управленческих проблем могут встречаться одноходовые и многоходовые игры. Количество стратегий может быть конечным или же бесконечным.

5.1. Борьба за рынки сбыта

Рассмотрим следующий пример1 борьбы двух компаний за рынок продукции в регионе.

Две компании занимаются производством продукции и продажей её на рынке региона. Эти компании полностью определяют региональный рынок данной продукции, потому что являются единственными поставщиками подобной продукции.

Обе компании имеют возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий производства. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой из технологий, компании могут установить цену единицы продукции на уровне 14, 8 и 4 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции (таблица 5.1).

Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице 5.2.

1 Пример взят из: Писаренко О.А., Пирожок И.В. Теория игр в экономике на примере конкурентной борьбы производителей // Научное сообщество студентов XXI столетия. Экономические науки: сб. ст. по мат. LVII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 9(57). URL: https://sibac.info/archive/economy/9(57).pdf (дата обращения: 02.06.2018)

51

Доли товара первой компании, приобретенной на рынке, зависят от отношения цен на продукцию фирмы 1 и фирмы 2. В результате исследования маркетологов эта зависимость вычислены и ее значения установлены в таблице (см. таблицу 5.3).

Поскольку на рынке работают только 2 фирмы, то доля потребляемых товаров второй компании, определяется как единица минус доля первой компании.

Нам необходимо определить:

52

1.Есть ли в данной ситуации равновесие выбора технологии производства товаров двумя компаниями?

2.Существуют ли такие технологии, которые являются достаточно невыгодными для отказа от них?

3.Сколько товаров реализуют компании в ситуации равновесия? Какая окажется в выигрышном положении?

Для начала необходимо найти экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице. Каждая фирма стремится к максимизации прибыли от производства и продажи своей продукции. Однако в контексте данной ситуации, компании борются за весь рынок продукции в регионе. Поэтому выигрыш одной фирмы будет означать поражение другой. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут являться значения разницы прибыли от продажи товара компании 1 и компании 2. Если эта разница положительна, выигрывает компания 1, а в случае, если она отрицательна – компания 2.

Рассчитаем коэффициенты выигрышей платёжной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства и продажи продукции.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, могут быть определены по следующей формуле:

D = p×(S×R1-S×C1) – (1-p) ×(S×R2-S×C2),

где D – величина разницы прибыли от продажи товаров предприятия 1 и предприятия 2;

p - доля товаров компании 1, приобретаемой населением региона; S – количество товаров, приобретаемых населением;

R1 и R2 - цены продажи единицы продукции фирмами 1 и 2;

C1 и C2 – полная себестоимость единицы продукции, произведённой компаниями 1 и 2.

Количество товаров, которое население региона приобретёт при средней цене 14 д. е., равно 1 тыс. ед. Доля продукции, которую население купит у компании 1, составит 0.43, а у компании 2 – 0.57. Вычислим коэффициент платёжной матрицы А11 по формуле:

А11 = 0.43×(1×14-4×7) – (1 - 0.43)×(1×14-1×10) = 0.73 тыс. ед.,

где i = 1 – номер технологии первой фирмы, а j = 1 – номер технологии второй фирмы.

Аналогично вычислим все коэффициенты платёжной матрицы. В платёжной матрице стратегии A1 – A3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции фирмой 1, стратегии B1 – B3 – решения о технологиях производства продукции фирмой 2, коэффициенты выигрышей – разницу прибыли фирмы 1 и фирмы 2.

53

В данной матрице отсутствуют доминирующие стратегии. Это означает, что для обеих фирм не существует заведомо невыгодных технологий производства товаров.

Найдем наименьшие элементы строк матрицы. Для компании 1 каждый из этих элементов означает минимально гарантированный выигрыш при условии выбора соответствующей стратегии. Наименьшие элементы матрицы по строкам имеют значения: 0.3; -5.04; -4.5.

Найдем наибольшие элементы столбцов матрицы. Для фирмы 2 каждый из таких элементов тоже имеет смысл наименьшего гарантированного выигрыша, если выбрать соответствующую стратегию. Наибольшие элементы матрицы по столбцам приняли значения: 1.68; 4.08; 0.3.

Нижняя цена игры в матрице равна 0,3, при этом верхняя цена игры тоже равна 0,3. Таким образом, нижняя и верхняя цены игры матрицы совпадают. Из этого следует, что существует технология производства товаров, являющаяся оптимальной для обоих фирм в условиях этой задачи. Это - технология I, соответствующая стратегиям A1 компании 1 и B3 компании 2. Стратегии A1 и B3 – чистые оптимальные стратегии для данной ситуации.

