Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Цель каждого игрока есть получение наибольшего возможного









выигрыша. Каждый из игроков будет применять стратегию, увеличивающую его выигрыш, но при этом выигрыши остальных игроков могут уменьшаться.

При этом такой ситуации

,...,,

, где стратегия доставляет

ssss 

максимум игроку i, может не быть. Дадим определение ситуации s, устраивающей всех игроков.

2.1. СИТУАЦИИ, РАВНОВЕСНЫЕ ПО НЭШУ

Пусть - произвольная ситуация в игре, где

- стратег

Ss 

из ситуации





1121 

ия i - того игрока. Рассмотрим новую ситуацию, полученную

заменой стратегии на стратегию .

Определение 2.2. Ситуация

она приемлема для всех игроков, т. е. если для любых и

неравенство





sHsH

iii



sssssss ,...,,,...,

niii

Ss 

называется равновесной по Нэшу, если

выполняется

Ss 

Определение 2.3. Стратегия, которая входит хотя бы в одну из

равновесных ситуаций игры, называется равновесной стратегией игрока.

В бескоалиционной игре нахождение соответствующих выигрышей игроков сводятся к нахождению ситуаций равновесия.

Следующее предположение является важным в теории игр: все игроки действуют рационально, т. е.

- каждый игрок рассматривает доступные ему альтернативы,

- формирует представления относительно неизвестных параметров

(возможных действий других игроков, их ресурсов),

- имеет четко определенные предпочтения и выбирает свои действия в

результате некоторого процесса оптимизации (максимизации своей целевой функции).

Пример 2.1. Найдите в игре ситуации равновесия:

























































 

H .





 





2,61,53,4

 

6,34,81,2

 

8,26,90,3



Решение. Строки – стратегии первого игрока (обозначим их



столбцы – стратегии второго игрока



ситуацию при стратегиях

игроков

Ситуация приемлема дл

 

Ситуация также приемлема для второго игрока, так как

 

 H

21111

122112

HsHsH

, .

ijij

 ssH

 ssH  H



я первого игрока, так как



соответственно. Функция выигрышей

sHsH .

311111

sHsH .

,, sss . Обозначим



132112



,s -



sH .



sH .

,, sss



3,4

Таким образом, ситуация я

вляется ситуацией равновесия по Нэшу.

Других равновесных ситуаций (в чистых стратегиях) нет.

Определение 2.4. Стратегия

игрока в игре строго





HSI ,,

доминируема (строго доминируется), если существует другая стратегия

Ss  , такая что



для всех

В этом случае стратегия

, niik ,...,1,1,...,2,1

 .

 , (2.1)

строго доминирует стратегию

11211121 



ssssssHssssssH ,...,,,...,,...,,,...,

niiiiniiii

Если неравенство (2.1) выполняется нестрого, то хотя бы для одного набора строго, то гов



1121 

доминируется стратегией



sssss ,...,,...,

nii

s .

орят, что стратегия слабо

Пример 2.2. Рассмотрим игру из примера 2.1. По определению

доминируемых стратегий, стратегия





)3(

,, ssHssH

. Первый игрок понимает, что второй не будет играть

211

Поэтому для него (после исключения



строго доминируема стратегией



s ) стратегия



s будет лучше, чем две



другие. Этот процесс называется последовательным удалением стратегий.









Рассмотрим его пошагово.



1 шаг. Удаляем стратегию



стратегией :

s , так как она строго доминируется

 

 

 



H .

 

 



2 шаг. Удаляем стратегию



стратегией :



H .

3 шаг. Удаляем стратегию



стратегией :



H .

2,63,4

 

6,31,2

 

8,20,3



 

 

 

 



 

 

 



2,63,4

 

 

8,20,3



2,63,4

 

 





s , так как она строго доминируется



, так как она строго доминируется



4 шаг. Удаляем стратегию



стратегией :





3,4





H .

 



Остается пара стратегий

выигрышами игроков

 

 





3,4

sH .

, так как она строго доминируется



,sss  - ситуация равновесия по Нэшу с

Свойство доминируемых стратегий. Если удалили строго

доминируемые стратегии, то оставшееся множество стратегий не зависит от последовательности (порядка) исключений.

Замечание 2.1. Для слабо доминируемых стратегий свойство





















Ss





доминируемых стратегий может не выполняться.

Определение 2.5. Стратегия

называется доминирующей, если

она доминирует (хотя бы слабо) все остальные стратегии игрока i.

Замечание 2.2. Поскольку игрок, обладающий доминирующей

стратегией, будет пользоваться только ею независимо от выбора других игроков, то его можно исключить из рассмотрения и перейти к редуцированной игре с меньшим числом участников.

