Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Свойства вероятности:























1. Вероятность достоверного события равна 1:

2. Вероятность невозможного события равна 0:

3. Вероятность случайного события есть положительное число, и его



значения лежат между 0 и 1:



В 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема (сложения несовместных событий). Вероятность суммы двух

несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

AP 1





AP





BPAPBAP 

АP

ABPBPAPBAP





1 . P

0

Доказательство. Так как события A и B - несовместные, то

следовательно, из свойства 5 вероятности получаем утверждение теоремы.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких несовместных

событий равна сумме вероятностей этих событий:



Дадим определение «условной вероятности».

Условная вероятность вычисляется в предположении (при условии), что

другое событие уже произошло:



BAP

Формулируется это равенство следующим образом: вероятность события А при

/

ABP



 ......

2121



APAPAPAAAP



ABP ,

условии, что произошло событие В, равна отношению совместной вероятности событий А и В к вероятности условия.

Теорема (умножения вероятностей для совместных событий).

Вероятность появления двух совместных событий равна произведению

151

вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при

























условии, что первое событие уже наступило:

  

НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

События A и B называются независимыми, если

Приведем некоторые свойства независимых событий.

1). Если , то независимость

2). Если независимы A и B, то независимы A и B.

Действительно,

3). Пусть события A и независимы, и также независимы

BB . Тогда независимы события



0BP





APBAP /.



BPBAPABP  /.

и B эквивалента равенству



 1.





BPAPABP  .



и , при этом



BPAPAPBPABPBPABBPBAP 

Несколько событий называются два из них независимы.

События , , … назы



ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в

совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого из них известны и равны ,

хотя бы одно из этих событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий ,

независимых в совокупности, равна

1A2



р .,...,1 ni

ваются независимыми в совокупности, если

2121

попарно независимыми, если каждые



АРАPAPААAP .....

Найти вероятность того, что наступит

AAA ,...,



где .

pq 1

 ,

qqqAP ....1

152

В 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА















Пусть событиеА может наступить при появлении одного из несовместных

событий , образующих полную групп

вероятности этих событий

Требуется найти вероятность события

Теорема. Вероятность события

появления одного из несовместных событий , образующих полную

групп

у событий, вычисляется по формуле (

    

HH ,

H,...,



HP , и условные вероятности ,

, которое может наступить при условии

формуле полной вероятности):



2211

у. Пусть известны



HAP /

HHH ,...,,





HAPHPHAPHPHAPHPAP /...//



ni ,...,1

Допустим, что уже произведено испытание, в результате которого наступило событие гипотезы. Тогда вероятности гипотез могут быть пересчитаны по

Байеса



HAP



. В связи с этим изменилась вероятность каждой

формуле







HAPHP



, ni ,...,1

Эта формула была выведена и опубликована английским математиком Байесом в 1764 году. С помощью этой формулы вычисляется условная вероятность, то есть вероятность того, что справедлива гипотеза, если мы знаем, что событие состоялось.

В 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Случайной

называют величину, которая в результате испытания может принять только одно из своих возможных значений, причем заранее, до испытания, неизвестно, какое именно.

Приведем еще несколько примеров случайных величин.

1. Число попаданий при трех выстрелах. Такая случайная величина может

принимать значения: 0, 1, 2, 3.

153

2. Число дефектных деталей в партии из штук. Возможные значения









этой случайной величины: 0, 1, 2, .., .

3. Рассто

яние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия.

Возможные значения этой случайной величины принадлежат некоторому



промежутку

ba;.

Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами конца латинского алфавита – соответствующими малыми буквами –

Если, например, случайная величина их будем обозначать , , .

X, Y, Z, .., а их возможные значения обозначаются

x, y, z, …

X имеет три возможных значения, то

1x2

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретной называют случайную величину, которая принимает

отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины либо конечное, либо бесконечное счетное множество (множество, элементы которого можно пронумеровать). Приведем примеры дискретной случайной величины.

1. Число появления события в независимых испытаниях. Такая случайная величин

а может принимать 1

A n

n значение: 0, 1, 2, .., n .

2. Число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток. Случайная величина в данном примере может принимать значения: 0, 1, 2, …

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Для задания дискретной случайной величины возможные ее значения , , .., и указ

1x2

ать их вероятности:

нужно перечислить все



pxXP 





, ..,

pxXP



pxXP

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события

154

xX  , , .., образуют полную группу; следовательно, сумма

xX 

вероятностей этих событий равна единице:

1..







pppp .