Разница между прибылью первой фирмы и второй – положительна, следовательно, компания 1 является победителем в этой игре. Выигрыш фирмы 1 составит 0,3 тыс. д. е., спрос на рынке составит 3 тыс. ед. продукции. Обе компании установят цену за единицу продукции в 9 д. е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 7 д. е., а для второго – 1 д. е. Первая компания окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции, реализованной населению региона.

5.2.Развитие малого бизнеса в сельскохозяйственной отрасли

Рассмотрим еще один пример, на этот раз из сельскохозяйственной практики2. Имеются следующие альтернативы, производство которых подходит для начальной стадии развития малого бизнеса.

2 Пример взят из: Тарасова И.А., Щукина Н.А., Симонов А.Б., Шведов Е.Г., Андреева Ю.Ю. Применение математической теории игр при принятии решения о создании малого бизнеса в сельскохозяйственной отрасли // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 11-5. – С. 1072-1076.

54

Первая альтернатива – производство клубнеплодов, к которым относятся картофель, батат, топинамбур и др.

Вторая альтернатива – производство томатных овощей (помидоры, баклажаны, перец).

Третья альтернатива – пряные овощи (укроп, петрушка, зеленый лук, сельдерей и т.д.).

Введем обозначения. Игрок A – сельскохозяйственное предприятие. У него имеется три стратегии: A1 – выбор альтернативы один, A2 – альтернативы два, A3 – альтернативы три. Так как выращивание овощей будет происходить на открытом грунте, одним из влияющих факторов окажется состояние природы. Введем второго игрока B – природу. Его стратегии: B1 – засушливое лето, B2 – дождливое лето, B3 – лето с переменными осадками. Таким образом, одной из сторон выступает сельскохозяйственное предприятие, заинтересованное в том, чтобы получить наибольший доход, а с другой стороны – природа, способная существенно повлиять на результаты деятельности (от нее зависят погодные условия). В качестве выигрыша игрока A возьмем прибыль от реализации того или иного варианта (млн. руб.) и будем считать, что расчеты прибыли зависят от состояний природы. Запишем их в виде платёжной матрицы (таблица 5.5), где строки – это стратегии игрока A, столбцы – стратегии игрока B. Все значения элементов матрицы получены методом экспертной оценки.

Таблица 5.5

Платежная матрица игры

Сперва рассмотрим игру как антагонистическую и найдём верхнюю и нижнюю цену игры в соответствии с правилами, рассмотренными в главе 2.

Нижняя цена игры (максимальный гарантированный выигрыш игрока A) составит α = 4. Верхняя цена игры β = 4. Так как α = β, то их значение – это чистая цена игры. Стратегии, соответствующие ей, называются оптимальными, а их совокупность – оптимальным решением игры.

Таким образом, можно сделать вывод, что оптимальным решением для игрока A будет выбор третьей стратегии, а именно, производство пряных овощей.

Однако, данный вывод справедлив только в том случае, когда мы предполагаем, что оба игрока действуют осознанно и целенаправленно. Но, как известно, природа действует совершенно случайно, и нет уверенности, что вторым игроком – природой - будет выбрана та или иная стратегия. Для подтверждения или опровержения сделанного нами выбора рассчитаем критерии оптимальности, которые учитывают то, что выбор игрока B (природы) имеет вероятностный характер.

55

Для определения критериев оптимальности нам понадобятся дополнительные данные, а именно вероятность наступления той или иной альтернативы и матрица рисков.

Определим вероятность наступления различных состояний природы (реализации стратегий игрока B) методом экспертной оценки:

= ( 1) = 0,6; = ( 2) = 0,1; = ( 3) = 0,3.

Пользуясь алгоритмом, изложенным в главе 3, построим матрицу рисков:

Таблица 5.6

Матрица рисков

Теперь перейдем непосредственно к расчетам критериев оптимальности.

1. Критерий Байеса

По критерию Байеса необходимо выбрать максимальное значение среднего выигрыша. Средний выигрыш по каждой стратегии ( ) рассчитывается как математическое ожидание выигрыша с учётом вероятностей наступления различных состояний природы (таблица 5.7).

В нашем случае оптимальной будет стратегия A3, так как при ней средний выигрыш достигает 5,6.

2. Критерий Вальда

Оптимальной по критерию Вальда считается стратегия, позволяющая игроку A получить нижнюю цену игры. Значение α мы уже рассчитывали, ее значение равно 4 и достигается при выборе игроком A стратегии A3.

3. Критерий Сэвиджа

Воспользуемся матрицей рисков (таблица 5.6). По критерию Сэвиджа оптимальной считается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (см. главу 3). Таким образом, оптимальными по данному критерию считаются стратегии A1 и A3, так как для них максимальное значение риска является наименьшим и равно 1.

56

4. Критерий Гурвица

По этому критерию выбирается стратегия, при которой достигается максимальное значение величины Gi.