Определение 2.6. Стратегия

на стратегии оппонентов , если i



называется лучшим ответом игрока



для любых

 ,,

ssHs

iii

i

2.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПАРЕТО СИТУАЦИИ

Определение 2.7. В бескоалиционной игре

,...,,

ssss 



HSI ,,

ситуация

называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации

, для

которой имеет место неравенство





sHsH

причем хотя бы для одного игрока неравенство строгое.

Иными словами, если увеличение выигрыша одного из игроков возможно

только за счет уменьшения выигрыша другого, то ситуация (пара стратегий игроков) является

оптимальной по Парето,.

Заметим, что понятия ситуации равновесия и ситуации, оптимальной по Парето отличаются. В ситуации равновесия ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить своего выигрыша; в оптимальной по Парето ситуации все игроки, действуя совместно, не могут (даже не строго) увеличить выигрыш каждого.

Будем обозначать через Парето.

множество всех ситуаций, оптимальных по

Пример 2.3. «Семейный спор». Рассмотрим игру, в которой муж

(игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбрать одно из двух развлечений: хоккейный

матч или балет. Оба остаются дома, если их не совпадают. Жена предпочитает балет, а муж - хоккейный матч. Но им обоим гораздо важнее провести вечер вместе, чем участвовать в развлечении одному. Выигрыш каждого игрока определяется полезностью проведенного вечера и оценивает

ся по шкале от 0 до

4. Соответствующие выигрыши игроков указаны в таблице (сначала указан выигрыш игрока 1, затем — игрока 2).

Жена

Стратегии игроков

Хоккей Балет

Хоккей 4; 1 0; 0

Муж

Балет 0; 0 1; 4

Итак, у каждого из игроков по две стратегии: «Хоккей» (Х) и «Балет» (Б). Цель каждого игрока — максимизировать собственный выигрыш. При этом их интересы не противоположны. В данной игре есть две ситуации равновесия по Нэшу: (Х, Х) и (Б, Б). Однако выигрыши игроков в этих ситуациях различны, при этом первая ситуация выгодна игроку 1,

a вторая — игроку 2. Таким образом, не ясно: какую из ситуаций равновесия можно принять как устраивающий всех игроков принцип оптимальности? В игре «семейный спор» обе равновесные ситуации не только равновесны, но и оптимальны по Парето.

Предположим, что игроки не общаются до начала игры, а делают выбор

одновременно и независимо друг от друга. Игроку 1 выгодно, чт

обы реализовалась ситуация (Х, Х). Но игроку 2 выгодна ситуация (Б, Б). Поэтому, если игрок 1 выберет стратегию «Х», то игрок 2 может выбрать стратегию «Б», и они оба проиграют: в ситуации (Х, Б) выигрыши составят (0, 0). Тогда игроку 1 имеет смысл выбрать стратегию «Б», так как в ситуации (Б, Б) он получает выигрыш 1 (т. е. больше 0). Но игрок 2 может рассуждать аналогично и выбрат

стратегию «Х», тогда в ситуации (Б, Х) они оба опять проиграют.

Следовательно, перед началом игры игрокам выгоднее договариваться о



















Ss















совместном плане действий.

Замечание 2.3. Если два и более игрока отклоняются от ситуации

равновесия по Нэшу, то это может привести к увеличению выигрыша одного из отклонившихся игроков.

Замечание 2.4. Удерживает каждого игрока от отклонения от этой

ситуации равновесия соглашение между ними о выборе этой фиксированной ситуации равновесия.

В оптимальной по Парето ситуации игрок, отклонившийся от ситуации равновесия, может в некоторых случаях получить существенно больший выигрыш.

Теорема 2.1. (Свойство оптимальных по Парето ситуаций).

В бескоалиционной игре

существует вектор , такой что



где



0,...,

означает 0







,...,







0

 



maxmax

, ni ,...,1



HSI ,,

для ситуации









- вектор, транспонированный к

sHsHsH

,...,,

Sssss 

Для разных ситуаций, оптимальных по Парето, используют

дополнительные условия эффективности стратегий (как решений). Например, условие «взвешенной эффективности» для оптимальных по Парето ситуаций

 :

При





sH max



1,...,1,1

при некотором фиксированном 0



в качестве взвешенной оптимальной по Парето ситуации

выбирают такую ситуацию



max





В примере 2.1 ситуация

 

причем

132





 ssHsH . Также оптимальной по Парето является

, для которой достигается максимум:



sHsH



,sss  является оптимальной по Парето,

132



6;9,)(

ситуация





























 

,sss  , причем

133



133

 ssHsH , однако, в отличие от



8;2,)(

ситуации , не является более предпочтительной по сравнению с равновесной

ситуацией

полученных оптимальных по Парето ситуаций и . Для ситуации :

, которая является взвешен

эффективной по этому условию).



