Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
нормальный, А – в процессе игры пилот получил ход и должен выбирать, куда
ему лететь. Используя введенные обозначения, получим:
BP ,
1
По формуле Байеса
,
21
при 0
байесовского равновесия, ожидания пилота
α (µ
Рассмотрим теперь выбор каждого из типов террориста. Если террорист
сумасшедший, то его ожидаемый выигрыш от задуманной акции при стратегии
пилота, заданной вероятностью
Он сравнивает этот выигрыш с 0. Таким образом,
или 0
1
, µ2) = [0,1].
1
BP ,
2
1
1
1
2
21
. Если 0
1
µ
, равен
3
ABP /
1
,
или 0
α могут быть любыми:
/
BAP ,
, то согласно определению
2
1011
.
333
11
/
BAP .
22
если
31
32
33
21 .Он также сравнивает этот выигрыш с 0, т.е.
если
если
,
Если террорист нормальный, то его ожидаемый выигрыш от задуманной
акции равен
Набор вероятностей
равновесие, сели выполнены четыре условия:
если
3
если
,1,1
3
3
3
.1,1,0
3
,2/1,1
3
,2/1,1,0
.2/1,1
,,,
321
*
,,
задает совершенное байесовское
21
, .
311
322
121
Разберем несколько случаев для решения этой системы.
/2
µ
= 1);
2
= 0);
2
1) нормальный террорист не проводит операцию (
2) нормальный террорист проводит операцию (
µ
3) у нормального террориста невырожденная смешанная стратегия
1,0
(
2
).
1). Рассмотрим случай
2
. Пусть
0
. Тогда пилот будет знать, что
0
1
он может иметь дело только с сумасшедшим террористом (α = 1).
Следовательно, пилот выберет Кубу (
).
0
2
Но в этом случае нормальному террористу тоже выгодно проводить
операцию. Получили противоречие. Значит, единственный вариант такой, что
сумасшедший террорист не проводит операцию (0
лишь при условии, что он знает, что пилот полетит в Нью-Йорк (1
). Но это возможно
1
). Но мы
3
знаем, что пилот полетит в Нью-Йорк, если вероятность того, что он имеет дело
с сумасшедшим террористом мала ( 101
).
Таким образом, мы нашли одно из равновесий (точнее, множество
равновесий определенного типа):
13
*
101/2,0
01
0
2
Уверенность пилота в том, что вероятность встречи с сумасшедшим
террористом мала, ни на чем не основана, так как в рассматриваемом
равновесии пилот не может сформировать свои ожидания на основе правила
Байеса.
2). Рассмотрим случай 1
. Эта стратегия нормального террориста
2
возможна, если пилот с достаточно большой вероятностью полетит на Кубу, т.
1
е., если
проводить операцию (
. При таком условии сумасшедшему террористу выгодно
3
2
11
).
122
Если же оба террориста проводят операцию, то для пилота вероятность
/
встретить сумасшедшего совпадает с вероятностью, с которой такие
террористы встречаются вообще, т. е.
Если
, то пилот может выбрать
1012
Таким образом, равновесие может достигаться только при
1012
, получим 0
. Следовательно, если сумасшедшие террористы
3
встречаются в мире достаточно часто, т.е.
иметь место следующее равновесие:
*
2
12
Когда 1012
03
11
1
, получаем следующее множество равновесий:
1
1
.
.
3
1012
1
2
1012
. При
, то в данной игре может
2/1,03
*
101
2
3). Теперь рассмотрим случай, когда нормальный террорист использует
невырожденную смешанную стратегию
2
.
1,0
Он может использовать такую стратегию если только оба варианта дают
ему одинаковую выгоду, то есть что пилот летит в Нью-Йорк с вероятностью
1012
1/2. Такая стратегия пилота может поддерживаться ожиданиями
Учитывая, что сумасшедшему террористу выгодно участвовать в акции 1
.
,
1
из формулы Байеса получим следующее:
2
.
)1(101
2
Значит, пилот может сформировать такие ожидания только тогда, когда:
99
2
.
)1(2
123
Поскольку вероятность
должна быть меньше единицы, то
2
вероятность, с которой природа порождает сумасшедших террористов, должна
1012
быть достаточно мала:
.
Следующая точка является равновесием:
2
*
101
99
)1(2
1
3
2
11
2
Мы нашли все возможные равновесия игры.
ЗАДАЧИ
1. Найдите совершенные байесовские равновесия в игре, изображенной на
рисунке:
2. «Карточный блеф».