Законом распределения дискретной случайной величины называется

соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит ее возможные значения, а вторая – соответствующие им вероятности:

x2x

p2p

…

Располагать возможные значения случайной величины принято в порядке возрастания. Такая таблица носит название ряда расп

ределения случайной

величины.

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Непрерывной

случайной величиной

называется такая величина,

возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси (конечный или бесконечный). Приведем примеры непрерывных случайных величин.

Случайное отклонение точки попадания снаряда от цели.

Ошибка при измерении.

Время безотказной работы прибора.

Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно, для нее невозможно написать закон распределения в такой же форме, как для дискретной случайной величины. Поэтому целесообразно дать

155

общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью вводят









функцию распределения.

Пусть

Функцией распределения случайной величины



, определяющую дл

величина

  

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность

того, что случ числовой оси точкой, лежащей левее точки распределения следует, что она существует для всех случайных величин: как для дискретных, так и для непрерывных.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

- действительное число.

я каждого значения

примет значение, меньше x:

 .

айная величина

xXPxF

примет значение, которое изображается на

называют функцию

вероятность того, что случайная



. Из определения функции



1;0:

xx 

аx 

Свойство 1

Свойство 2. - неубывающая функция, т.е.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение,

заключенное в интервале , ра

Это важное следствие вытекает из формулы (1), если положить ,

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина

примет одно определенное значение, равна нулю, т.е.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат

интервалу , то

. Значение функции распределения принадлежат отрезку



10  xF .







ba;

 .





ba;



вна

aFbFbXaP 



xFxF 

, если .



 xXP .



1) при



2) при

0xF

1xF b

ax

 .

;

156

В 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, которая принимает возможные значения , , .., с вероятностями , , .., . Тогда

математическое ожидание случайной величины



, определяется равенством



Математическим ожиданием дискретной случайной величины

x2x

... .

2211

, которое мы обозначим







pxpxpxpxXM

iinn

называется

сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Происхождение термина “математическое ожидание” связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVII), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или иными словами – математическое ожидание выигрыша.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Свойство 1.

постоянной .

Математическое ожидание постоянной величины равно самой



CCM 

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического

ожидания: .

 



XMCCXM 

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно

сумме математических ожидание слагаемых:





YMXMYXM  .

157

Свойство 4. Математическое ожидание произведения двух независимых







случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим непрерывную случайную величину

значения которой принадлежат отрезку

Математическим ожиданием

, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют

определенный интеграл .

Если возможные значени принадлежат всей числовой оси интегралом



 

 dxxxfXM .







YMXMXYM 

 



, все возможные



ba;.



непрерывной случайной величины



b;a



xxfXM



я непрерывной случайной величины

Ох, то математическое ожидание определяется

В 6. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

АВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Равномерным

случайной величины

a, b), характеризующееся тем, что плотность распределения имеет постоянное

(

значение на этом интервале:

Найдем значение постоянной случайной величины принадлежат интервалу ( равенство:

называют распределение вероятностей непрерывной

Х, принимающей значения, принадлежащие интервалу



Сxf

С. Так как все возможные значения

a, b), то должно выполняться

158

b b





1

dxxf

, значит, отсюда

Сdx



Таким образом, определение равномерного распределения можно переписать в следующем виде.

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной

1







случайной величины

Х, если на интервале (a, b), которому принадлежат все

возможные значения случайной величины, плотность распределения имеет постоянное значение:



,,0

 









 



bxa



.,0

График плотности распределения представлен на рисунке:

f ( х )

ab 

Функция распределения может быть з

аписана так:



,,0

 











 



bxa



.,1

159

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА













Среди распределений непрерывных случайных величин Х центральное место занимает нормальный закон (закон Гаусса).

Нормальным распределением



;aN с параметрами и

называют

распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью распределения:









Достаточно задать параметры и





exf



, чтобы задать нормальное распределение.

Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание,

– среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Нормальный закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина X является результатом действия большого числа различных факторов. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от стандартных; ошибка при измерении и др.

Заметим, что нормальное распределение



1;0N назы р рованным

вают но ми

или стандартным, а сама плотность становится уже известной функцией Лапласа.

Основные свойств

1. Вероятность того, что нормально распределенная

величина Х примет значение, принадлежащее интервалу

а нормального распределения:



;aN

случайная



;, находится с

помощью формулы









 





 

где







 











 





dzex



- функция Лапласа.





160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]