Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
* дерево содержит одну единственную начальную вершину (“корень”
дерева), в которую не входит ни одна ветвь;
*
дерево имеет не менее одной вершины, из которой не выходит ни одна
ветвь. Такие вершины называются конечными;
*
из корня дерева есть один единственный путь к каждой из остальных
вершин.
Любая вершина это определенное состояние игры перед следующим
ходом. Каждую вершину занимает только один игрок, и ей присваивают номер
игрока, делающего выбор. Если вершина соответствует случайному ходу, ее
обозначают - 0. У таких ветвей записывают вероятности случайного хода.
Выбор, который делает игрок при данном ходе, изображают ве
твями,
выходящими из вершины. Исходы игры указывают возле конечных вершин
дерева –выигрыша игроков (а в антагонистических играх – выигрыш только
первого игрока). Партия начинается с нижней вершины. Каждый ход это
перемещение из одной вершины на какую-нибудь из примыкающих верхних
вершин. Число ветвей у вершины это число вари
заканчивается при достижении одной из конечных вершин. Величина
называется длиной дерева. Число различных партий игры это количество
конечных вершин у дерева, и оно зависит от выбора игроков. Исход игры
однозначно определен, если в игре нет случайных ходов, и каждый из игроков
выбрал свою стратегию. Для игры со случайными ходами ее результат является
случайной величиной, и в этом случае случайные выигрыш
и заменяют их
математическими ожиданиями. Поскольку совокупность всех решений,
которые должен принять игрок, можно трактовать как выбор стратегии, то и
множество случайных ходов может быть заменено одним случайным
испытанием. Если игра получена путем усреднения случайных исходов, то она
характеризует средние исходы большого числа партий и не является полностью
эквивалентной исходной.
Пример 7.3. Полная масть карт (13 карт) сдается каждому из двух
игроков. Третья масть тасуется, и затем карты этой масти открываются одна за
81
другой. Когда карта открыта, каждый игрок по своему желанию открывают
одновременно любую одну из своих карт. Игрок, открывший старшую карту,
выигрывает третью. Никто не выигрывает, если карты оказались одинакового
достоинства. Игра продолжается до тех пор, пока все три масти не будут
исчерпаны. Затем каждый подсчитывает количество очков на картах, которые
он выиграл. Сч
ет ведется по разности выигрышей игроков.
Так как в случае 13 карт каждой масти дерево игры слишком велико,
изобразим его для случая, когда имеется три карты. В этой игре есть один
случайный ход и тасование, упорядочивающее карты одним из шести
возможных способов, каждый из которых имеет вероятность
61 . После этого
ходы соответствуют Игрокам 1 и 2, пока игра не закончится. На рисунке 7.3
изображена часть дерева, которая содержит начальную позицию, несколько
ветвей и четыре окончательных позиции. Остальные ветви подобны.
Рис. 7.3
82
Сформулируем следующее определение.
Определение 7.2. Говорят, что Игрок i имеет полную информацию в
игре Г или, что Г есть игра с полной информацией для Игрока i, если каждое
S
его информационное множество
состоит из одного элемента. Говорят,
i
что Г есть игра с полной информацией, если в Г каждый игрок имеет полную
информацию.
Доступная игрокам информация задается разбиением вершин на
некоторые множества
V
, которые называются классами информации или
i
информационными множествами.
Если достигнута вершина
указывается не точное положение вершины
vV
, то игроку, который должен ходить,
i
v, а только класс информации.
Следовательно, несколько вершин могут входить в классы информации. В
играх с неполной информацией содержится хотя бы один класс информации с
числом вершин не менее двух. Когда рисуют дерево игры, классы информации
обводят замкнутой линией. Игрок всегда знает, какому классу информации
соответствует состояние игры в данный момент, но не знает конкретной
вершины этого класса.
Перечислим условия, которым должны удов
летворять классы
информации (информационные множества):
1.
Содержать вершины только одного игрока.
2.
Любая вершина может принадлежать только одному классу
информации.
3.
Вершины класса информации соответствуют только одному ходу.
4.
Из всех вершин, составляющих класс информации, может выходить
только одинаковое количество ветвей.
Пример 7.4. Первый игрок выбирает одно из двух направлений (“налево”
или “направо”). Если он делает ход “налево”, то получает три балла, а
“направо” – четыре. Затем бросается жребий (монета) и получаем два варианта:
1.
Второму игроку сообщается предыдущий выбор первого, если выпадает
герб.
83
2. Второй игрок знает только то, что он находится в классе информации V
1
но не знает, в какой из двух вершин этого класса он находится, если выпадает
решка. В этом случае второй игрок выбирает одно из двух направлений
(“налево” или “направо”). Если он выбирает “налево”, то получает пять балла,
а “направо” – два. Четвертый ход является опять случайным и состоит в том,
,
чтобы выбрать одно из на
правлений с равными вероятностями: “налево”,
“направо”, которые оцениваются тремя и двумя баллами соответственно. Так
как вероятности выбора направления при случайном ходе одинаковы (равны
1
), то они на графическом изображении дерева игры не указываются.