Рекомендуется стратегия, определяемая по формуле:

где α – степень оптимизма, меняющаяся в диапазоне от 0 до 1, коэффициент, который мы задаем сами, причем чем больше у нас желание подстраховаться, тем ближе значение к 1.

Мы возьмем α = 0,7 и запишем для удобства расчетов все промежуточные результаты в таблице 5.8.

Таблица 5.8

Определение оптимальной стратегии по критерию Гурвица

По этим данным видно, что оценка по Гурвицу принимает максимальное значение 5,2 при стратегии A3.

По совокупности всех критериев можно сделать вывод, что стратегия A3 – оптимальная для сельскохозяйственного предприятия, то есть следует заняться выращиванием пряных культур.

5.3. От стратегии «проигрыш — проигрыш» к стратегии «выигрыш — выигрыш»3

Многие в игре руководствуются лишь своими интересами — это эгоцентрическая позиция. Но главный вывод теории игр гласит, что в игре куда важнее смотреть с позиции аллоцентризма, то есть с чужой точки зрения. Чтобы заглянуть вперед, а потом «обернуться назад», надо не просто поставить себя на место прочих, но и попытаться думать как они. А чтобы оценить свой вклад в игру, нужно думать не о том, что дадут вам другие, а о том, что дадите им вы.

Осознав это, руководители смогут вести игру, выгодную для их компании. И если они будут играть в свою игру, то приобретут больше, чем действуя по инерции. Нужно активно перестраивать игру, а не просто играть в ту, которая сложилась, — вот самая надежная бизнес-стратегия.

Начало 1990-х годов осталось в истории американского автомобилестроения как время жесткой конкуренции. Новогодние бонусы и скидки дилеров

3 Пример взят из: Бранденбургер А., Нейлбафф Б. Правильная игра: теория игр и стратегия бизнеса // HARVARD BUSINESS REVIEW – РОССИЯ. – 2008. – 27 октября; URL: https://hbr-russia.ru/management/strategiya/a9403 (дата обращения: 26.06.2018)

57

подрывали рентабельность отрасли. Стоило одной компании объявить акцию

— денежный подарок своим покупателям к Новому году, остальным ничего не оставалось, как сделать то же самое. Хуже всего, что покупатели привыкли к этим бонусам. Они уже не хотели покупать машины «просто так». Тем самым они заставляли производителей снижать цены, не дожидаясь конца года. Как разорвать порочный круг? Где выход? Его нашла General Motors.

В сентябре 1992 года GM и Household Bank выпустили кредитную карточку GM Mastercard. Ее обслуживание владельцу ничего не стоило, на нее начислялся маленький годовой процент, и держатель получал бонус: 5% от всех покупок по этой карточке (до $500 в год, а всего не больше $3500) засчитывались при покупке или аренде нового автомобиля GM. Это был звездный час GM и Household: уже через месяц карточку приобрели 1,2 млн. американцев, через два года — 8,7 млн. По прогнозам, на долю владельцев карточек GM в конечном счете придется около 30% розничных продаж GM в Северной Америке.

По словам Хэнка Уида, гендиректора программы, GM увеличивает свою долю рынка, отвоевывая потенциальных покупателей у Ford и других компаний, то есть ведет традиционную игру, при которой победа одних означает поражение других. Но вместе с тем в игру под названием «продажа автомобилей» программа внесла еще одно изменение, менее явное. Она отменила все прежние стимулы, которые раньше GM предлагала покупателям. Теперь людям, которые не приобрели кредитную карточку GM — например, потому, что собирались купить «форд», — придется больше заплатить за автомобиль GM. Тем самым программа дает возможность Ford поднимать свои цены, а вслед за ней и самой GM (не уступая Ford своих клиентов). То есть выигрывают и GM, и Ford.

Если GM так хорошо все придумала, что мешает другим компаниям пойти по ее стопам? Да, собственно, ничто. Сначала, объединившись с Citibank, подобную программу предложила Ford. Затем настал черед Volkswagen — вместе с MBNA Corporation. Ударит ли это как-то по GM? Необязательно.

Подражание — самая искренняя форма лести; но в бизнесе это сомнительный комплимент. Учебники по стратегии учат: если то, что делаете вы, могут повторить другие, вам на этом не заработать. Некоторые авторы идут еще дальше, они утверждают, что бизнес-стратегию вообще нельзя разглашать, иначе все бросятся ее копировать, и компании не видать прибыли. И все же сторонники этой точки зрения ошибаются: подражание не всегда плохо. Да, коль скоро конкуренты воспользовались опытом GM, корпорации уже не удастся переманить столько покупателей, сколько раньше. Тем не менее ситуация выгодна GM. Ford и Volkswagen, чтобы компенсировать затраты на скидки по своим кредитным карточкам, тоже отменили другие программы стимулирования спроса. Значит, для клиентов GM, а в основном они не участвуют в программах Ford и Volkswagen, цены на автомобили этих компаний выросли. И теперь у GM есть выбор: либо еще поднять цены, либо сохранить высокий спрос. Сейчас у трех корпораций есть свои постоянные покупатели, а значит, им незачем развязывать ценовую войну.

