Теория игр. Часть 2. Биматричные игры. Арбитражная схема. Учебное пособие

В этом случае помимо указанных выше оптимальных смешанных стратегий к равновесию в игре приводит применение игроками пары

«противоположных» чистых стратегий: 1) 1 0 для первого и 0 1 для второго; 2) 0 1 для первого и 1 0 для второго. Очевидно, что

оптимальность соответствующих чистых стратегий в конкретной задаче можно установить, исследовав матрицы игроков.

Замечание 1.4. Мы видим, что если рассматриваемая игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях, то смешанная равновесная стратегия первого игрока в ней будет определяться лишь матрицей выигрышей второго игрока и наоборот. Выпишем формулы

для выражений CF и GD :

Сравнение этих выражений с формулами (П2.1), (П2.2) прил. 2 показывает, что в ситуации равновесия в биматричной игре поведение второго игрока совпадает с его поведением в матричной игре с матрицей выигрышей A (т.е. с матрицей выигрышей первого игрока), а поведение первого игрока – с поведением первого в матричной игре с матрицей B. Таким образом, равновесное поведение игроков ориентировано не столько на максимизацию собственного выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника.

Пример 1.4. Решить биматричную игру, заданную платежными матрицами

Решение. Вычислим значения параметров

21

Запишем условия равновесия (1.16):

p 1 6 q 4 0,

p 6 q 4 0,

q 1 5 p 2 0,

q 5 p 2 0.

Итак, если p 1, получаем q 23 , при p 0 q 23 , при 0 p 1

0 q 1 p 0,4 . Изобразим на плоскости p0q множества приемлемых ситуаций для каждого игрока (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Геометрическое решение биматричной игры

Из рис. 1.7 видно, что игра имеет три ситуации равновесия, которые складываются в игре при применении игроками следующих пар опти-

первом случае выигрыши игроков составляют 5 и 3, во втором – 4 и 3. Вычислим средние выигрыши игроков при применении ими смешанных оптимальных стратегий. Для этого воспользуемся формула-

ми (1.8)–(1.9):

22

Вернемся к полученным результатам. Нетрудно заметить, что оптимальная смешанная стратегия первого игрока определяется параметрами D и G , значения которых в свою очередь зависят от элементов платежной матрицы второго игрока. Оптимальная смешанная стратегия второго игрока, напротив, определяется элементами матрицы первого игрока. В приведены решения антагонистических игр,

ные результаты, можно заметить, что оптимальная стратегия первого игрока в биматричной игре совпадает с оптимальной стратегией пер-

падают также оптимальная стратегия второго игрока в биматричной игре и оптимальная стратегия второго игрока в антагонистической

ный выигрыш каждого игрока в биматричной игре совпадает с ценой антагонистической игры, заданной его же матрицей.

1.5. Задание № 2

Найдите равновесные смешанные стратегии игроков в биматричной игре, применив графический подход.

23

24

2. АРБИТРАЖНАЯ СХЕМА

2.1. Аксиомы Нэша

Пусть некоторая биматричная игра имеет решение в смешанных стратегиях. Напомним, что соответствующие смешанные стратегии игроков являются равновесными по Нэшу. Оказывается, что игроки, на самом деле, могут одновременно увеличить каждый свой платеж по сравнению с ситуацией равновесия. Для этого им достаточно осуществить некоторый совместный выбор, точнее, применить совместную смешанную стратегию. Подобное поведение можно считать простейшим проявлением кооперации, поскольку речь идет о получении и последующем дележе общего выигрыша.

B 2 , то суммарный выигрыш будет равен 1 5 6 . Данная ситуация в

игре не является равновесной, поскольку первому игроку будет выгоднее применить вторую чистую стратегию с намерением получить больший выигрыш, но тогда и второй игрок предпочтет применить

свою первую чистую стратегию. Тем не менее выбор стратегий A1 и B 2 представляет определенный интерес для обоих игроков. Есте-

ственно, возникает вопрос о разделе полученного суммарного выигрыша.

Рассмотрим игру n лиц. Пусть u i , i 1,..., n, – математическое ожидание выигрыша i-го игрока при применении им некоторой сме-

равновесия в бескоалиционной игре. Назовем такой вектор точкой status quo. Допустим, что договорившись отклониться одновременно

25

от ситуации равновесия, игрок i получает в увеличившемся суммарном выигрыше долю u i , i 1,..., n . Соответствующий этим долям

вектор обозначим u u 1 ,u 2 ,...,u n и назовем дележом в коопера-

тивной игре n лиц.