В начале игры игроки (А и В) вносят 1 д. е. После этого с равной
вероятностью игрок А получит одну из двух возможных карт, «старшую» или
«младшую». Далее игрок А может повысить ставку, добавив 2 д. е. Если он
этого не сделает, то игра заканчивается и деньги забирает игрок В. Если А
повышает, то ход делает игрок В. Он либо уравнивает, добавляя 2 д.е., либо
пасует. В первом случае ка
рта открывается и деньги забирает игрок А, если
карта старшая, и игрок В, если карта младшая. Во втором случае деньги
забирает игрок А.
124
Покажите, что в этой игре нет совершенного байесовского равновесия в
чистых стратегиях. Найдите равновесие в смешанных стратегиях. Как часто
игрок А будет блефовать, т.е. повышать, имея младшую ставку? как часто
игрок В будет уравнивать?
10. КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ И ЯДРО
10.1. КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ
Коалиционная игра - это модель взаимодействия лиц, принимающих
решения, которая фокусируется на поведении групп игроков. Мы называем
каждую группу игроков коалиция, а коалиция всех игроков большая коалиция.
Результат коалиционной игры состоит из разделения набора игроков на группы,
вместе с действием для каждой группы в разделе. С одной стороны, каждая
группа в разделе может состоять из одн
самостоятельно; с другой стороны, раздел может состоять из одной группы,
содержащей всех игроков. Самая общая модель коалиционной игры позволяет
игрокам заботиться о действии, выбранном каждой группой в разделе,
определяющем результат. Мы будем рассматривать только широко изученный
класс игр, в котором каждый игрок заботится только о действии, выбранном
участнико
каждого игрока ранжируют действия всех возможных групп игроков, которые
содержат ее.
м раздела, к которому он принадлежит. В таких играх предпочтения
Определение 10.1. Коалиционная игра задана, если
ого игрока, который действует
есть набор игроков;
для каждой коалиции определен набор действий;
для каждого игрока определены предпочтения в наборе действий
всех коалиций, членом которых он является.
125
Пусть условия неантагонистического конфликта игроков таковы, что
S
SN\
S
S
SN\
SN\
допускается заключение взаимообязывающих соглашений между игроками.
Предположим, что выигрыши игроков измеряются в одной общей единице и
имеется механизм перераспеделения выигрышей между игроками. Тогда
достаточно рассмотреть только выигрыши игроков, которые образуют
n
коалиции. Сила коалиции
которое определяется следующим образом. Игроки коалиции
рассматриваются как объединенный игрок 1, стратегиями которого являются
всевозможные совместные действия игроков коалиции, а выигрыш равен сумме
всех выигрышей игроков коалиции. В худшем случае для этого коллективного
игрока 1 остальные игроки из
коллективного игрока 2, интересы которого диаметрально противоположны
интересам игрока 1. В результате коалиция
гарантировать себе выигрыш
антагонистической игры. Таким образом,
гарантированного выигрыша игроков коалиции
совместно против объединенных игроков коалиции
характеризуется числом
могут также объединиться в некоторого
Sv , равный цене образовавшейся
nNS ,...,2,1
, как игрок 1, может
Sv - математическое ожидание
, которые действуют
. В тех случаях, когда
Sv ,
игроки из
вычисление не требует решения антаг
В дальнейшем будем считать, что значение
коалиции, а
Пример 10.1. Определить выигрыши всех коалиций в игре трех лиц, если
каждый из игроков имеет по две стратегии, а платежи определяются по
правилу:
Если игрок 1 выбирает Если игрок 1 выбирает
стратегию 1 стратегию 2
Игрок 3 Игрок 3
Игрок 2 1 2 Игрок 2 1 2
1 3,0,1 4,2,3 1 4,2,1 1,3,4
2 0,2,5 3,3,1
не могут повлиять на размер выигрыша коалиции S,
Sv
0
v по определению.
онистической игры.
Sv существует для каждой
2 2,3,0 4,2,1
126
A
j
A
A
A
Решение. По определению,
трех игроков , что явля
выигрышем трех игроков, который достигается в ситуации .
выигрыши всех остальных коалиций. По определению, выигрыш коалиции
цена матричной игры, в которой игрок 1 играет против игроков коалиции
Матрица
Здесь и далее стратегия игрока, представляющего коалицию из двух игроков –
это пара
стратегия игрока коалиции с большим номером. Итак,
1
данной игры следующая:
1
2
, где - это стратегия игрока коалиции с меньшим номером, а
ji., i
93,2,1 v
(1,1) (1.2) (2,1) (2,2)
3 4 0 3
4 1 2 4
v , а выигрыш большой коалиции всех
ется максимально возможным суммарным
0
Вычислим
2,1,1
1 -
3,2.
-
8
1
1
Avv .
5
- цена матричной игры, в которой игрок 2 играет
Далее, выигрыш коалиции
против игроков коалиции
1
2
Поэтому
Выигрыш коалиции - цена матричной игры, в которой игрок 3 играет
против игроков коалиции
2
1
2
22
Avv .