,sss  .

111

Проверим условие «взвешенной эффективности» при



321

Для ситуации :



331

Таки

м образом, максимальное значение достигает



 HsH

 HsH 108

s .



s .

ной оптимальной по Парето ситуацией (более

156









ся для ситуации



1,...,1,1

для

ЗАДАЧИ

1. Найдите ситуации равновесия по Нэшу, используя свойства доминируемых стратегий в следующих бескоалиционных играх с платежной матрицей А:

 

 

а)

в) ; г)

2. В бескоалиционной игре с платежной матрицей

оптимальную по Парето ситуацию с





A ; б)

 









 





 

 



6,25,3



5,33,4

4,26,3

8,5

 





,44,6

4,6

 



3,8





,01,2



,11,5



4,1



  

2,12

3,0

 





A ;

 





 

 





 

 

A .

 

 





1,1



8,43,62,8

 

3,46,65,3

 

3,51,70,4





0,00,30,1

 

3,21,22,2



4,12,33,3

найдите взвешенную

 

 

 

 

A .

 

 





3,22,2

0,30,1

2,33,3



1,2

 

 

0,0



 

4,1

 

3. В бескоалиционной игре с платежной матрицей А найдите взвешенную











оптимальную по Парето ситуацию с











 

 





A .

 





4. В следующих бескоалиционных играх с платежной матрицей А

найдите ситуации равновесия по Нэшу и оптимальные по Парето ситуации:





 

 



A ; б)

а)

 

 





4,32,80,6

 

6,11,42,2

 

5,23,74,3



1,31,20,30,1

 

1,52,01,53,2

 

1,43,15,12,0



 





A .

 

     



 



2,00,13,12,3

 



3,11,23,12,5







3,24,12,03,1



3. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

3.1. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. ПЛАТЕЖНАЯ

МАТРИЦА ИГРЫ

Допустим, что при каждой паре стратегий нам известны значения

выигрыша (или среднего выигрыша). Эти значения можно представить в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго:

 



 



Определение 3.1. Матрица А называется платежной матрицей игры.

Обозначим буквой - стратегию первого игрока, буквой i

второго. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Выбирая стратегию

...



111



.........

 

mnm



- стратегию

, первый игрок должен ож

стратегией , при которой его выигрыш минимален. Опред

идать, что противник ответит на нее такой

елим это значение

выигрыша – минимальное из чисел в - той строке. Обозначим это число

















a i

. Выпишем числа

amin

рядом с матрицей справа в качестве

дополнительного столбца:

…

… … … … … …

Выбирая стратегию , первый игрок должен рассчитывать на то, что в

…

результате разумных действий противника он не выиграет больше, чем

Действуя более осторожно и, избегая всякого риска, первый игрок должен





max

  



amin





остановиться на той стратегии , при которой число

максимальным. Обозначим это число буквой

Определение 3.2. Число называется нижней ценой

является

игры или максимином.

Стратегия первого игрока, которая соответствует строке, содержащей

число

, называется максиминной. Аналогично, так как противник заинтересован в том, чтобы минимизировать выигрыш первого игрока, он должен изучить каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша при этой стратегии. Поэтому под последней строкой матрицы выписываем максимальные значения по каждому столбцу:

amax

находим минимальное значение

Определение 3.3. Число

или минимаксом.

min

называется верхней ценой игры

amax

Теорема 3.1. Для любой матричной игры выполняется неравенство



































max min min max

ij ij

Таким образом, нижняя цена игры не больше, чем верхняя.

Определение 3.4. Если

, то число v называется ценой игры.

Замечание 3.1.

1. Игра выгодна для игрока А, если 0.

2. Игра выгодна для игрока В, если 0

3. Игра справедлива, т.е. является одинаково выгодной для обоих игроков,

если 0

Определение 3.5.

Если

, то игра называется игрой с седловой

точкой.

Если платёжная матрица имеет седловую точку, то:

Игрок A имеет оптимальную максиминную стратегию, а игрок B имеет

минимаксную стратегию.

Применение оптимальных стратегий даёт ситуацию равновесия, которая

оказывается

Игра имеет решение

оптимальные стратегии.

равновесием в чистых стратегиях.



kl,,

, где

aa maxminminmax 

Пример 3.1. Найдите решение игры.

16 -22 -7 14 -8 -22

11 10

15 21 8

6 -9 6 13 -13 -13

2 6 -5 -3 4 -5

16 10 8 15 21

kl,

Решение. В каждой строке игрок A ищет минимальный элемент, потом

максимальное значение в полученном столбце минимальных элементов:







85,15,8,22maxminmax

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]