Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
Название Формула Комментарий
критерий Байеса
относительно
выигрышей
критерий Байеса
относительно рисков
критерий Лапласа
относительно
выигрышей
критерий Лапласа
относительно рисков
критерий Гермейера
n
r
L
r
L
max
max
i
j
n
min ,
i
j
1
i
n
1
min
i
n
j
i
Таблица 5.2.
,
aqB
ijj
1
rqB
ijj
n
j
a
ij
1
1
q - вероятности
j
состояний природы
rR - матрица рисков
ij
основан на гипотезе,
согласно которой все
состояния среды
реализуются с
одинаковыми
вероятностями
n
j
r
ij
1
qaG minmax
jij
Пример 5.1.
типов ( , , ). Их реали
1А2А3
него. Спрос имеет три состояния – , ,
Магазин может завести в различных пропорциях товары трех
А
зация и прибыль зависит от вида товара и спроса на
П2П3П
1
доходности имеет следующий вид:
Спрос Тип товара
П
2
А
1
А
2
А
3
П
1
20 15 10
16 12 14
13 18 15
и не прогнозируется. Матрица
П
3
Необходимо найти все оптимальные стратегии.
Решение. Найдем все оптимальные стратегии.
Критерий Вальда:
Критерий оптимизма:
i
aW
ij
j
i
aМ - .
ij
ji
i
- стратегия .
1313,12,10maxminmax
2018,16,20maxmaxmax
А
1
А
3
51
Критерий пессимизма:
aP
ij
ji
i
1013,12,10minminmin
- .
А
1
Для применения критерия Сэви
воспользовавшись формулой
, для второго , для тре
20
b 18
1
А
1
А
2
А
3
b 15
2
П
1
0 3 5
4 6 1
7 0 0
i
rS . Оптимальной является стратегия .
ij
j
Критерий Гурвица (5,0
i
).
тьего
55,6,7minmaxmin
джа построим матрицу рисков,
abr
,
ijiij
j
b
3
ab max
. Для первого столбца
ij
j
. Получим:
Спрос Тип товара
П
2
П
3
А
1
1
2
3
Н ;
Н ;
Н
1510)5,01(205,0
1412)5,01(165,0
.
5,1513)5,01(185,0
5,155,15;14;15max Н . Оптимальной является стратегия .
А
3
Найдем оптимальную стратегию по критерию Байеса относительно
выигрышей при вероятностях состоян
ий природы: 2,0
q , , 3,02q 5,0
1
q .
3
Вычислим средние выигрыши:
Спрос Тип товара
П
2
П
3
А
1
А
2
П
1
20 15 10
16 12 14
А
3
q
13 18 15
0,2 0,3 0,5
;
1
B
5,135,0103,0152,020
52
2
B ;
8,135,0143,0122,016
3
B .
Найдем оптимальную стратегию по критерию Байеса относительно
рисков. Воспользуемся таблицей:
П
1
А
1
А
2
А
3
q
r
B
1
r
B ;
2
0 3 5
4 6 1
7 0 0
0,2 0,3 0,5
5,155,0153,0182,013
5,155,15;8,13;5,13max B . Оптимальной является стратегия .
А
3
Спрос Тип товара
П
2
;
4,35,053,032,00
П
3
1,35,013,062,04
r
B . Оптимальной является стратегия . 3А
3
Найдем оп
1
тимальную стратегию по критерию Лапласа:
Для применения критерия Гермейера построим матр
элементами :
А
1
А
2
А
3
qa
jij
4,15,003,002,07
153/)101520(
L ; 143/)141216(
L ; 33,153/)151813(
2
L .
3
33,1533,15;14;15max L . Оптимальной является стратегия .
Спрос Тип товара
П
1
П
2
4 4,5 5
3,2 3,6 7
2,6 5,4 7,5
П
3
А
3
ицу Гермейера с
q
0,2 0,3 0,5
Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по
формуле
i
qaG min .
j
jij
53
Получим
G
G ;
1
45;5,4;4min
Применяем критерий: 6,2)6,2;2,3;4max(
стратегия .
А
3
м образом, получим следующую таблицу:
Таки
G ;
2
G .
3
2,37;6,3;2,3min
6,25,7;4,5;6,2min
Критерий Оптимальная
стратегия
Вальда
оптимизма
пессимизма
Сэвиджа
А
3
А
1
А
1
А
1
. – оптимальная
Гурвица
Байеса
Лапласа
Гермейера
А
3
А
3
А
3
А
3
Таким образом, большинство критериев указывают на то, что
оптимальной является стратегия .