Чтобы в полной мере оценить результат появления кредитной карточки GM, надо обратиться к теории игр. Просчитать все последствия этой програм-

58

мы невозможно, не взглянув на ситуацию с аллоцентрических позиций. Главным было понять, как на инициативу GM откликнутся Ford, Volkswagen и другие автопроизводители.

Для чего менять правила игры? Чтобы вырваться вперед. Но ведь стратегия GM помогла компании Ford. Как же быть с этим? Иногда стратегия «победа

— поражение» действительно оказывается предпочтительной. Но не всегда. Судя по примеру GM, порой выгоднее всего общая победа. Как ни странно, но иногда самый надежный способ добиться успеха — дать шанс преуспеть остальным.

У стратегии «победа — победа» несколько плюсов. Во-первых, этот принцип сравнительно мало освоен, а потому более перспективен. Во-вторых, раз вы не вынуждаете всех остальных сдавать позиции, то и они, скорее всего, не будут особенно мешать вашим намерениям. В-третьих, вы не провоцируете других игроков на ответные меры, то есть новые правила игры способствуют устойчивости рынка. И наконец, если остальные игроки станут подражать вашим инициативам, это не только не вредно, но даже полезно для вас.

Чтобы проще было смотреть на конкуренцию с точки зрения сотрудничества, предлагается новый термин — соконкуренция. Он означает, что, формируя стратегию, рассматриваются самые разные варианты не только в духе «наша победа — их поражение», но и выгодные всем. Важно держать их в уме, потому что победа за счет потерь конкурентов часто приводит к ответному удару. Достаточно вспомнить распространенную — и опасную — стратегию снижения цен ради увеличения своей доли рынка. Она может дать преимущество, но лишь временное: если остальные тоже снизят цены, чтобы вернуть себе утраченную долю рынка, от ваших приобретений ничего не останется. В результате на рынке восстановится прежний расклад сил, но при более низких ценах. Так разворачивается сценарий всеобщего поражения. Именно такая ситуация сложилась в автомобилестроении к тому моменту, когда GM изменила игру.

5.4. Ограничения в применении теории игр

Необходимо помнить, что существуют определенные ограничения в применении аналитического инструментария теории игр. Указанные ограничения могут возникать в связи с перечисленными ниже условиями.

1.Участники игры имеют разные представления об игре, в которой они участвуют, они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная, недостоверная или искаженная информация о платежах конкурента, структуре его издержек. При этом, если ситуация характеризуется только неполнотой не очень сложной информации, то можно воспользоваться методом сопоставления с подобными случаями с учетом выявленных различий.

2.Применение теории игр неэффективно при наличии множества равновесных ситуаций. Проблема неэффективности может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

59

3. Если ситуация принятия стратегических решений сложная или сверхсложная, игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты решений в рамках инструментария теории игр.

При усложнении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться эффективными алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.

Многие инструменты теории игр основаны на предположении, что игра ведется по некоторым правилам. Кроме того, указанные правила известны всем участникам игры и каждый из них знает, что все игроки осведомлены о том, что известно остальным партнерам по игре. Такое положение сохраняется до конца игры.

Однако на практике чаще встречаются ситуации, в которых присутствуют искажения управленческих коммуникаций и учета за счет элементов «двойного послания», когда имеются противоречивые сигналы о предполагаемых действиях участников рынка. Поэтому принципиальное, лежащее в основе теории игр предположение о так называемым «общем знании», на практике не может быть реализовано. А также, такие предпосылки как «взаимное знание» или «рационализируемые стратегии», для системы принятия решений с «двойными посланиями» не имеют никакого значения.

В заключение отметим, что теория игр является очень сложной областью экономико-математического, коммуникативного и семантического знания. При ее использовании необходимы умеренность и четкое знание границ ее применения. Упрощенные толкования, принимаемые компанией самостоятельно или при помощи консультантов, могут быть крайне опасны. Игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и, в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причем победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов. Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами – «выиграл» или «проиграл» – ни один из игроков не имеет такой стратегии.

Из-за сложности аппарата теории игр его применение в управленческом анализе можно рекомендовать лишь для особо важных проблемных областей менеджмента. Опыт некоторых компаний убеждает нас в том, что использование инструментария теории игр предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных стратегических (либо группы связанных тактических) решений, например, при подготовке крупных договоров в сфере слияний и поглощений, масштабной экспансии на рынки и т. п.

60