Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

631 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

	p * 7 1 1 1 1								4				2	1
	p * 7 1 1 1 1									1			3	2
			6					7		2			1
			6					7		2			1		4
	1 1			1		1		0	2				3		2 1
	1 1			1			0	3					3		2 1		,
							0	3	3								,
	6 6			6			0	0		3			6		6 6
							0	0		3
		5	1	4				3	2 1						3 / 14
q	*	5	1
					6			2	2			1			4 / 14	.
		3	10		6			2	2			1			4 / 14	.
		3	10		12 9				4						7 / 14
					12 9				4		1				7 / 14

Допустимая область игры U (рис. 2.2) является выпуклой линей-

ной оболочкой точек C11 1;2 , C12 3;1 ,			C13 1;1 ,	C 21 0;0 ,
C 22 4;2 ,		C 23 2;1 , C 31 3;1 , C 32 0;0 и	C 33 1;2 .	Точка status
quo 5 ;	7	изображена на рис. 2.2 символом *.
3	6

Рис. 2.2. Допустимая область игры

Уравнения границ

C 21 C11 : 2x y 0 ;

C11 C 22 : y 2 0 ;

C12 C 22 : x y 2 0 ; C 21 C12 : x 3y 0 ;

Каноническая форма задачи Куна – Таккера:

	5		7	min,
x	3	y	6	min,
	3		6

2x y 0, y 2 0

x y 2 0, x 3y 0 .

Функция Лагранжа имеет вид

L x 53 y 76 1 2x y 2 y 23 x y 2 4 x 3y .

Запишем условия Куна – Таккера:

L	y	7	2 1 3 4 0 ,
x		6
L	x	5	1 2 3 3 4 0 ,
y		3

1 2x y 0 ,

2 y 2 0 ,

3 x y 2 0

4 x 3y 0 ,

i 0, i 1, 2, 3, 4 .

Очевидно, что минимум целевой функции достигается в точке C 22 4; 2 , в которой пересекаются прямые C11 C 22 и C12 C 22 . Поэтому 1 4 0, 2 0, 3 0 и

						y	7	3 0	,
							6
						x	5	2	3 0 ,
							3
						y 2 0 ,
						x y 2 0 ,
	Подставляя					x 4 и		y 2 в	первые два равенства, получаем
3		5	,	2	19	. Так как в точке C 2 2 4; 2 условия Куна – Таккера
		6			6

выполнены, она является решением задачи. Это означает, что приме-

няя свои вторые чистые стратегии, игроки получат максимальный суммарный выигрыш, равный шести, при этом доли игроков в этом выигрыше составят четыре и два соответственно. Совместная смешанная стратегия имеет вид

0		0	0
	0	1	0
P				.
	0	0	0

2.3. Задание № 3

Найдите доли игроков, удовлетворяющие аксиомам Нэша.

	4		1	3		1		3	4			4	2			1			3
3.1. A		3	5	2	, B		2	2	1 .	3.16.				,
											A	3			B		6
		0	6				2	1					5						2
				8					6
	2		5		3		2				4		1	3				6		1	4
3.2.										3.17. A		3	5	2		, B			2	2	1 .
	A	3		, B
			1		1		4					0	6						1	2
														8							3
	2		1	6		3		1	4			3	6			4			1
3.3. A		2	2	1	, B		2	5	3 .	3.18.				,
											A	5			B		3
		1	3				8	6					2						6
				4					0
	5		3		2		4				1		5	6				1		4	6
3.4.										3.19. A		4	3	0		, B			2	1	2 .
	A	4		, B
			6		7		3					3	2						2	3
														8							1
	2		2	1		1		4	3			7	5			4			6
3.5. A		1	3	4	, B		5	3	2 .	3.20.				,
											A	6			B		9
		2	1				6	0					8						5
				6					8
	3		4		5		1				2		5	3				2		1	2
3.6.										3.21. A		8	6	0		, B			3	4	1 .
	A	5		, B
			1		3		6					3	1						1	6
														4							2
	3		4	1		6		2	1			2	6			5			3
3.7. A		2	3	5	, B		1	2	2 .	3.22.				,
											A	4			B		1
		8	0				4	1					1						7
				6					3

6			4			3			5				0		4	3		2			1	2
				, B								3.23. A		6	1	5	, B			1	3	2 .
3.8. A							8
5			7						4					8	3					6	4
																2						1
5			3	2			1			2	2		2		4		5				3
3.9. A	6		0	8 , B				4		1	3 .	3.24.
													A			,	B	4
	1		4					6		2			7		3						6
				3							1
	3		2				3			5			3		4	1		6			1	4
					, B							3.25. A		2	3	5	, B			2	2	1 .
3.10. A
	1		5				4			1				8	0					1	2
																6						3
	4		3		0			1		2	2		3		1		3				5
3.11. A		1	5		6	, B			3	2	1 .	3.26.
													A			,	B	7
		3	2						4	1			2		6						2
					8						6
	4		2				1			3			1		4	3		1			2	2
					, B							3.27. A		5	3	2	, B			4	3	1 .
3.12. A
	3		5				6			2				6	0					6	1
																8						2
	2		2		1			3		2	8		1		3		4				2
3.13. A		1	2		3	, B			1	5	6 .	3.28.
													A			,	B	3
		6	1						4	3			6		2						5
					4						0
	5		1				3			4			2		1	2	2				5	3
					, B							3.29. A		1	3	2	, B		8		6	0 .
3.14. A
	2		6				6			1				6	4				3		1
																1						4
	5		6		1			1		4	6		5		3		2				6
3.15. A		3	0		4	, B			2	1	2 .	3.30.
													A			, B		4
		2	8						2	3			1		6						1
					3						1

Библиографический список

Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, мето-

дология. – М.: Дрофа, 2004.