А
3
Пример 5.2. Сбыт швейного предприятия зависит от состояния погоды.
Предприятие реализует 1000 костюмов и 2300 платьев, если теплая погода, и
1400 костюмов и 700 платьев в условиях прохладной погоды. На изготовление
одного костюма нужно 20 рублей, а платья – 5 рублей. Цена реализации равна
соответственно 40 и 12 рублей. Определить оптимальную стратегию
предприятия.
Решение. Составим математическую модель задачи. Фирма располагает
двумя стратегиями в связи с возможными состояниями спроса:
F
1
2300;1000
, .
F
2
700;1400
54
Природа (рынок) также располагает двумя стратегиями:
- погода теплая, - погода прохладная.
D
1
D
2
Если фирма примет стратегию и погода будет теплой, то выпущенная
продукци
11
я будет полностью реализована и прибыль составит
Если фирма примет стратегию и погода будет прохладной, то
выпущена продукци
12
Если фирма примет стратегию и погода будет теплой, то выпущен
a .
я будет реализована частично и прибыль составит:
a .
F
1
36100512230020401000
F
1
169005700230051270020401000
F
2
продукция будет реализована частично и прибыль составит:
21
Если фирма примет стратегию и погода будет прохладн
a .
F
2
16900201000140051270020401000
составит:
22
a .
3290051270020401400
а
ой, то прибыль
Таким образом, получаем платежную матрицу игры:
1690036100
3290016900
.
Решения в чистых стратегиях нет. Воспользуемся формулами (2.2) для
нахождения решения в смешанных стратегиях.
p
1
1690032900
16900169003290036100
5
;
11
p ;
2
6
11
281900
v .
11
Оптимальная стратегия фирмы
5
2211
11
2300;1000
6
11
FpFpp
1427;1218700;1400
.
Таким образом, фирме оптимально производить 1218 платьев и 1427
костюмов.
Пример 5.3. На некотором предприятии потребление сырья S в
зависимости от его качества составляет 5, 8 или 10 ед. Если сырья
недостаточно для выпуска запланированного объема продукции, то его запас
55
можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 4 ед. в
расчете на одну единицу сырья. Если объем сырья превысит потребности, то
дополнительные расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ед. в
расчете на одну единицу. Плановый отдел располагает некоторой
дополнительной информацией, которая снижает неопределенность возникшей
ситуации:
1) вероятности потребности в сырье в количествах 5, 8 и 10 ед. равны
соответственно 0,25; 0,35; 0,
4;
2) потребность в сырье равновероятна;
3) о вероятностях потребности в сырье ничего определенного сказать
нельзя.
Плановый отдел предприятия может принять одно из следующих
решений: создать запас сырья в 5 ед. (стратегия ); в 8 ед. (стратегия ); в 10
ед. (страт
егия ).
А
3
А
1
А
2
Придайте данной ситуации игровую схему, укажите допустимые
стратегии, сост
авьте платежную матрицу.
Решение. Совокупность объективных внешних условий считаем другой
играющей стороной – природой. Если для выпуска запланированного объема
продукции количества сырья
S окажется достаточно в размере 5 ед., это будет
означать состояние природы ; если в размере 8 ед. – состоя
10 ед. – состояние . Итак, описанная ситуация представляет собой игру с
П
3
природой. Найдем элементы плат
соответствующий ситуац
П
1
ежной матрицы. Элемент ,
ии ( , ) вычисляется следующим образом.
П
1А1
ние ; в размере
П
2
a
11
Плановый отдел принимает решение создать запас сырья в 5 ед., это
соответствует их расходованию в 5 ед., значит,
элемента . Запас сырья создан в 5 ед., а для выпуска запланированного
а
12
объема продукции требуется 8 ед. Мы его по
размере
элемента для ситуации ( , ). Запас сыр
5
84 12
ден. ед., значит, 12
а
21
П
2А1
а . Поясним также вычисление
12
а
11
полняем, что потребует затрат в
ья создан в 8 ед., а для выпуска
. Покажем вычисление
0
56
запланированного объема продукции требуется 5 ед. Поскольку запас сырья
превышает потребности, дополнительные затраты на содержание и хранение
остатка составят ден. ед., т.е.