3
2
3,1
. Матрица
(1,1) (1.2) (2,1) (2,2)
0 2 2 3
2 3 3 2
. Матрица
2,1
(1,1) (1.2) (2,1) (2,2)
1 5 1 4
3 1 4 1
2
данной игры следующая:
3
данной игры следующая:
Поэтому
Выигрыш коалиции есть цена матричной игры, в которой игроки 1 и
2 играют против игрока 3. Матрица
3
13
Avv .
2,1v
2,1
2,1
данной игры следующая:
127
1 2
A
A
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2.2)
Поэтому
Выигрыш коалиции
3 играют против игрока 2. Матрица
3,1v
2,1
Avv .
1 2
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2.2)
3 6
2 6
6 4
5 6
3162,1
есть цена матричной игры, в которой игроки 1 и
3,1
4 5
7 4
5 2
5 5
3,1
данной игры следующая:
Поэтому
Выигрыш коалиции есть цена матричной игры, в которой игроки 2
и 3 играют против игрока 1. Матрица
Поэтому
В тех случаях, когда у оппонентов каждой коалиции нет возможностей
противодействовать игрокам этой коалиции, вычисление выигрышей всех
3,2v
3,1
53,1
Avv .
3,2
3,2
данной игры следующая:
1 2
(1,1) 1 3
(1,2) 5 7
(2,1) 7 3
(2.2) 4 3
3,2
3193,2
Avv .
коалиций упрощается.
Пример 10.2. Имеется три фирмы. Первая фирма может выпускать
товары в количестве 900 единиц, вторая – товары в количеств
D
1
D
1
е 700
128
единиц, а третья – товары в количестве 1000 единиц. Товары и
v
SNT
T
S
N
S
D
2
D
D
1
2
продаются только комплектами: одна единица товара и одна единица товар
D
. Единица обоих товаров стоит $1. Прогнозируется спрос на 1000
2
комплект
Так как каждая фирма стремится продать как можно большее количество
продукции, налицо конфликтная ситуация со множеством участников
N
S
реализована и поэтому
выпустят соответственно 900 и 700 комплектов, т.е. будет получена прибыль
,1v
,1v
ов. Нужно определить выигрыши всех коалиций.
Решение. Общие возможности фирм превосходят прогнозируемый спрос.
3,2,1
2,1
не мож
18003
2000
3,2
, где игрок - это фирма i . Так ка
ет производить комплекты, то их продукция не может быть
и . А коалиция из всех тре
. Таким образом, выигрыши всех коалиций определяются по
3,2v 1400
i
vvvv . Коалиции и
к ни один из игроков коалиции
02,131 2
D
1
3,1S
х фирм получит доход
а
3,2S
правилу:
Определение 10.2. Кооперативной игрой n лиц называется пара
где функция
N
1).
2). ,
Подмножества мн
Sv
n,...,2,1
и обладает след
S
определена на множестве всех подмножеств множества
0v,
S
S
S
3,1,1800
,
,2,1400
,1,2000
ующими свойствами:
TvSvTSv
ожества
,2
,3
.3,2
,2,1,3,1,,0
v,N ,
N
2
,
называются коалициями. Функция v
(супераддитивность). ,
называется
выигрыш коалиции
игрока
характеристической функцией кооперативной игры, где
i при условии, что тот действует самостоятельно.
, и, по определению,
iviv
, где - выигрыш
iv
Sv -
129
Супераддитивность характеристической функции означает, что члены
N
двух коалиций, объединившись в одну коалицию, получат не меньше того, что
они имели, действуя порознь.
Определение 10.3. Дележом в игре
21
1). ;
2). ,
T
xxxx ,...,,
, который удовлетворяет следующим условиям:
n
Nvx
i
Ni
ivx
i
i . (10.2)
vN, называется вектор
(10.1)
Условие (10.1) – коллективной рациональности – требует, чтобы вся полезность
была распределена.
Условие (10.2) – индивидуальной рациональности – означает, что в любой
коалиции каждый игрок должен получать не меньше того, что он может
получить, действуя самостоятельно.
Определение 10.4. Кооперативная игра
vN, называется
существенной, если
В несущественной игре имеется всего один дележ
В игре из примера 10.2 дележами будут векторы , которые
Ni
.
Nviv
,,
T
nvvvx ,...,2,1 .
T
xxxx
321
удовлетворяют условиям:
xxx , , 0
2000
321
x .3,2,1
i
i
10.2. ЯДРО
Каких действий мы можем ожидать от большой коалиции? Скорее мы
ищем действия каждой коалиции с возможностями, которые она предоставляет,
чем действия отдельных игроков. Определим действие большой коалиции как
«стабильное», если никакая коалиция не сможет оторваться и выбрать
действие, которое предпочитают все ее участники.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]