Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
3. Найти
x
H
x
H
x
1:0
x
y
1,0
,minmax
. Если получим VV
VyxH
, то найдено решение
игры в чистых стратегиях, в противном случае переходим к пункту 4.
4. Решить уравнение
*
,
. Составить пары из полученных
VyxH
решений, для которых выполняются неравенства и
*2
0),(
yxH
y
5. Для каждой пары со
.
21
, xx
ставить уравнение (4.1) и найти
, xx
H 0),(
21
*1
y
yx
.
С
ТРОГО ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ
Определение 4.14.
квадрате с функцией выигрыша ),( y
функция ),(
строго выпукла при любом значении x .
Непрерывная антагонистическая игра на единичном
называется строго выпуклой, если
1;0y
Теорема 4.5. В строго выпуклой игре второй игрок имеет единственную
оптимальную стратегию, которая является чистой.
Пример 4.1. Найдите решение игры на единичном квадрате с функцией
выигрыша .
2),( yxyxyxH
22
Решение. Будем следовать общей схеме решения.
1. Проверим функцию на выпуклость:
yxyxH
y
; 02),(
22),(
yxH
yy
.
Функция строго выпукла.
2. Найдем
y
1,0
x
1:0
VyxH
,maxmin
. Для этого сначала найдем
Вычислим частные производные и приравняем их нулю:
yxyxH
22),(
,22),(
yxyxH
,022
yx
.022
yx
x
y
1:0
.
yxHx,max
Решением полученной системы будет множество точек вида y
. Так
как функция выпукла по переменной у, максимум функции достигается на
41
x
x
одном из концов отрезка . Подставим 1
1;0
в исходную функцию, получим
21),1( yyyH
м образом,
Таки
Найдем минимум полученной функции. Для это
.
2
.
Подставим 0 в исходную функцию, получим .
2
H
(
), yx
,0,
xy
yy
.21
1,2x
),0( yyH
го приравняем
2y
1 yy
22
2
1
Решив по
лученное уравнение, найдем
.
y
2
Соответственно,
,.
2
VxH
4
1
1
Таким образом, нашли цену игры и чистую стратегию второго игрока:
1
*
y .
2
3. Найдем нижнюю цену игры:
1,0
y
yxH
, то
0,min
следующему пункту 4.
4. Составляем уравнение
1
2
1
xx . Отсюда 1 - существенные стратегии первого
4
4
игрока.
При этом
y
,0
H , 01
5. Составим уравнение (4.1):
0V . Следовательно,
,
,0
1
2
01
H .
y
*
21
xx
1
,1
2
VyxH
, т.е.
y
x
1,0
1:0
VV
и нужно перейти к
1
,
xH . Получим:
2
,minmax
1
4
. Так как
VyxH
01
, откуда
.
2
1
42
Приходим к выводу: оптимальная стратегия игрока 1 является
x
x
H
вероятностной смесью его чистых существенных стратегий 0 и 1,
которые он выбирает с вероятностями 1/2.
Пример 4.2. Найти решение игры на единичном квадрате с функцией
2
1
выигрыша
),( xyxyxH
.
4
2
Решение. Будем следовать общей схеме решения.
1. Проверим функцию на выпуклость:
1
2),( yxyxH
y
; 02),( хyxH
4
yy
.
2. Найдем
y
1,0
x
1:0
,maxmin
VyxH
. Для этого сначала найдем
1:0
yxHx,max
Вычислим частные производные и приравняем их нулю:
x
),(
y
2),(
2
1
4
1
yxyxH
4
,2
xyyxH
.
2
2
1
4
1
yx
4
,02
xy
.0
1
Решением полученной системы будет точка
,0 yx . Так как
4
функция выпукла по переменной у, максимум функции достигается на одном из
концов отрезка
1
),1(
yyH .
4
1;0. Подставим 1
2
1
в исходную функцию, получим
.
Подставим 0
Таким образом,
Получаем,
в исходную функцию, получим 0),0( y
,0,0
x
),(
yxH
1,0
y
x
1:0
2
1
4
1,maxmin
yxHV
при
xy
*
.1,1
1
y .
4
.
Таким образом, нашли цену игры и чистую стратегию второго игрока:
43
1
x
x
V
x
H
x
H
x
H
x, V
x
x
*
y .
4
3. Найдем нижнюю цену игры:
x
y
1:0
1,0
.
