Теория игр. Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

А.А. Закиров Т.Л. Майзенберг

Н.В. Семенова

Теория игр

Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2016

УДК 51

З-18

Рецензент д-р экон. наук, проф. Ж.К. Галиев

Закиров А.А.

З-18 Теория игр. Ч. 2. Биматричные игры. Арбитражная схема : учеб. пособие / А.А. Закиров, Т.Л. Майзенберг, Н.В. Семенова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 39 с.

ISBN 978-5-906846-04-4

Настоящее пособие является второй частью учебного пособия по теории игр и посвящено биматричным играм и арбитражным схемам. В пособии приводятся краткие теоретические сведения, решения типовых задач, а также дополнительный материал из других дисциплин. Для закрепления необходимых навыков предлагаются задания для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление».

УДК 51

2

3

Предисловие

Во многих сферах жизнедеятельности человека возникают ситуации, в которых стороны-участники преследуют различные цели, а результат действия каждой стороны зависит от того, что предприняли другие участники. В большинстве случаев интересы участвующих сторон являются если и не противоположными, то, по крайней мере, несовпадающими. Таким образом, возникают задачи с элементами неопределенности. Примерами таких ситуаций являются партия игры

вшахматы, взаимодействие хозяйствующих субъектов, задачи проектирования объектов различной природы, социальные отношения и т.д.

Моделированию и изучению конфликтных ситуаций посвящен раздел математики, называемый теорией игр. Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации; стороны, участвующие

вконфликте, называются игроками; решением игры называется совокупность оптимальных действий (оптимальных стратегий) игроков и полученных ими выигрышей. Условие оптимальности для каждого типа игры определяется по-своему.

Настоящее пособие является второй частью учебного пособия по

теории игр и посвящено биматричным играм и арбитражным схемам. По традиции приводятся краткие теоретические сведения, а также необходимый материал из других дисциплин. Разобранные примеры позволяют понять алгоритм решения задач. Приводятся как аналитические, так и графические методы решения задач. Для закрепления необходимых навыков предлагаются задания для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление». Вместе с тем очевидно, что при разработке, внедрении и реализации проектов и в других сферах человеческой деятельности приходится учитывать большое число случайных факторов, плохо управляемых и трудно прогнозируемых, что может привести к несовпадению интересов участвующих в производственной цепочке субъектов. Поэтому пособие может оказаться полезным не только студентам указанных профилей подготовки, но также школьникам, магистрам, аспирантам и преподавателям.

___________

Закиров А.А., Майзенберг Т.Л., Макаров П.В. Теория игр. Ч. 1. Антагонистические игры: Учеб. пособие. М.: МГГУ, 2013. 46 с.

4

1.БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

1.1.Общие сведения

Внекоторых случаях интересы участников конфликта не являются прямо противоположными, но они по-прежнему не имеют возможности договариваться, создавая какие-либо объединения. Конфликты такого рода моделируются бескоалиционными играми. В общем случае выигрыши игроков не являются противоположными (как в антагонистических играх, рассмотренных в первой части пособия), т.е. сумма выигрышей не только не равна нулю, но и не является постоянной для всех возможных ситуаций в игре (игра с переменной суммой). Если речь идет об игре двух лиц, при этом каждый из игроков имеет изначально конечное число стратегий (чистых стратегий), то выигрыши игроков могут быть записаны в виде двух матриц одинаковой размерности. По этой причине такие игры назы-

ваются биматричными.

Разыгрывание биматричной игры происходит следующим обра-

гда матрицы выигрышей игроков (обозначим их A и B соответственно) имеют размерность m n . При этом чистым стратегиям

игрока A в обеих матрицах соответствуют строки, игрока B – столбцы. Пусть игроки одновременно и независимо выбирают свои

чистые стратегии Ak и Bl . В сложившейся в игре ситуации выигрыш игрока A составит ak l , выигрыш игрока B – bk l . На этом

разыгрывание игры заканчивается. Таким образом, конечные игры двух лиц с переменной суммой полностью определяются двумя платежными матрицами.

