Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
Пример 6.4. Пусть матрицы выигрышей игроков имеют следующий вид:
63
A ;
52
B
24
35
В этом случае
05234
aaaaС ; 1
22211211
bbbbD ; 2
22211211
Изобразим множество приемлемых ситуаций:
02653
aa
bb
1222
2122
;
.
На рисунке непрерывной линией изображено множество стратегий первого
игрока, пунктирной – второго. Как видим, в этой игре существует решение в
чистых стратегиях – и первый, и второй игрок выбирают свои первые
стратегии.
Пример 6.5. Пусть матрицы выигрышей игроков имеют следующий вид:
A
41
;
23
B
41
23
В этом случае
44312
aaaaС ; 2
22211211
bbbbD
22211211
aa
;
44321
bb
1222
2122
;
.
1
Изобразим множество приемлемых ситуаций:
71
Решение в смешанных стратегиях только одно:
3
1
x ;
4
4
1
1
y .
2
2
Пример 6.6
A
. Пусть матрицы выигрышей игроков имеют следующий вид:
02
B
;
10
01
.
20
Применяя рассмотренный метод, получим множества приемлемых ситуаций и
изобразим их.
Решение в смешанных стратегиях только одно:
2
x ;
3
3
y .
2
1
3
3
1
72
Пример 6.7. “Борьба за рынки”.
С
С
Рассмотрим игру на двух рынках, на которые намерена проникнуть некая
крупная фирма (игрок 2). На оном из них вторая фирма, поменьше, (игрок 1)
намерена сбыть крупную партию товара. Для этого она может предпринять
соответствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию).
Однако, крупная фирма может воспрепятствовать этому, предприняв
предупредительные меры. Если игрок 1 не встречает препятствий на рынке, то
захватывает его; если в
обеих фирм являются их выборы рынков.
Пусть проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него,
чем проникновение на второй, но борьба за первый рынок требует больших
средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вд
больший выигрыш, чем на втором, но зато поражение на первом рынке
полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от
конкурента (выигрыш равен 5).
Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышей
A
Решение. В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) приемлемыми
210
11
стречает – терпит поражение. Чистыми стратегиями
25
;
B
.
11
вое
ситуациями для игрока 1 будут те, которые удовлетворяют условиям
210
В общем случае стратегия первого игрока
Рассмотрим три случая:
а) 1
Так как 0
, . Вычислим
210
11
1
01x
, то, в соответствии с выражением (4.11) имеем
1
1
1
210
111
1321110
;
(6.16)
111
. (6.17)
1x
, 3.
3
.
14
73
б) 1, . В соответствии с выражением (4.11) имеем
10x
3
.
14
10
в)
развернутом виде (3.3) получаем
Приемлемые ситуации для игрока 2 в соответствии с выражениями (6.12),
(6.13) и (3.2) следующие:
а)
б) 0
в) 10
Изобразим множества всех приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2
,
1
, . Вычислим
,
,
1x . В соответствии с выражением (6.11) или в
q
01y
10y ,
1y ,
2
9
aa
1222
D , 2
.
2
.
9
aaaa
21122211
91251
21
3
.
32110
14
,
2
.
9
изображены на рисунке (для игрока 2 соответствующее множество показано
пунктиром):
Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке
которая и оказывается единственной ситуацией равновесия. Эта ситуация
ξ
2/9
1
0
3/14
1
η
3
2
;
14
9
,
равновесия является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Таким
образом, оптимальными стратегиями по Нэшу являются
74
2
х и
;
9
9
y .
11
3
;
14
14
7
При этом цена игры для первого игрока
A
T
ij
2
9
3
)10(
14
yaxXAY
7
1
9
Цена игры для второго игрока:
B
T
ij
7
2
9
3
5
9
14
)1(
ЗАДАЧИ
Найдите ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по
jiji
3
14
ybxXBY
14
.
1
3
71
63
7
2
11
2
9
9
jiji
3
14
2
11
)2(
9
14
11
)1(
14
11
7
1
14
9
Нэшу для следующих биматричных игр:
1. ,
А
А
2.
