Теория игр. Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема. Учебное пособие

Решение. Матрицы треугольного вида взяты для удобства вычислений определителей. Воспользуемся снова формулами (1.6) , (1.7):

Полученное решение не имеет смысла – вероятности не могут быть отрицательными. Возникает вопрос о причине подобной ситуации и условиях применимости формул (1.6), (1.7). Ответ на этот вопрос дает следующее замечание.

Замечание 1.2. Очевидно, что столбцы свободных членов в каждой из систем n уравнений (1.5) состоят из одинаковых элементов

(V1 и V2 ). Поэтому в случае неотрицательности платежных матриц A и B равенства (1.5) не могут выполняться, если элементы одной строки

11

матрицы A не меньше элементов другой ее строки (соответственно для столбцов матрицы B ). Указанные соотношения между элементами матриц возникают при том или ином виде отношений доминирования между стратегиями игроков. Таким образом, именно наличие доминирумых стратегий непозволяет применятьформулы(1.6), (1.7).

Замечание 1.3. Важно отметить, что отношения доминирования в биматричной игре отличаются от отношений доминирования в антагонистической игре. Например, возможны следующие принципы доминирования:

–1-й игрок хочет максимизировать свой выигрыш и минимизировать выигрыш 2-го;

–2-й игрок хочет максимизировать свой выигрыш и минимизировать выигрыш 1-го;

–каждый из игроков хочет максимизировать свой выигрыш;

–каждый из игроков хочет минимизировать выигрыш противника. Кроме того, можно рассмотреть соответствующие принципы до-

минирования, если поменять местами платежные матрицы игроков, которые в этом случае будут являться матрицами их проигрышей. В зависимости от используемого принципа меняется понятие доминируемой строки или столбца в матрице. При этом каждый игрок может управлять только своей матрицей, отбрасывая в ней те или иные строки (столбцы) с учетом свойств матрицы противника.

Пример 1.3. Матрицы выигрышей имеют вид

Пусть первый игрок хочет минимизировать выигрыш второго игрока, который вычисляется по матрице B . Так как элементы ее третьей строки не меньше элементов первой, первому игроку не следует применять свою третью чистую стратегию. С учетом этого матрицы выигрышей приобретают вид

Пусть теперь уже второй игрок хочет минимизировать выигрыш первого. Тогда ему надо исключить применение своей первой чистой

12

стратегии, поскольку элементы первого столбца матрицы A больше элементов ее третьего столбца. В результате применения такого принципа доминирования матрицы выигрышей приобретают вид

Дальнейшее решение игры не представляет никаких трудностей. Естественно, выбор принципа доминирования определяется условиями конкретной игры.

В заключение отметим, что решение биматричной игры с платежными матрицами третьего порядка можно найти, решив систему неравенств

Правда, решение такой системы неравенств может быть сопряжено с чисто техническими трудностями.

1.3. Задание № 1

Найдите выигрыши игроков в ситуации равновесия и соответствующие стратегии игроков в биматричной игре, пользуясь формулами (1.6), (1.7). Проверьте, что формулы (1.6а), (1.7а) дают такой жерезультат.

Номер варианта задания здесь и далее совпадает с номером фамилии студента в журнале группы.

13

1.4. Графическое решение биматричной игры (2 2)

Пусть игроки имеют по две чистые стратегии. Тогда биматричная игра задана матрицами

14

средних выигрышей игроков, которые они получат, применяя свои

Если он выбирает вторую чистую стратегию, т.е. x 0 , то

ков (опустив для удобства символ *). Тогда условия равновесия для первого игрока перепишем в виде

Подставим в (1.12) выражения (1.8), (1.10), (1.11):

15

Рассуждая аналогичным образом, получаем условия равновесия для второго игрока:

Перепишемполученныенеравенства, обозначив b11 b12 b21 b22 D

и b22 b21 G :

Таким образом, для нахождения оптимальных стратегий игроков в биматричной игре 2 2 необходимо решить систему неравенств

(1.13), (1.15):

16

Сначала найдем множество решений системы (1.13). Заметим, что решением системы неравенств (1.13) является приемлемая для пер-

вого игрока ситуация в биматричной игре 2 2 . При p 1 первое неравенство выполняется для любых допустимых значений q , а второе неравенство равносильно неравенству C q F 0 . При p 0 второе неравенство выполнятся при любых допустимых значениях

1. Пусть C F 0 . Тогда неравенства системы (1.13) выполняют-

множества приемлемых ситуаций в игре для первого игрока в рассматриваемом случае представлена на рис.1.1. В введенной системе координат по горизонтальной оси откладываются значения p , по

вертикальной оси – значения q . Для определенности принято F 0 .

17

Рис. 1.1. Множество приемлемых ситуаций в биматричной игре (2 2) для первого игрока при С 0, F 0

Пусть теперь C 0 , F 0 . При p 1 q CF , при p 0 q CF , при 0 p 1 q CF . На рис. 1.2 представлена геометрическая интер-

претация множества приемлемых ситуаций для первого игрока при

C 0, F 0 .

Рис. 1.2. Множество приемлемых ситуаций в биматричной игре (2 2) для первого игрока при С 0, F 0

Аналогичные рассуждения позволяют найти решение системы неравенств (1.15), т.е. множество приемлемых ситуацийдля второгоигрока.

1. Пусть D G 0 . Тогда неравенства системы (1.15) выполняются для любых допустимых пар ( p, q) . Учитывая, что 0 p 1, 0 q 1 ,

полученное множество решений образует единичный квадрат.

18

прежнему, p GD . Геометрическая интерпретация множеств прием-

лемых ситуаций в игре для второго игрока для случаев D 0, G 0 и D 0, G 0 представлена на рис. 1.3 и 1.4 соответственно.

q

1

Теперь можно получить решение системы неравенств (1.16). Очевидно, что оптимальные (равновесные) стратегии игроков в бимат-

ричной игре (2 2) соответствуют приемлемой для обоих игроков ситуации. Эта ситуация определяется точкой пересечения соответствующих ломаных (зигзагов) на плоскости p0q. В зависимости от

19

значений параметров C, D, F и G зигзаги могут иметь либо одну,

либо три общих точки. Во втором случае игра имеет решение как в смешанной, так и в чистых стратегиях. На рис. 1.5 показана един-

ственная ситуация равновесия в игре (2 2).

Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация биматричной игры (2 2), имеющей единственное решение в смешанных стратегиях

В этом случае оптимальной стратегией первого игрока является

мулам (1.8)–(1.9).

На рис. 1.6 представлена геометрическая интерпретация биматричной игры, имеющей три решения.

Рис. 1.6. Геометрическая интерпретация биматричной игры (2 2), имеющей два решения в чистых стратегиях и одно решение

в смешанных стратегиях

20