2
Выбранные в первом, третьем и четвертом ходах числа складывают, и,
если сумма четная, то она уплачивается вторым игроком первому, в противном
случае первый игрок платит второму. Дерево игры изображено на рисунке 7.4.
-11
3
+10
2
0
5
2
Г (Герб)
1/2
-112+10
-7
8
3
0
2
3
2
0
5
Р (Решка)
0
8
3
2
2
1/2
+122-11
-7
3
2
0
0
5
V
1
-9
3
0
2
2
Р (Решка)
1/2
+122-11
8
3
2
0
5
Г (Герб)
0
1/2
-9
8
2
3
0
2
2
3
1
Рис. 7.4
Таким образом, в данном примере случайное испытание
следующие исходы:
Н=|(Г,3),(Г,2),(Р,3),(Р,2)|, с вероятностями
значит выпал “герб”,
Р – “решки”, а цифры 2, 3 соответствуют случайному
выбору на четвертом ходу.
В рассматриваемом примере пространства и всех возможн
стратегий Игроков 1 и 2 следующие:
S =|(3), (4)|;
1
4
Н может иметь
1
1
1
1
;
P
S
1
;
4
4
S
2
, где Г –
;
;
4
4
ых
84
S =|(3,Г,5),(3,Г,2),(3,Р,5),(3,Р,2),(4,Г,5),(4,Г,2),(4,Р,5),(4,Р,2)|.
2
Первое число каждой стратегии в пространстве соответствует вы
S
2
бору
первого игрока, второе число – выпадению герба или решки (“Г” – выпал
“герб”; “Р” – выпала “решка”). Третья – выбору второго игрока пятерки или
двойки.
е описание позиционной игры (в виде дерева) позволяет глубже
Тако
проанализировать ход игры. Однако оптимальное поведение игроков легче
определить для игры, заданной в нормальной форме (для двух игроков – в
матрично
й), особенно, если игра содержит информационные множества и
случайные ходы.
7.2. РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Определение 7.3. Поведенческой стратегией первого игрока называется
набор вероятностей, приписанный всем его ходам (дугам), при этом, если дуги
выходят из заданной позиции, то сумма вероятностей на них равна 1, а
вероятности на дугах, представляющих собой один ход в некотором
информационном множестве, равны между собой.
Решение позиционной игры с полной информацией легко решается в
соответствии с теоремой Куна:
Теорема 7.1. (Кун, 1953 г.). В любой конечной игре с совершенной
информацией есть равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Идея доказательства этой теоремы весьма проста. Нужно действовать
методом обратной индукции. Следует построить профиль стратегий: для
каждого информационного множества (для каждой вершины) найти действие
игрока на этом множестве. Для начала берем те вершины, такие, что ниже их
игра заканчивается. Находим оптимальное действие игрока на каждой такой
вершине. Далее рассматриваем вершины, которые находятся на уровень выше и
находим оптимальные действия игрока в каждой из них. Так как мы имеем дело
с конечной игрой, то, в конце концов, придем к коне
чной вершине.
Для демонстрации метода обратной индукции рассмотрим описанную
85
выше игру «Выборы с правом вето». Поскольку из всех вершин,
предшествующих конечным, ходит игрок 3, то остальные игроки, зная его
функцию выигрыша
U
, могут легко предвидеть его решения. Это позволяет
3
привести игру, изображенную на рисунке 7.1, к следующей:
3
4
3
2
2
4
3
3
2
2
3
444
4
3
44
33
1
3
3
3
2
2
2
4
3
3
1
2
3
2
3
22
4
2
3
33
3
111
2
111111
3
2
3
3
Рис.7.5
Поскольку в новом дереве игрок 3 уже по существу не принимает
решения, то финальная вершина определяется ходами игрока 2. Игрок 1, зная
функцию выигрышей
U
, может предвидеть поведение игрока 2. В итоге
2
получается игра с одним участником – первым игроком и следующим деревом
игры:
2
4
3
3
2
2
3
3
4
3
4
3
1
1
3
1
3
4
2
2
1
4
3
2
2
3
4
2
3
3
1
2
11
3
3
2
Рис.7.6
Так как для первого игрока желательна победа четвертого претендента,
то он отклонит третьего. Затем второй игрок вынужден будет отклонить
второго претендента, а третий игрок – первого. Выигрыши игроков в данной
86
игре равны 7, 4 и 4 соответственно.
p
p
p
Таким образом, алгоритм решения позиционных игр с полной
информацией, в соответствии с теоремой Куна, состоит в том, что начиная с
последнего хода, отбрасываются последовательно заведомо худшие решения
для игрока, делающего ход. После всех таких редукций получаем решение в
чистых стратегиях.