VyxH
,minmax
В найденной стационарной точке
,0 yx вторая производная
4
1
1
2
xx
yH
4
02
, следовательно, исходная функция выпукла также по
переменной у. Следовательно, минимум по этой переменной достигается в
1
*
стационарной точке
y , так как она принадлежит области изменения этой
4
переменной, т.е. отрезку
Таким образом,
Вывод: игра имеет решение в чистых стратегиях:
1;0.
1V при 1
*
.
*
,
1
1
*
y , 1
.
4
Согласно принципу двойственности для антагонистических игр
выпуклым играм соответствуют вогнутые.
4.2. ВОГНУТЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
Определение 4.15. Непрерывная антагонистическая игра на единичном
квадрате с функцией выигрыша ),( y
вогнута при любом значении у.
),( y
Теорема 4.4. Пусть - выпуклая игра с функцией выигрыша Г ),( y
дифференцируемой по х при любом
*
первого игрока
1. Если 0
имеется чистая стратегия , для которой .
2. Если
имеется чистая стратегия , для которой .
- цена игры. Тогда:
*
, то среди оптимальных стратегий второго игрока
1
y 0),0(
*
1
, то среди оптимальных стратегий второго игрока
2
y 0),1(
называется вогнутой, если функция
y. Чистая оптимальная стратегия
1;0
1
x
x
yH
2
yH
,
44
3. Если 10
x
x
H
x
x
H
x
H
*
, и второй игрок не имеет оптимальной стратегии, то
среди оптимальных стратегий второго игрока имеется такая, которая
и
y
1
1
является «смесью» двух стратегий и При этом стр
употребляются с вероятностями
2
y.
соответственно, находится из
уравнения
xx
2*1*
0),(1),(
yxHyxH
. (4.2)
СХЕМА РЕШЕНИЯ ВОГНУТЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
1. Проверьте функцию ),( y
неравенства . 0),( yxH
2. Из со
стратегию первого игрока
xx
отношения
x
1:0
*
как значение переменной, на которой достигается
внешний максимум и цену игры
y
1,0
на вогнутость, т. е. выполнение
найдите чистую оптимальную
VyxH
,minmax
VV
как значение этого максимума.
атегии и
y
1
2
y
3. Найдите
y
1,0
x
1:0
VyxH
,maxmin
. Если получите VV , то найдено
решение игры в чистых стратегиях, в противном случае переходите к пункту 4.
1
y2y
*
VyxH ,
. Составьте пары и из полученных
x
авьте уравнение (4.2) и найдите
4. Решите уравнение
решений, для которых выполняются неравенства и .
5. Для каждой пары и сост
1
y
1
,(хH
)
2
y
y
0),(
2
yхH
x
0
.
ТРОГО ВОГНУТЫЕ ИГРЫ
С
Определение 4.16.
квадрате с функцией выигрыша ),( y
функция ),( y
строго вогнута при любом значении у.
Непрерывная антагонистическая игра на единичном
называется строго вогнутой, если
Теорема 4.6. В строго вогнутой игре первый игрок имеет единственную
оптимальную стратегию, которая является чистой.
45
ЗАДАЧИ
Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией
выигрыша: . Значения параметра а пр
Номер
варианта
Значение
параметра
, yxaxyxН
1
-1 2
2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
2
1
2
3
1
-2 -3 1
4
иведены в таблице:
1
4
5. ИГРЫ С ПРИРОДОЙ. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В
УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. ПРИНЯТИЕ
РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Для любых игр характерна неопределенность результата. Причины или
источники неопределенности могут быть следствием многих причин:
колебание спроса;
нестабильность экономической ситуации;
изменение курса валют;
колебание уровня инфляции;
неустойчивая биржевая ситуация;
погода как природное явление.
Неопределенность зависит
условиях, в которых будет приниматься решение и не зависит от действий
игрока.
от недостатка информации о внешних
46
В задачах с неопределенностью выбор стратегии определяется
состоянием некой действительности, называемой
модели называются
игры с природой.
природой, а соответствующие
Определение 5.1. Природа – это обобщенное понятие противника, не
преследующего собственных целей в данном конфликте.
Определение 5.2. Математическая модель, в которой выбор решения
зависит от состояния объективной действительности, называется игрой с
природой.
Природа не имеет целью получение выигрыша и может принимать одно
из своих возможных состояний. Стратегии природы являются теми ее
возможными состояниями, которые определяются объективными законами, а
также случайными, неизвестными игроку факторами. В игре против природы
нельзя пр
едусмотреть ее стратегии, исходя из ее «интересов».
