Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
ЗАДАЧИ
I. Произведите нормализацию позиционных игр, у которых дерево игры
имеет вид, приведенный ниже. У конечных вершин поставлен выигрыш
первого игрока, а выигрыш второго игрока противоположен по знаку:
1.
5 2 -7
1 4 1
2.
3.
2 2
455
2
3612
2
1
2
1
1
8
2
V
1
1
2
4.
34 1
22
42
2
1
V
1
2
91
II. Нарисуйте дерево позиционной игры «Выбор с правом вето», у
N
которой N игроков выбирают одного кандидата из множества ,
i .
Правило голосования следующее: начиная с игрока 1, каждый игрок
последовательно налагает вето на выбор кандидатуры одного из не отведенных
кандидатов. Единственный оставшийся кандидат считается избранным.
Функции выигрыша
каждого игрока в зависимости от того, какой кандидат победил.
Найдите решение, используя теорему Куна.
1.
N =2;
u1={2,-5,4}; u2={-2,5,-4}
2. N =2;
u1={2,5,-4,-3,1}; u2={-2-3,4,3,-1}
u1, u2, …, u
,, cccC
321
,,,, cccccC
54321
заданы на множестве С, т.е. выигрыш
N
cccC ,...,,
21
i
3. N =3;
u1={1,2,-3,4}; u2={3,2,1,-5}; u3={-2,-3,-1,8}.
4.
N =4;
u1={1,2,-2,-3,4}; u2={3,5,1,-7,6}; u3={2,4,-5,-1,1}; u4={2,3,4,1,6}.
,,, ccccC
4321
,,,, cccccC
54321
92
8. БАЙЕСОВСКИЕ ИГРЫ
Рассматривая предыдущие игры, мы предполагали, что игроки в равной
степени информированы о структуре игры, так что каждый из игроков знает
множества возможных действий и целевые функции других игроков (более
того, мы предполагали, что все это общеизвестно). На самом деле
экономические субъекты всегда бывают в разной степени информированы или,
другими словами, асимметрично информированы, поэтому многие
экономические явления невозможно адекв
этого упрощающего предположения. Мы рассмотрим здесь разновидность игр,
в которых игроки могут не знать точно предпочтения других игроков.
Предпочтения игроков в этих играх зависят от случайных событий, при этом
игроки в разной степени владеют информацией о том, какое именно событие
произошло. Формально это учитывается с по
игрока: каждый из игроков может быть нескольких типов. При этом считается,
что каждый из игроков знает только свой собственный тип. Можно считать, что
первый ход делает природа, выбирая типы всех игроков. Такого рода игры
называют
игры не нужно путать с играми с несовершенной информацией, в которых
неполная информированность игроков появляется в процессе игры из – за
невозможности наблюдать действия других игроков или результаты случайных
играми с неполной информацией или байесовскими играми. Эти
атно описать, не отказавшись от
мощью введения понятия типа
ходов.
8.1. ДУОПОЛИЯ КУРНО С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Во многих случаях неполная информированность игрока означает, что он
не знает точного вида функций выигрыша других игроков.
В качестве примера подобной ситуации рассмотрим пример дуополии
(дуополия – это олигополия, в которой конкурируют две фирмы) Курно, когда
хотя бы одна из фирм не знает технологии, используемой конкурентом.
Олигополия – это тип рыночной структуры несовершенной конкуренции,
в которой доминирует крайне малое количество фирм.
Примерами олигополии
93
могут быть компании производителей автомобилей («Мерседес», «БМВ»),
производителей самолетов («Boening»), и т. п.
Итак, рассмотрим следующую задачу.
На рынке конкурируют две фирмы. Предположим, что функция спроса
линейна:
, (8.1)
где , - некоторые числа. 0 0
a
b
Функция затрат та
где - стоимость производства единицы продукции и - выпуск
(количест
0
c 0
i
во производимых единиц продукта),
ycyg ,
iiii
bpapfq
кже линейна:
i .
2,1
y
i
Предположим, что цена определяется таким образом, чтобы уравнять
спрос и предложение. Тогда каждая из фирм продает все, что производит и
yyq . (8.2)
21
Чистая прибыль каждой фирмы равна
ycpyП . (8.3)
iiii
Из формулы (8.1) и (8.2):
yya
qa
.
p
b
21
b
Подставим последнее выражение в (8.3), найдем чистые прибыли фирм как
функции выпусков:
yya
yy
,
21
21
b
ycy
,
iiii
2,1
i
. (8.4)
Выражение (8.4) – дуополия по Курно.
y
Оптимальный выпуск
фирмы (при котором чистая прибыль максимальна),
i
должен удовлетворять равенству:
i
y
i
yy
21
yya
b
y
21
i
b
0,
c
, 2,1
i
i . (8.5)
В рассматриваемом случае все стационарные точки являются точками
максимума, так как
94
2
i
,
yy
2
y
21
Решим систему (8.5).