3. ,
А
А
4.
5. , .
А
А
6.
17
09
11
B
,
00
170
73
55
B
,
00
240
1822
16
B
,
31
B .
01
01
B .
05
05
B
13
61
97
01
.
20
78
.
1630
2218
.
012
7. , .
А
36
B
03
126
75
21
8. , .
А
11
B
31
14
25
9. , .
А
10. Вася и Петя наш
53
B
ли волшебную шкатулочку. Если в нее положить деньги и
75
38
сказать «Ахалай – Махалай», то сумма, лежащая в шкатулочке, увеличивается в
полтора раза. Один недостаток: работает только один раз! Вася и Петя решили
поступить так: каждый положит в шкатулочку сколько хочет, потом они скажут
«Ахалай – Махалай» и поделят всю сумму поровну.
А. Предст
авьте эту игру в нормальной форме. Можно ли ее представить в
матричной форме? Почему?
Б. Найдите равновесие по Нэшу. Является ли это равновесие в строго
доминирующих стратегиях?
11. На футбольный матч пришли фанаты вместе с главарем и просто любители
футбола. Главарю абсолютно все равно, как смотреть футбол: стоя или сидя.
Ост
альные фанаты получают более высокую полезность когда повторяют
действия главаря. Любой просто любитель футбола хочет смотреть футбол
сидя, но если человек перед ним встанет и закроет обзор, то просто любителю
тоже лучше встать, чтобы лучше видеть. Фанаты с главарем заняли весь первый
ряд, на остальных рядах сидят просто любители. Найдите ра
вновесия по Нэшу.
12. Петя и Вася прогуляли экзамен... Они знали, что профессор очень любит
путешествия, и придумали для него историю про то, как они отправились в
автомобильное путешествие по России и очень хотели вернуться в день
экзамена, но по дороге обратно у них сломалось колесо... Профессор согласился
дать им отдельный экзамен. Он посадил их по разным аудиториям и задал один
и тот же вопрос: какое колесо сломало
сь?
А. Представьте эту игру в нормальной форме.
Б. Сколько равновесий по Нэшу существует в данной игре?
76
7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИЕЙ
В данной главе мы столкнемся с такими терминами, как «полная
информация», «совершенная информация», «несовершенная информация» и т.
п. Разберем эти понятия более подробно.
Если в игре каждое информационное множество одноточечно определено,
то мы имеем дело с
будет
ненаблюдаем по крайней мере одним из игроков. В противном случае это будет
игра
называются игры, если:
игрой с несовершенной информацией.
В игре же
с полной информацией.
Определение 7.1
– число игроков больше двух,
– некоторые ходы могут быть случайными,
– каждый игрок может иметь несколько ходов,
– информация о прошедшем может меняться от хода к ходу.
игрой с совершенной информацией. В противном случае это
с неполной информацией первый шаг делает Природа и этот шаг
7.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ
. Позиционными или играми в развернутой форме
Позиционная форма игры описывается следующими элементами: списка
игроков; дерева игры; номера игрока (указывается для каждой вершины),
который должен ходить в этой вершине (для Природы ставим 0); списка ходов,
которые доступны игроку в данной в
ходами и непосредственно следующими вершинами; информационных
множеств; выигрышей игроков в каждой конечной вершине; вероятностного
распределения на множестве ходов в каждой вершине (если ход делает
Природа).
Топологическое дерево или дерево игры – это конечная совокупность
вершин, соединенных линиями (ребрами), причем так, что получается
ершине и заданного соответствия между
77
замкнутая фигура, не содержащая замкнутых простых кривых.
Следовательно, для любых двух вершин
А и В существует единственная
последовательность ребер и вершин, которая их соединяет.
