Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

















S - множество стратегий игрока i ,

ni ,..,1

;



 RT - функция выигрышей игрока i , ni ,..,1 ; S



- множество типов игрока i , ni ,..,1





1





- представление игрока i ,

TTp

:



;

i ,..,1

о типах других

игроков.

Определение 8.1. Тип игрока представляет собой информацию,

известную самому игроку, но неизвестную другим игрокам.

Стратегии в статических байесовских играх не совпадают с действиями. В соответствии со сложившейся терминологией, стратегия игрока описывает действия каждого из типов этого игрока. Теперь выбор стратегии игрока зависит от его типа, т.е. игрок типа

выбирает стратегию . Каждый



тип каждого игрока максимизирует ожидаемый выигрыш при некоторых ожиданиях других игроков. Так как игрок знает свой тип, то математическое ожидание должно быть условным по этому типу. Условные вероятности в общем случае вычисляются по формуле Байеса. Отсюда и терминология байесовские игры.

Предст

меру (распределение вероятностей)

авление игрока для любого его типа

на множестве других игроков,

задает вероятностную



где







Предполагается, чт множества действий . Выигрыш в стат

о все типы одного и того же игрока имеют одинаковые

ических байесовских играх зависит не

только от выбранных игроками действий, но и от того, какие именно типы участвуют в игре.

101

Если



































- измеримое подмножество относительно

tp  в , то



tXtp 

- условная вероятность, которую игрок приписывает событию





 i

Если все множеств

функции . В это

Определение 8.2. Представления называются согласующимися, если

iii

при условии, что его собственный тип .

а конечные, то мы можем рассматривать все как





TTp

 iii



1;0: 

,...,,,...,

111

м случае

ttpttttp

iiiniii



на множестве Т можно задать такое распределение вероятностей

условные распределения вероятностей

Байеса, исходя из распределения



ttp



ttp



iii







ttp















ttp

можно определить по правилу

, что вес

Определение 8.3. Байесовской стратегией игрока называется функция i

STs : .

iii

Определение 8.4. Набор байесовских стратегий называется ситуацией.

Ожидаемый выигрыш - того игрока, имеющего тип действия в предположении, что остальные игроки выбрали стратеги



  

,...,s

111 miii



,...,.,..



где







111 niii





ssss

равен





- типы остальных игроков.

.,...,.,.,...,.

ttttt



|,,,.,,





tttttsxMsxt

iiiiiiiii

и выбравшего

Если имеет место независимость типов, то условное по типу математическое ожидание совпадает с безусловным:



 ,,,.,,





tttsxMsxt

iiiiiiii



Если множества типов конечны и типы независимы, то ожидаемый выигрыш рассчитывается по формуле:

102

   



























tttsxtsxt ,,,.,,

iiiiiiiiii







tptp

jjii



T , .

где

TTTT ,...,,,...,

niii 111 









Определение 8.5. (Байесовское равновесие). Набор стратегий

 

1 n

равновесием) в игре с неполной информацией, если для каждого типа

каждого игрока действия

.,...,.

называется равновесием Нэша – Байеса (байесовским



максимизируют его ожидаемую полезность в

предположении, что все другие игроки выбрали равновесные стратегии:

 









.,,max.,,

sxtstst



Пример 8.2. В игре участвуют два игрока, использующие в работе

компьютеры. Каждый игрок может быть двух типов — предпочитает работать либо на IBM PC, либо на Макинтоше, причем любители IBM PC попадаются с вероятностью

(для обоих игроков). Каждый из игроков выбирает либо IBM

PC, либо Макинтош. Лишь после того, как игрок выбрал тип компьютера, он

узнает, с партнером какого типа ему предстоит работать, и какой тот выбрал себе компьютер. Каждый из типов каждого из игроков оценивает пользование компьютером любимой разновидности в 1 у. е., а пользование другим компьютером в 0 у. е. Игроки получают допол

нительный выигрыш в 2 у. е., если выберут компьютеры одной и той же разновидности. Игра представлена в таблице 8.1. Найти условия для параметра

, при которых набор стратегий

«если игрок любит IBM, то оно выбирает IBM»; «если игрок любит Mac, то он

выбирает Mac», т. е. ((IBM, Mac), (IBM, Mac)), будет равновесием Нэша— Байеса.