2
0
.
b
i
b
yya
b
y
yya
121
b
y
221
b
,2
121
.2
221
c
1
c
2
bcayy
bcayy
,0
.0
y
y
2
1
2
bcyya
121
,0
b
2
bcyya
221
.0
b
2
bcca
12
,
3
2
bcca
21
.
3
Таким образом, равновесные выпуски обеих фирм определяются по формулам:
y
1
3
bcca
2
12
y
,
2
3
bcca
2
21
. (8.6)
НЕПОЛНАЯ ИНФОРМИРОВАННОСТЬ ОДНОЙ ФИРМЫ
Предположим, что первая фирма не знает технологии второй. При этом
первая фирма предполагает, что с вероятностью
вторая фирма использует
старую технологию, для которой стоимость единицы продукции высокая и
равна и с вероятностью
c
H
для которой стоимость единицы продукции низкая и равна . Другими
словами, функция затрат первой фирмы
1 вторая фирма использует новую технологию,
c
L
cyg
y
11
, и первая фирма полагает,
i 1
что
yg
22
,
2
H
2
L
ьювероятностсyc
.
1,
ьювероятностсyc
При этом естественно, что вторая фирма точно знает свою функцию
затрат. Если , то фирма 2 решает задачу максимума функции
,, ycy
cyy
212
ycyg
222
H
yya
21
b
22
HH
.
Из условия оптимальности
95
2
y
2
21
cyy
b
221
b
0,,
c
HH
y
yya
находим оптимальный выпуск второй фирмы:
bcya
Hy
2
1
H
. (8.7)
2
Аналогично, если
L
функции
yya
,, ycy
cyy
212
21
b
и находит свой оптимальный выпуск
bcya
2
Ly
1
L
. (8.8)
2
Эти же вычисления может произвести и первая фирма, чтобы определить
свою среднюю чистую прибыль
1,
LyHyy
2211
ycyg
, то фирма 2 решает задачу максимума
222
22
LL
1
b
LyHyya
221
ycy
.
111
Оптимальный выпуск первой фирмы должен удовлетворять условию
1
y
1
1,
221
LyHyy
b
LyHya
y
21
122
b
0
c
. (8.9)
1
Решая систему уравнений (8.7)-(8.8)-(8.9), находим:
y
1
Hy
2
Ly
2
3
2
1
H
2
1
2
K
21
bccca
LH
bcca
1
;
1
6
bcc
;
LH
bcca
62
bcc
.
LH
Сравнивая две модели дуополий Курно, в первой из которых обе фирмы
знают производственные издержки фирм – конкурентов, а во второй – фирма 1
96
точно не знает производственных издержек на фирме 2, мы видим, что
неполная информированность первой фирмы приводит к тому, что
равновесный выпуск на фирме 2 с высокими издержками увеличивается на
61 bcсLH
, а выпуск на фирме 2 с низкими издержками уменьшается на
6bcсLH
.
МОДЕЛЬ ЦЕНОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА
В стране два производителя виджетов. Обе фирмы должны решить,
сколько штук виджетов произвести в течение ближайшего месяца. Пусть
q
1
производства второй. Вз
;0
- объем производства первой фирмы, - объем
аимодействие фирм реализуется в два этапа:
1 этап: фи
2 этап: фи
рма 1 выбирает
рма 2 выбирает .
q
1
q
2
Функция спроса на виджеты имеет вид
максимальная цена, по которой удается продать
100 qqP
q
q
1
штук в течение месяца.
2
q
2
;0
, где Р –
21
Пусть издержки производства у фирмы пропорциональны кв
соответствующего количества штук: , где
2
cq 1000
i
i
c . Прибыль фирмы равна
адрату
ее выручке за вычетом издержек производства:
100 cqqqqcqPqП
;
100 cqqqqcqPqП
. (8.10)
1211111
2212222
Найдем совершенное по под-играм равновесие. В данной игре для
каждого , выбранного перв
фирма 2 выбирает . Решением максимизационной задачи для фирмы 2:
q
1
q
2
100
qq
12
2
1
ой фирмой, определяется под-игра, в которой
сq
1
1
.100,0
cq
,100,
cq
(8.11)
Уравнение (8.11) задает стратегию игрока 2 в совершенном по под-играм
равновесии. Теперь нужно найти , который максимизирует выигрыш первого
q
1
97
игрока при условии, что второй выбирает стратегию (8.10). Поставим
P
P
R
CRП
П
:
1
qq в
12
cqq
11
q
1
1
111
8
8
,100,
cq
.100,100
cqcqq
8
16
2
ссссс
;
2
ссссс
.