Определение 7.1. Позиционная игра n лиц задана, если дано:
а) топологическое дерево Г с выделенной вершиной А (начальной
позицией игры);
б) функция выигрыша, которая ставит в соответствие каждой
окончательной позиции (т.е. окончательной вершине дерева Г) некоторый n вектор;
в) разбиение множества всех неокончательных позиций дерева Г на n+1
множеств , …, , которые называют множествами очередности;
S,1S
0
г) вероятностное распределение для каждой позиции из на
S
n
S
0
множестве позиций, непосредственно следующих за ней;
д) подразбиение множества для каждого n
, которые называются информационными.
S
i
S i ,..,1
i
на подмножества
При этом позиции из одного и того же информационного множества
имеют одинаковое число не
посредственно следующих за ними позиций, т.е.
альтернатив, и никакая позиция не может следовать за другой позицией из
того же самого информационного множества;
е) для каждого информационного множества
индексов вместе со взаимно – одноз
на множество альтернатив каждой позиции
I
i
I
i
начными отображениями множества
S.
i
S задано множество
i
Стратегия игрока в позиционных играх сводится к тому, как он будет
ходить в каждом из информационных множеств.
Рассмотрим пример.
Пример 7.1.
Предположим, что три игрока (
4G
кандидатов в депутаты. Выбор происходи
Выборы с правом вето.
N = 3) выбирают одного из четырех
т так: начиная с первого
игрока, каждый игрок налагает вето на выбор одного из не отведенных
78
кандидатов. Последний кандидат (в единственном числе) считается избранным.
В зависимости от избранного в депутаты кандидата функции выигрышей
Ui
для каждого из игроков имеют вид:
U
U
U
1
2
3
;7,3,4,5
;4,5,7,6
.4,5,8,3
Игра может быть представлена в виде дерева игры (рис. 7.1), где возле
ветвей стоят номера отводимых кандидатов, а у конечных вершин – номера
победивших. Если победил, скажем, кандидат под номером 4, то выигрыш
первого игрока будет равен 7, а для второго и третьего игроков,
соответственно, 4.
4
4
3
4
3
4
3
2
3
2
4
2
4
3
3
4
3
44 44
33
3
1
1
3
2
4
3
2
1
3
1
3
2
33
3333
2222
3
2
1
32
3
1
111111
3
3
2
444
2
1
3
2
2
1
22
2
3
4
111
3
2
Рис.7.1
Число ходов в позиционной игре не фиксируется. В общем случае это
число зависит от того, в какой последовательности происходит выбор, и
исходов выбора.
Правила игры должны гарантировать, что игра в конце концов
закончится. Кроме того, они определяют,
когда игра должна закончиться, а
также выигрыш каждого из игроков в зависимости от их выборов и исходов в
последовательности ходов.
Определим структуру правил относительно ходов. Для первого хода
79
указывается его вид. В случае личного хода правила перечисляют возможные
варианты и указывают игрока, делающего выбор. Если это случайный ход, то
перечисляются возможные варианты с соответствующими вероятностями их
выбора. Будет ли
правилами, в зависимости от выбора и исходов предыдущих (
случае личного хода перечисляются возможные варианты делающего выбор
игрока, и определяется информация о выборах и исходах при первых (
ходах, которой располагает игрок к моменту своего выбора. Если ход
случайный, то перечисляются возможные варианты и вероятности их выбора.
Пример 7.2. Рассмотрим игру в «орлянку» Игрок 1 выбирает «решку»
или «герб». Игрок 2, не зная выбора первого игрока, также выбирает «решку»
или «герб». Если противники делают одинаковый выбор, то Игрок 2
выигрывает единицу у Игрока 1, в противном случае Игрок 1 выигрывает
единицу у Игрока 2. На дереве игры (рис. 7.2) векторы представляют функцию
выигрыша при окончательных позициях, число при каждой из остальных
-й ход личным или случайным
1, определяется
-1) ходов. В
-1)
позиций означает того игр
позиции. Затененная область охватывает позиции из одного информационного
множества.
ока, которому принадлежит очередь хода в этой
Рис.7.2
Перечислим основные свойства дерева игры:
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]