Пусть экономический субъект выбирает свои стратегии из некоторого
множества . При этом он знает, что внешний мир (природа),
незави
симо от его действий, может находиться в одном из состояний ,
которые можно условно сч
m,,2,1
n,,2,1
итать стратегиями природы. Каждое из состояний
природы в сочетании со стратегией экономического субъекта (игрока)
приводит к определённому результату. Каждый исход оценивается игроком по
степени полезности для него этого исхода. Таким образом, множество исходов
и заданная на них функция полезности экономического субъекта задают
платёжную матрицу с элементами – выигрыш (полезность) экономического
субъекта при выборе им стр
атегии i и состоянии природы j.
a
ij
Таким образом, игру против природы можно представить в виде
платежной матрицы, элементы которой – выигрыши экономического субъекта,
обозначим его А.
Каждый элемент платежной матрицы - выигрыш и
стратегии в состоя
A
i
нии природы :
П
j
a
ij
грока А при
47
...
j
j
aaa
...
...
21
n
11211
aaa
n
22221
.
............
aaa
mnmm
Такая матрица называется еще матрицей доходности, которая
объединяет информацию о вероятной доходности вариантов стратегии при
различных сценариях формирования экономической ситуации.
Выбор решения в игре против природы может происходить в зависимости
от того, может ли игрок использовать свои смешанные стратегии. Если игрок
не может использовать смешанные стратегии (по смыслу задачи), то для
формирования решения применяются оп
ределенные критерии оптимальности.
Различают два вида задач в играх с природой:
1. Если нет возможности получить информацию о вероятностях появления
состояний природы, то рассматриваются задачи о принятии решений в
условиях неопределенности.
2. Если известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из
возможных состояний, то рассматриваются задачи о принятии решений в
условиях риска.
5.1. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
Рассмотрим задачу выбора наилучшего решения в условиях
неопределенности. У нас есть следующие предпосылки:
1. Лицо, принимающее решение (ЛПР), может выбрать одну из
альтернатив, обозначенных номерами
.,....2,1 mi
2. Известен лишь набор возможных вариантов состояний внешней (по
отношению к ЛПР) среды, обозначенных номерами n
Если будет принято
соответствует
той ситуации, то ЛПР получит доход . Для того чтобы
i тое решение, а состояние внешней среды
a
,....2,1 .
ij
48
выбрать «наилучшее» решение, нужен критерий оптимальности. Так как
разнообразие жизненных и экономических ситуаций не может быть описано с
помощью одного – единственного критерия оптимальности, то в
математических моделях принятия решения предложены и исследованы
несколько критериев оптимальности.
Для отбора вариантов стратегии применяют следующие критерии
оптимальности:
Вальда,
оптимизма,
пессимизма,
Сэвиджа,
Гурвица.
Отметим, что обычно ко всем возможным вариантам развития
применяются все критерии оптимальности одновременно: каждый из критериев
позволяет отобрать только один вариант, оптимальным же будет являться тот
из них, на который указало большинство критериев. Для удобства читателя
оформим вышеназванные критерии в форме таблицы:
Таблица 5.1
Название Формула Комментарий
критерий
Вальда
aW minmax
ij
j
i
критерий
гарантированного
результата
критерий
оптимизма
aM maxmax
ij
ji
используется, когда
игрок оказывается в
безвыходном
положении, т.е. когда
любой его шаг
равновероятно может
оказаться как
абсолютным
выигрышем, так и
полным провалом
критерий
пессимизма
aP minmin
ij
ji
49
Название Формула Комментарий
критерий
Сэвиджа
rS maxmin
,
i
- матрица рисков,
abr
ijiij
b
j
ij
j
amax
ij
j
позволяет выбрать
вариант стратегии с
меньшей величиной
риска по сравнению с
более высоким,
первоначально
ожидаемым уровнем
риска
критерий
Гурвица
ji
ij
aaH min1maxmax
j
коэффициент
ij
(10
) выражает
количественно «меру
оптимизма» игрока А
при выборе стратегии и
определяется им из
субъективных
соображений на основе
статистических
исследований
результатов принятия
решений или личного
опыта лица
принимающего
решение в схожих
ситуациях
,
5.2. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА
При решении задачи о принятии решений в условиях риска игрок
принимает решение на основе критерия максимального ожидаемого среднего
выигрыша или минимального ожидаемого среднего риска.
Для отбора вариантов стратегии применяют следующие критерии
оптимальности:
Байеса,
Лапласа,
Гермейера.
Сведем эти критерии в таблицу 5.2.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]