41002200400
41002200400
100
100
,
Вычисляя максимум от
П
П
100
*
1
1
2
100
100
cq
,
2
100
qqqП
1211
, qqqП
100
*
q
2
100
cqqqq
1211
2
100
cqqqq
2212
2
по , получим
1211
c
.
4
4
Это решение отличается от равновесия в модели Курно. Возможность делать
первый ход дает первой фирме преимущество: в модели Штакельберга ее
прибыль выше.
Пример 8.1. Рынок поделён между двумя фирмами, каждая из которых
выбирает свой объём выпуска: – выпуск первой фирмы; – выпуск второй
фирмы. Совокупный выпуск (предложение) будет равен
Уравнение кривой спроса на данном рынке задано и имеет ви
q
1
q
2
Q .
q
q
1
2
д:
q
30 .
Требуется определить равновесную цену, если право первого хода принадлежит
первой фирме.
Решение. По формуле Q
30 qqqqR
2
111
21
3030 qqqqQqPR
найдём выручку первой фирмы
121111
Аналогично, выручка второй фирмы будет равна:
30 qqqqR
2
222
21
По формуле вычисления прибыли ,
из фирм:
30 qCqqqqCRП ,
2
11111
1121
находим прибыль каждой
98
30 qCqqqqCRП .
MC
M
P
P
R
2
22222
2221
Предположим сначала, что каждая фирма является монополистом,
следовательно, может выбирать выпуск, максимизирующий ее прибыль при
постоянном выпуске конкурента. Оптимум (максимум прибыли) достигается в
точке, где предельная выручка равна предельным издержкам
, .
MCMR
11
Для упрощения будем считать, что ,0
выбирает выпуск при котором 0
при котором
q
1
MR .
0
2
MCMR
22
MCMC тогда первая фирма
21
MR . Вторая фирма выбирает выпуск ,
1
Предельная выручка фирм определяется как частная производная от
выручки по объёму выпуска. Таким образом:
230 qq
2
11
q
1
R
MR
1
MR
2
1
;
q
1
R
.
q
30
2
2
Найдём оптимальные значения и
qqqq
21
12
q
230
q
1
qq
21
2
R , т.е.:
q
2
Откуда . 10
ема (8.10) получается в предположении, что каждая фирма
Сист
qq
12
qq
21
qq
21
(8.10)
.0230
,0230
максимизирует свою выручку и предполагает, что её конкурент сделает то же
самое.
Находим значение
102030
,
и выручки обеих фирм:
PQRR
21
1001010
.
Если бы фирмы могли договориться между собой, то они бы выбрали
такой выпуск
При этом , а выпуск каждой из фирм, при справедливом дележе,
был бы равен 5. Однако реализации этого и
Q , который максимизировал бы их общую выручку PQ
15
Q
,7
qq
21
схода препятствует
.
99
очередность ходов, которая дает преимущества фирме, обладающей правом
первого хода.
Для простоты будем считать, что каждая фирма выбирает один из трёх
объёмов выпуска: 7,5; 10 и 15. В таблице 8.1 приведены выручки каждой из
фирм для всех всевозможных исходов:
Таблица 8.1
вторая фирма
7,5 10 15
7,5 12,5; 12,5 93,75; 125 65,25; 112,5
10 125; 93,75 100; 100 50; 75
первая
15 112,5; 56,25 75; 50 0; 0
фирма
Равновесным по Нэшу является исход с результатами (93,75; 125). Теперь
предположим, что первая фирма обладает правом первого хода, т.е. она
выбирает объём выпуска и сообщает об этом второй фирме, которая, в свою
очередь, выбирает объем выпуска, максимизирующий прибыль при заданном
объеме выпуска конкурента. Таким образом, получаем следующие исходы:
первая фирма – 7,5; тогда вторая фирма – 10, результат (93,75; 125);
первая фирма – 10; тогда вторая фирма – 10, результат (100; 100);
первая фирма – 15; тогда вторая фирма – 7,5, результат (112,5; 56,25).
В реальности первая фирма, выбрав объём производства должна
1
,15
q
убедить вторую фирму в том, что она не намерена отступать от этой стратегии.
Для этого она может проводи
ть рекламную компанию, вкладывать деньги и т.д.
такие действия называются
8.2. БАЙЕСОВСКИЕ ИГРЫ В СТРАТЕГИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Байесовская игра в стратегической форме задается пятеркой
,,,,
где
i
Ni
n - множество игроков; N ,...,1
стратегическим ходом.
pTSNG
i
i
Ni
i
Ni
,
Ni
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]