Волк В.Я. Курс высшей математики для горных вузов: Учеб. пособие. – М.: Горная книга, 2009. – Т. 2. – 146 с.

Воробьев Н.Н. Теория игр: Лекции для экономистовкибернетиков. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974.

Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи; ЮНИТИ, 1997.

Калихман И/ Л. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Высш. шк., 1975.

Мадера А.Г. Моделирование и принятие решений в менеджменте: Руководство для будущих топ-менеджеров. – М.: ЛКИ, 2010.

Математические методы и модели исследования операций: Учеб. для вузов / Под общ. ред. В.А. Колемаева. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач: Учеб. пособие. – М.: Экзамен, 2005.

Приложение 1

Напомним процедуру нахождения обратной матрицы. Прежде всего необходимо убедиться в том, что определитель исходной матрицы отличен от нуля.

Для матрицы второго порядка A

a11

a12

обратная матрица

2 2

A 1

12 ,

a21

a11

a12

где

a11 a2 2

a12

a21 .

a21

a2 2

a11

a12

a13

Для матрицы

третьего

порядка

a22

a23

обратная

матрица

A11

A21

A31

A 1

A A

где

a11

a12

a13

a22 a33

a23 a32 a12 a21 a33

a23 a31

a21

a22

a23

a11

a13 a21

a31

a32

a33

a32 a22 a31 ;

Ai j 1 i j M i

j , здесь M i j

–

минор элемента ai j

, т.е. определи-

тель, получаемый из определителя матрицы A после вычеркивания строки и столбца, в которых стоит этот элемент.

Приложение 2

4		1
Рассмотрим матричную игру, заданную матрицей A	2	5	.

Очевидно, эта игра не имеет решения в чистых стратегиях, так как

v 2 4					. Напомним,				что решение						игры размерности 2 2 в
v 2 4				v	. Напомним,				что решение						игры размерности 2 2 в
смешанных стратегиях может быть найдено по формулам:
		– оптимальная стратегия первого игрока
					p1*			h22		h21				,	p2* 1 p1* ,								(П2.1)
					p1*	h11 h22 h12 h21								,	p2* 1 p1* ,								(П2.1)
						h11 h22 h12 h21
		– оптимальная стратегия второго игрока
					q1*			h22		h12				,	q2* 1 q1* ,								(П2.2)
					q1*	h11 h22 h12 h21								,	q2* 1 q1* ,								(П2.2)
						h11 h22 h12 h21
		– цена игры
							v		h11 h22			h21 h12					.						(П2.3)
							v		h	h							.						(П2.3)
									h	h	22	h		h		21
									11		22		12			21
		Применив формулы (П2.1) – (П2.3), найдем решение данной игры.
Для первого игрока
					p1*		5 2					1 , p2*			1			1	1 .
					p1*	4	5 1 2					1 , p2*			1			2	1 .
						4	5 1 2					2						2	2
		Для второго игрока
					q1*		5 1					2	, q2*		1			2	1 .
					q1*	4	5 1 2					3	, q2*		1			3	1 .
						4	5 1 2					3						3	3
		Цена игры
							v		4 5 2 1					18	3 .
							v							6	3 .
									4 5 1 2					6
		Итак,	решение игры:							оптимальная						стратегия				первого			игрока
p	*	1	1																	q	*	2	1
p				, оптимальная стратегия второго игрока																q			, це-
		2	2																			3	3

на игры v 3 .

Теперь решим игру, заданную матрицей												3			0
Теперь решим игру, заданную матрицей										B			1		. Пользуясь
формулами (П2.1) – (П.23), найдем:													1		3
формулами (П2.1) – (П.23), найдем:															3 1	2
– оптимальную стратегию первого игрока												p1*			3 1	2	,
– оптимальную стратегию первого игрока												p1*		3 3 0 1		5	,
p2* 1 2	3 ,													3 3 0 1		5
p2* 1 2	3 ,
5	5														3 0	3
– оптимальную стратегию второго игрока												q1*			3 0	3	,
– оптимальную стратегию второго игрока												q1*		3 3 0 1		5	,
q2* 1 3	2 ,													3 3 0 1		5
q2* 1 3	2 ,
5	3	3 3 0 1			9 1,8 .
– цена игры v		3 3 0 1
– цена игры v		3 3 0 1
		3 3 0 1			5
Итак, решение этой игры:			p	*	2	3		q	*		3		2		, v 1,8 .
Итак, решение этой игры:			p			5	,	q				5	5		, v 1,8 .
					5	5						5	5

Учебное издание

Закиров Ансар Анварович Майзенберг Татьяна Львовна Семенова Наталья Вячеславовна

ТЕОРИЯ ИГР

Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема

Учебное пособие

Редактор И.Е. Оратовская

Компьютерная верстка М.А. Шамарина

Подписано в печать 06.06.16	Рег. № 702	Уч.-изд. л. 2,4
Формат 60 90 1/16	Электронная версия	Заказ 5118

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]