Сформулируем шесть аксиом, которым должен удовлетворять де-

леж u u 1 ,u 2 ,...,u n :

1) реализуемость: u U (доли игроков в дележе могут быть получены ими как выигрыши в смешанных стратегиях);

2) индивидуальная рациональность: u i ui , i 1,..., n (договор с

другими игроками не приведет к уменьшению его гарантированного выигрыша);

3)оптимальность по Парето – невозможно одновременно увеличить доли всех игроков;

4)симметричность – изменение нумерации игроков не меняет их долей;

5)независимость – если число стратегий игроков уменьшается, но

u1 ,u2 ,...,un соответствует выигрышам игроков в ситу-

ации равновесия в бескоалиционной игре. Назовем такой вектор точкой status quo сохраняется, доли игроков не могут увеличиться;

6) Линейность – возрастающее линейное преобразование допу-

Указанные аксиомы были впервые сформулированы Дж. Нэшем. Поскольку доли игроков определяются по этим шести правилам, а не являются результатом соглашения игроков, подобный дележ называ-

ется арбитражной схемой.

2.2. Вторая теорема Нэша. Решение арбитражной схемы

Примем без доказательства следующее утверждение.

Вторая теорема Нэша. Арбитражной схеме, удовлетворяющей ак- сиомам1–6, в игре n лицотвечает единственныймаксимумфункции

fu1 ,u 2 ,...,u n u1 u1 u 2 u 2 u n u n

вдопустимом множестве игры U .

26

Поскольку допустимое множество U игры двух лиц можно изобразить в декартовой прямоугольной системе координат, приведем

пример арбитражной схемы для игры 2 2 .

Пример 2.1. Найти арбитражную схему для игры с матрицами

Решение. Допустимое множество игры является выпуклой линейной оболочкой четырех точек C11 3;2 , C12 1;5 , C 21 1;4 ,

C 22 4;1 и представляет собойтреугольник, изображенныйна рис. 2.1.

Рис. 2.1. Допустимое множество игры (2 2)

Необходимо найти максимум функции f u1 ,u 2 u1 2, 2

u 2 3 в допустимой области U .

Поставленная задача может быть сведена к задаче нелинейного программирования, решение которой основано на теореме Куна – Таккера. Зададим допустимую область U в виде системы неравенств. Сначала запишем уравнения границ области, заменив для удобства u 1 на x , а u 2 на y :

C12 C 21 : x 1 ;

27

Тогда допустимая область U задается неравенствами

x 1,

4x 3y 19 0,

x y 5 0.

Точка status quo 2,2; 3 изображена на рис. 2.1 символом *. Так

как теорема Куна – Таккера позволяет найти минимум целевой функции в заданной области, то каноническая форма решаемой задачи нелинейного программирования имеет вид

x 2,2 y 3 min,

1 x 0,

4x 3y 19 0,

5 x y 0 .

Запишем функцию Лагранжа:

L x 2, 2 y 3 1 1 x 2 4x 3y 19 3 5 x y .

Запишем условия Куна – Таккера:

L y 3 1 4 2 3 0 ,

x

L x 2,2 3 2 3 0 ,

y

1 1 x 0 ,

2 4x 3y 19 0 ,

3 5 x y 0 ,

i 0, i 1, 2, 3 .

Очевидно, что значения целевой функции тем меньше, чем больше значения переменных. Следовательно, минимум функции дости-

гается на прямой 4x 3y 19 0 . Полагая 1 3 0, 2 0 , перепишем условия Куна – Таккера:

y 3 4 2 0 ,

x 2,2 3 2 0 , 4x 3y 19 0 .

28

Выразим из первых двух равенств переменные x и y и подставим полученные выражения в третье уравнение:

y 3 4 2 , x 2,2 3 2 , 4 2,2 3 2 3 3 4 2 19 0 .

Тогда

x2,2 3 0,05 2,35 , y 3 4 0,05 3,2 .

Сумма долей игроков равна 5,55 , что превышает их суммарный выигрыш в ситуации равновесия, равный 5,2 .

Замечание 2.1. Как уже указывалось выше, дележ максимального суммарного выигрыша, соответствующего точке C12 , не может быть

признан первым игроком. Теперь мы видим, что доля первого игрока при этом оказывается меньше его выигрыша в ситуации равновесия биматричной игры. Это подтверждает справедливость 2-й аксиомы Нэша для осуществления справедливого дележа.

Найдем теперь совместную смешанную стратегию игроков, позволяющую им получить доли x 2,35 и y 3,2 . Но, сначала опре-

делим само понятие совместной смешанной стратегии игроков. Определение. Совместной смешанной стратегией игроков в игре

(2 2), реализующейарбитражнуюсхемуНэша, называетсявероятностное распределениенамножествесовместныхчистыхстратегийигроков:

где pi j – вероятность одновременного применения первым игроком

своей i-й чистой стратегии, а вторым игроком – своей j-й чистой стратегии.

Точка C 2,35; 3,2 находится на отрезке C12 C 2 2 , следовательно, справедливо равенство

C C12 p12 C 2 2 p2 2 .

29

Перепишем это равенство в координатах

симально возможном суммарном выигрыше первый игрок должен применять свои чистые стратегии с вероятностями 209 и 1120 , а второму игроку следует применить свою вторую чистую стратегию.

Пример 2.2. Найти арбитражную схему для игры с матрицами

Решение. Найдем выигрыши игроков в ситуации равновесия и равновесные стратегии игроков, воспользовавшись формулами (1.6), (1.7):

30