Пример 7.5. Оксана предлагает подруге Маше пропорции, в которых
можно поделить $100: оставить
Если Маша согласится, то платежи реализуются (
каждый игрок получит выигрыш 0. Дерево игры (рис. 7.7).
p себе, а Маше отдать $
100;0
А). Если не согласится
Рис. 7.7
100 .
p
D , то
Как поступит Маша, если
Маша, скорее всего, согласится. Если же 100
и согласится (ее выигрыш в обоих случаях будет равен нулю). При условии, что
реакция Маши будет такой, Оксана предложит дележ
небольшая величина. Тогда на такой дележ Маша согласится.
Рассмотренная игра является иллюстрацией того, как результат,
полученный методом обратной индукции, не реализуется в реальной игре. Эта
игра часто исследуется в экономических экспериментах, и результаты также
отличаются от полученного равновесия. На это есть причины. Первая причина
в том, что второй игрок отвергает несправедливый (по его мнению) дележ.
Второй причиной являет
ся альтруизм. Хоффман (1996) и др. исследовали «игру
р известно? Понятно, что если 100
, то Маша может и отказаться,
100
, где 0 –
, то
87
диктатора», в которой игрок, обладающий некоторой суммой денег, может
поделиться частью этой суммы с неизвестным ему получателем. При этом
получатель не имеет возможности отказаться или заблокировать дележ. В
эксперименте 46% диктаторов пожертвовали $3 из $10, имеющихся у них, при
условии, что им была неизвестна личность получателя. Однако в этой же
работе было показано, что пожертвования резко сокращаются (до 16%), если
экспери
ментаторам не известны личности «диктаторов».
7.3. НОРМАЛИЗАЦИЯ ПОЗИЦИОННОЙ ИГРЫ
В зависимости от количества игроков и значений их выигрышей,
позиционную игру можно свести к матричной или бескоалиционной, в
частности, биматричной игре, каждые из которых решаются по-своему путем
их нормализации. Отметим, что любая позиционная игра может быть
нормализована.
Нормализацией игры называют процесс сведения позиционной игры к
игре в нормальной форме. Для нормализации игры нужно перечислить все
возможные страт
выигрыш игроков. Рассмотрим процесс нормализации позиционной игры на
конкретном примере. Пусть игра задана деревом (рис. 7.7):
егии игроков и для каждой их совокупности определить
4-2-2
2
1
2
3
Рис. 7.7
Первый игрок делает свой первый ход, выбирая правую или левую ветвь.
Затем ход делает второй игрок, у которого в каждой вершине также имеется два
выбора, после чего игра заканчивается.
88
В данной игре первый игрок (игрок А) имеет две чистых стратегии:
V
S
=/А
1
/, где стратегия А1 – всегда выбирать левую ветвь; стратегия А2 –
1, А2
всегда выбирать правую ветвь. Второй игрок (игрок
S =/В
2
1,В2,В3,В4
где стратегия
выбрал игрок
А.
/,
В
– всегда выбирать левую ветвь;
1
В
– всегда выбирать правую ветвь;
2
В
– выбирать ветвь, которую выбрал игрок А;
3
В
– выбирать ветвь, противоположную той, которую
4
Матрица игры в этом случае имеет вид:
B
j
Ai
B
B
1
B
2
B
3
A1 4 -2 4 -2
В) имеет четыре стратегии:
4
A2 -2 3 3 -2
Рассматриваемая позиционная игра является игрой с полной
информацией. Следовательно, она должна иметь седловую точку, значит и
решение в чистых стратегиях.
Действительно, так как
a
ij
j
i
2minmax
; 2maxmin
a
j
ij
i
, то
.
Поэтому
AA
S
A
21
10
Цена игры 2
| или , а .
S
A
.
AA
21
01
S
B
BBBB
4321
1000
Предположим теперь, что в этом примере второму игроку не сообщают
выбор, который сделал первый. В таком случае, в дереве игры на втором ходе
появляется класс информации
игрока (рис.7.8)
V
, который содержит две вершины второго
1
89
4 -2 -2
3
2
Количество чистых стратегий второго игрока по сравнению с первым
случаем сокращается до двух: =/В
В
где
– всегда выбирать левую ветвь;
1
В
– всегда выбирать правую ветвь.
2
S
2
Нормализуем игру:
B
j
Ai B
A1 4 -2
Рис. 7.8
/,
1,В2
V1
1
B
1
2
2
A2 -2 3
В этом случае
, т.е. седловая точка отсутствует. Решение игры в
смешанных стратегиях имеет вид:
6
6
5
11
;
11
;
BA
5
11
;
11
;
8
VSS
.
11
Уменьшение информации, которая имелась у второго игрока на момент
принятия решения, привело к уменьшению его выигрыша с
Алгоритм нормализации позиционной игры:
1. Перечислить все возможные стратегии каждого из игроков (эта
задача не всегда разрешима, например, в шахматах).
2. Определить исходы игры при всех возможных сочетаниях стратегий
2 до
8
.
11
игроков (этот выбор игроки делают независимо друг от друга и
одновременно).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]