103

Таблица 8.2







































второй игрок

IBM Mac IBM Mac

IBM 3;3 1;0 3;2 1;1

Mac 0;1 2;2 0;0 2;3

IBM 2;3 0;0 2;2 0;1

Mac 1;1 3;2 1;0 3;3

первый игрок

Решение. Рассмотрим выбор 1-го игрока, если он предпочитает IBM PC.

Если он ожидает, что стратегией 2-го игрока является (IBM, Mac), то его ожидаемая полезность от выбора компьютеров IBM PC и Макинтош равна соответственно

IBM:

Mac:

Первый игрок такого типа выберет IBM PC, если









113

210





 







 





Рассмотрим теперь выбор 1-го игрока, если он предпочитает Макинтош. Поскольку в равновесии он ожидает, что страт Mac), то его ожидаемая полезность от выбора компьютеров IBM PC и Макинтош равна соответственно

IBM:

Mac:

Первый игрок такого типа выберет Макинтош, если выполнено условие





Для второго игрока рассу









012

311



ждения аналогичные и приводят к тем же

210113

, или

егией 2-го игрока является (IBM,



311012

, или







условиям, поскольку игроки одинаковы. Таким образом, условие

104













гарантирует, что набор стратегий ((IBM, Mac), (IBM, Mac)) будет байесовским равновесием.

Пример 8.3 (Аукцион). Рассмотрим аукцион первой цены, в котором

выигрывает покупатель, который назначил более высокую цену. Представим, что есть два покупателя, . Покупатель оценивает некоторый неделимый

товар в единиц, т.е., если он получает товар, заплатив , то его выигрыш

равен . Будем считать, что оценки покупателей распределены незави



и равномерно на отрезке

2,1

i



1;0. Считаем также, что . Покупатели

0

симо

одновременно представляют свои заявки. Назвавший большую цену, платит эту цену и получает товар. Другой – не получает (не платит ничего). Если оба называют одинаковую цену, то бросают монетку. Сформулируем это как байесовскую игру, т.е. определим пространства ходов, пространства типов, представления и функции выигрышей. Дей заявить цену , а тип -

что распределено равномерно на

игрока

i :

. Поскольку оценки независимы, то игрок считает,



1;0 вне зависимости от . Выигрыши

ствия игрока –





bbbv

jiii









,;,



vvbb



2121



 

Определим пространство стратегий. По определению, стратегия игрока



- это функция

готов заплатить игрок , если он оценивает товар в сумму . В равновесии по

Байесу – Нэшу

Формально пара



1;0

яв

b , ставящая в соответствие каждому цену , которую





b - это лучший ответ на стратегию 2-го и наоборот.



 

1 2

ляется решением задачи



,bb - равновесие по Байесу – Нэшу, если для любого



.,0







105





































max .







Мы будем искать равновесие, которое образуется линейными стратегиями:











vbbPbvvbbPbv

jjiiijjiii

 



 ,

vcavb

Предположим, что игрок

данного значения лучший от



так как

распределено, а, значит, и равномерно распределено.

Поскольку для игрока бессмы минимального значения

vbbP , поскольку

jji



11111

vbbPbv

max ,

0

и глупо – выше максимального, то

vcavb

22222

использует стратегию

вет игрока - решение задачи

jjiii

сленно назначать цену ниже

и, следовательно,







vPvcabP





jjjji





















vcavb  . Для

jjjjj

vcabvb

и равномерно

jjjijj

 ,

caba

jjij

Следовательно, лучший ответ игрока



 







 

Если 10

функция не линейна. Так ка





считать, что либо 1, либо 0





ava

jij

, то существуют некоторые , такие, что , но тогда

к мы ищем линейное равновесие, то должны



a . Однако первое неравенство в равновесии

есть

av 

невозможно, т.к. для более высокого типа оптимально назначать по крайней мере столько же, сколько оптимально для более низкого типа. Следовательно, если мы хотим, чтобы была линейной, необходи



vb 







b 



мо, чтобы 0. Значит,

222

Следовательно,

106







a  ,



Аналогично, повторив те же рассуждения для игрока

игрок использует стратегию i

, 0

Таким образом,

a  ,

c .





vb  .



vcavb

, найдем, что

iiiii

, предполагая, что

8.3. КОНЕЧНЫЕ БАЙЕСОВСКИЕ ИГРЫ

Как и обычные бескоалиционные игры, байесовские игры можно задавать как в стратегической, так и в позиционной форме. Но, как заметил Дж. Харшаньи (нобелевский лауреат 1994 г. в области экономики), конечную позиционную байесовскую игру можно представить как обычную позиционную игру с несовершенной информацией, вводя Природу в качестве игрока, который назначает типы игрокам случайным образом в соответствии с распределением вер

оятностей, заданном на множестве всех комбинаций типов

игроков.