9583 9
а . Другие элементы матрицы
21
получаются аналогично. Получим матрицу:
А
1
А
2
А
3
П
1
0 -12 -20
9 0 -6
15 6 0
П
2
П
3
Найдем оптимальные стратегии. Для удобства составим таблицу:
Критерий Формула Оптимальная
стратегия
Вальда
оптимизма
i
aW
ij
j
ji
i
aМ
ij
i
66,6,20maxminmax
1515,9,0maxmaxmax
А
А
3
3
пессимизма
Байеса
Лапласа
aP
ij
ji
i
B
L
206,6,20minminmin
85,585,5;15,0;2,12max
77;1;7,10max
А
1
А
3
А
3
Для определения оптимальной стратегии по критерию Байеса
относительно выигрышей при вероятностях состояний природы: 25,0
q 4,03q
2
1
2
3
, воспользовались дополнительными формулами: 35,0
B ;
B ;
B
2,124,02035,01225,00
15,04,0635,0025,09
.
85,54,0035,0625,015
q ,
1
Из последней таблицы следует, что оптимальной стратегией для данного
предприятия является стратегия : создать за
А
3
пас сырья в 10 единиц.
57
ЗАДАЧИ
1. Найдите оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа,
Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице
эффективностей:
Среда
варианты
A1 10 8 4 11
A2 9 9 5 10
A3 8 10 3 14
A4 7 7 8 12
2. Найдите оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа,
B1 B2 B3 B4
Вальда, Гурвица с показателями 0,4 и 0,7 и Сэвиджа по заданной таблице
эффективностей:
Среда
варианты
A1 9 8 7 10
A2 8 9 6 9
A3 10 11 5 13
A4 8 8 9 14
B1 B2 B3 B4
3. Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую
продукцию:
А1 – сразу после уборки;
А2 – в зимние месяцы;
А3 – в весенние месяцы.
Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на
хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных
состояний - соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего
периода реализации, представлен в виде матрицы (млн. руб.)
A1 2 -3 7
S1 S2 S3
58
A2 -1 5 4
A3 -7 13 -3
S1 S2 S3
Определить наиболее выгодную стратегию по всем критериям (критерий
Байеса, критерий Лапласа, максиминный критерий Вальда, критерий
пессимизма-оптимизма, кр
итерий минимаксного риска Сэвиджа, критерий
Гурвица), если вероятности состояний спроса: 0,2; 0,5; 0,3; коэффициент
пессимизма 4,0
.
3. Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт
зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие
реализует 1000 костюмов и 2300 платьев, а при прохладной погоде – 1400
костюмов и 700 платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны 20, а
платья – 5 рублям, цена реализации соответственно равна 40 рублей и
12 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.
4. Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт
зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие
реализует 1200 костюмов и 2500 платьев, а при прохладной погоде – 1500
костюмов и 800 платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны 25, а
платья – 5 рублям, цена реализации соответственно равна 50 рублей и
15 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.
5. За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья
в зависимости от его качества составляет , , , . Если для выпуска
запланированного объема основной продукци
b2b3b4b
1
и сырья окажется недостаточно,
его запасы можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме
в расчет
c
1
дополнительные затраты на хранение остатка составят в расч
е на единицу сырья. Если же запасы сырья превысят потребности, то
c
2
ете на единицу
сырья.
59
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии,
составить платежную матрицу;
2) дать рекомендации об оптимальном уровне запаса сырья, при котором
затраты на приобретение и хранение сырья будут минимальными при
следующих предположениях:
а) вероятности , , ,
b
известны,
4
1q2q3q4
б) потребление сырья в количестве , , , представля
потребности в сырье в количестве , , ,
q
b
b
1
b
2
b
3
4
равновероятным,
в) о вероятностях потребления сырья ничего достоверного сказат
ь нельзя.
Указание. Использовать критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа,
Гурвица (значение параметра
в критерии Гурвица задается).
Значения параметров приведены в таблице:
Параметры
q
1
q 3q
2
q 1b
4
b 3b 4b 1c
2
вариант
1
0,25 0,3 0,25 0,2 12 14 16 18 5 7 0,6
1b2b3
c
2
b
ется
2
3
4
5
0,1 0,24 0,4 0,26 13 12 14 15 4 6 0,3
0,3 0,2 0,4 0,1 11 13 14 16 3 2 0,4
0,25 0,15 0,3 0,3 10 9 11 12 6 8 0,8
0,2 0,2 0,3 0,3 9 8 10 11 5 6 0,7
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]