В качестве примера приведем прототипную игру, известную под названием «Семейный спор». Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или театр. Муж предпочитает футбол, а жена – театр. Однако обоим гораздо важнее провести вечер вместе, чем участвовать в развлечении (хотя и предпочтительном) одному. Таким образом, каждый игрок имеет две чистые стратегии: A1, В1 – пойти на футбол, A2 , В2 – пой-

ти в театр. Эта игра может быть задана двумя матрицами:

5

Укажем еще один способ задания конечной биматричной игры:

Естественно считать, что каждый из игроков стремится действовать таким образом, чтобы получить как можно больший выигрыш. Но функция выигрыша каждого игрока зависит не только от выбранной им стратегии, но и от выбора противника. Поэтому ситуация, дающая наибольший выигрыш одному игроку, может не оказаться таковой для второго игрока. Таким образом, понятия оптимального поведения и оптимальных стратегий игроков в биматричных (равно как и вообще в бескоалиционных) играх являются неоднозначными. В отличие от матричных игр здесь существует множество принципов оптимальности. Одним из подходов к понятию оптимальности является равновесие по Нэшу. Ситуация, сложившаяся в биматричной игре, является равновесной по Нэшу, если каждому игроку невыгодно отклоняться от нее в одностороннем порядке. В общем случае в биматричной игре может быть несколько ситуаций равновесия по Нэшу. Стратегия игрока, входящая хотя бы в одну ситуацию равновесия по Нэшу, называется равновесной стратегией. При этом помимо чистых стратегий игроки могут применять и смешанные стратегии.

Напомним, что по теореме Нэша всякая бескоалиционная игра имеет хотя бы одну ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. В иг-

ре «Семейный спор» имеется две равновесные по Нэшу ситуации:A1, В1 и A2 , В2 . В отличие от матричных игр выигрыши игрока в

различных ситуацияхравновесиепоНэшу могутразличаться.

Найдем решение произвольной биматричной игры. Пусть первый игрок имеет m чистых стратегий, а второй – n чистых стратегий,

тогда игра задается двумя матрицами размерности m n :

6

Обозначим смешанную стратегию первого игрока

q 1 , q 2 , , q n , n qk 1 . Если игроки применили свои смешанные

k 1

стратегии, то математические ожидания их выигрышей можно вычислить по формулам

В векторной форме равенства (1.1), (1.2) можно записать так:

H 1 p A q и H 2 p B q ,

где p p1 , p2 , , pm , q q 1 , q 2 , , q m T .

матические ожидания игроков, соответствующие их оптимальным стратегиям p * и q * . Если игроки выбирают стратегии, отличные от оптимальных, их средние выигрыши окажутся не больше V1 и V2

соответственно. То есть для произвольных смешанных стратегий игроков справедливы неравенства

Неравенства (1.3) как и в случае антагонистической игры становятся равенствами, если в p * и q * все координаты положительны.

Отметим также, что неравенства (1.3) справедливы для произвольных смешанных стратегий игроков p и q , в том числе и для чистых

стратегий:

7

Получаем систему m n неравенств, решением которой являются оптимальные стратегии игроков p * и q* .

1.2. Аналитическое решение игры (n n)

Рассмотрим биматричную игру, в которой количество чистых стратегий у игроков одинаковое, т.е. m n . В этом случае матрицы выигрышей игроков являются квадратными. Полагая, что все чистые

Так как любая биматричная игра имеет хотя бы одно решение в смешанных стратегиях, систему (1.5) можно решить, используя правило Крамера, если, конечно, соответствующие матрицы являются невырожденными. Введем обозначения:

меной ее i-го столбца на столбец из единиц и из матрицы B при аналогичной замене ее i-й строки единичной строкой;

1 и 1 T – единичная строка и единичный столбец размерности n .

для выигрышей игроков в ситуации равновесия и их равновесных стратегий:

– выигрыши игроков (первого и второго соответственно)

– равновесные стратегии игроков (первого и второго соответственно)

8

Замечание 1.1. Очевидно, что в результате умножения матрицы

В результате умножения единичной вектор-строки 1 на матрицу

B 1 получается вектор-строка b , состоящая из сумм элементов матрицы по столбцам:

Отсюда следует другой вид формул (1.6), (1.7):

Для того чтобы искомые вероятности были положительными, достаточно, чтобы у матриц A и B существовали обратные матрицы с положительными суммами элементов по столбцам для матрицы A и по строкам для матрицы B .

Рассмотрим два примера решения биматричных игр с помощью формул (1.6), (1.7).

Пример 1.1. Найти решение биматричной игры, заданной матри-

Решение. Выигрыши игроков в ситуации равновесия:

9

Равновесные стратегии игроков (правило нахождения обратной матрицы приведено в прил. 1):

Пример 1.2. Найти решение биматричной игры с матрицами выигрышей игроков

10