Пример 8.4. (вход на рынок). Рассмотрим ситуацию, с которой

сталкивается большая фирма (игрок 1) после того, как начинающий игрок малая фирма (игрок 2) объявила о развертывании новой технологии. Большая фирма имеет исследовательское подразделение, которое работает над многими инновациями. Но только сама большая фирма знает, достигли ли исследователи какого-то прогресса в разработке продукта, аналогичного тому, с которым малая фи на большой фирме и поэтому с вероятностью

рма выходит на рынок. Малая фирма ничего не знает о положении дел

21 полагает, что большая фирма

близка к выходу на рынок с конкурентным продуктом. После объявления малой фирмы большая фирма может уступить (У) рынок данного продукта малой фирме или отказаться (О) это делать (т. е. остаться на рынке). Если большая

107

фирма объявит, что остается на рынке, малая фирма может продать (П)





технологию большой фирме или выйти (В) на рынок со своим продуктом. Доходы (выигрыши) фирм в зависимости от того, готова ли большая фирма выйти на рынок с новым продуктом, следующие:

Большая фирма готова

У О

Решение. Поскольку игрок 2 не имеет секретной информации, то у него

всего один тип . Игрок 1 ск

продукта, поэтому у него два типа:

готов, а Н – не готов. Представления игрока 2 о типах игрока 1 задаются вероятностями:

П В

0;4 0;4

3;1 5;-1



Т



 ГpГp ,



Большая фирма не готова

У О

рывает информацию о готовности своего



НГТ ,

 НpНp . (8.11)

П В

0;4 0;4

3;1 -1;5



, где Г – означает, что продукт

1 2

Следуя идее Дж. Харшаньи, данную байесовскую игру рассматриваем как игру с несовершенной информацией, в которой первый случайный ход делает Природа. Дерево данной игры представлено на рис. 8.1:

Рис. 8.1

108

Стратегическая форма позиционной игры, а также усеченный вариант



стратегической формы, полученной после удаления доминируемых стратегий УУ и УО, - это следующие биматричные игры:

УУ

УО

ОУ

ОО

П В

0;4 0;4

;



;

3;1 2;2

П В

ОУ

;

ОО

3;1 2;2

;

Так как усеченная биматричная игра не имеет равновесия в чистых стратегиях, то будем искать равновесие в смешанных стратегиях. Предположив, что в ситуации равновесия обе недоминируемые стратегии ОУ и ОО игрока 1 активные, найдем его равновесную смешанную стратегию



*****

ОООУУОУУ

хpхpppp  1,,0,0

решая уравнение

)1(



Откуда

x и равновесная стратегия первого игрока

 



Определим эквивалентную поведенческую стратегию для стратегии :



0, DB

По данной поведенческой стратегии мы можем записать равновесную байесовскую стратегию игрока 1:





 



 



Гp



Гp





 



















xxxx  12

,0,0



1,FB



;





*****

ОООУУОУУ





 









, GC



Нp Нp

















 





ppppp

, EC

 



 

109

Аналогично, предположив, что в ситуации равновесия обе стратегии П и











В игрока 2 активные, найдем его равновесную смешанную стратегию

yqyqq  1,



yyyy  123)1(



 

 





1 4

***

qqq

ВП





 





***

ВП



 



 



решая уравнение

3 2

Откуда

Поскольку у игрока 2 один тип и одно информационное множество, то его равновесная байесовская стратегия

q .

y и равновесная стратегия второго игрока

 









 



Вычислим и проинтерпретируем представление игрока 2 в позициях его единственного информационного множества







В начале игры игрок 2 (малая фирма) ничего не знала о положении дел на большой фирме. Поэтому в начале игры представление игрока 2 задавалось вероятностями (8.11). Когда малой фирме нужно принимать решение продавать технологию большой фирме или самой выйти на рынок (это решение соответствует выбору игроком 2 хода П или В в позициях информационного множества )

новая информация позволяет малой фирме уточнить свое первоначальное

представление и теперь она с вероятностью





 







, малая фирма знает, что большая осталась на рынке. Эта

GF,







4121

;







GF,:



 











322 FpГp полагает, что



4121

большая фирма готова к выходу на рынок с конкурентным продуктом, и с

вероятностью

конкурентного продукта.



312 GpHp полагает, что большая фирма не имеет

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]