Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Совокупность всех стабильных действий коалиции называется ядром и







определяется следующим образом:

Определение 10.5. Ядром коалиционной игры называется набор

действий большой коалиции действий, которые предпочитают ее члены действиям большой коалиции

Если коалиция

имеет действие, которое предпочитают все ее члены

некоторым действиям большей коалиции, то мы говорим, что

, такой что ни одна коалиция не имеет

может

улучшить выигрыш большой коалиции. Таким образом,

Ядро – это совокупность действий большой коалиции, на которых

выигрыш коалиции может улучшиться.

Дележ  , если

суммарный выигрыш игроков коалиции

нестабилен из-за коалиции





. В таком случае

xSv





меньше того, что коалиция может получить, действуя самостоятельно. Поэтому, объединившись, игроки коалиции

могут расстроить соглашение, приведшее к формированию дележа

. Также можно сказать, что дележ нестабилен, если он нестабилен из-за

какой-либо коалиции, в противном случае дележ называется стабильным.



Множество всех стабильных дележей называет



vNС ,

ся ядром кооперативной

игры. По определению,

  

 







,,:, .





NSSvxNvxRxvNС

 

Так как ядро описывается экспоненциально большим числом неравенств, то проверка того, что заданный дележ стабилен, для больших являет

ся сложной вычислительной задачей. Эта задача разрешима только для ряда специальных характеристических функций.

Пример 10.3. Определить ядро для игры из примера 10.2.

Решение. Ядро данной игры задается следующими неравенствами:

321

2000

 xxx

, ,

1800

 xx 1400



, . (10.3)

0,,

xxx

321

131

Решим эту систему графически:







Заштрихованная зона на рисунке и есть ядро.

10.3. ВЕКТОР ШЕПЛИ. АКСИОМАТИКА

В данном параграфе мы рассмотрим аксиоматическое задание одного из принципов оптимальности, которое является интересным и с теоретической, и с практической точки зрения. Нашей целью будет указание способа, который ставит в соответствие каждой кооперативной игре

   



из игроков. При этом ест в условиях

Определение 10.6. Значением (вектором Шепли) кооперативной игры





vN,

называется ве

   





,...,

vN,



, компоненты которого описывают выигрыши каждого

vvvv

ественно желать, чтобы этот вектор оказался дележом

ктор

vvvv



,...,



vN, некоторый вектор

Значение Шепли – это единственный дележ, который:

1). Симметричен:

симметричны, если присоединение любого из этих игроков к любо коалиции одинаково усиливает эту коалицию);





 для симметричных игроков (два игрока

132

2). Аддитивен: для любых двух игр







































vN, и



wN, и любого Ni справедливо

равенство

3). Назначает нулевой выигрыш

i , (игрок называется нулевым, если

Теорема 10.1. Каждая характеристическая функция имеет не более

одного вектора Шепли.

Теорема 10.2. Для любой характеристической функции

множеством игроков комп

формулам:

Пример 10.4. Вычислить значение вектора Шепли для игры трех лиц



 ;









v \





NSi

NNn

wvwv

iii





nN ,...,2,1

!1!

  



нулевым игрокам (или болванам)



 для всех

оненты вектора Шепли находятся по



iSvSv

SviSv

. (10.4)



iNS \ ).

над



Решение. Воспользуемся формулой (10.4):

   



   





0v , , ,

602,1 v ,



!2!0

 33,1

100135



!2!0

 33,2

80135



01 v



803,1 v ,

1 6

02 v

v ,

060

3,13,2,1

060



v ,



1003,2



3,23,2,1

1 6



1 6

v .

!1!1

35080

 ;

!1!1

450100

 ;



1353,2,1

22,1

!1!1



vvvvvvv



vvvvvvv



   



!2!0

 23,2

60135

2,13,2,1

080

!1!1



 .

13,1

550100

!1!1



vvvvvvv

133

Итак, вектор Шепли

















55;45;35

Пример 10.5. Рассмотрим игру трех лиц

 

803,1,602,1 vv ,



v ,

1003,2



v . Найти ядро игры.

1053,2,1

  

 vvv ,



0321

Решение. Для того, чтобы дележ х принадлежал ядру, необходимо и

достаточно, чтобы выполнялись условия

если выч

1. ,

2. , 60

3. 100

4. ,

5. . 0,,

 xx



xx ,

 xx

321

есть из условия 1) условия 2) – 4), получим эквивалентную систему

xxx

105

 xxx

321

условий

 x , , 250

450

Складывая последние три неравенства, получим . Это

105

 xxx

321

 x 50

x .

 xxx

321

противоречит первому условию, следовательно, данная система решений не имеет и ядро пустое.

Предположим, что игроки в случ

айном порядке приходят на некоторое место по очереди, причем каждый пришедший получает ту сумму, на которую он увеличивает своим приходом значение характеристической функции для уже собравшейся коалиции. Покажем, что математическое ожидание этой суммы и есть компонента вектора Шеп

ли игрока.

Рассмотрим для этого произвольную перестановку



Обозначим через

в перестановке

N множество игроков, предшествующих данному игроку

. Разность

множества игроков.

134



























,,ivNviNv

есть тот прирост значения характеристической функции осуществляет в перестановке

Теорема 10.3. Если все перестановки

  

ivМ



10.4. ВЕКТОР ШЕПЛИ ДЛЯ ИГР В

В отдельных случаях формула (10.4) для компонент вектора Шепли допускает более «замкнутое» их описание. Помимо простейших игр, это удается сделать и для игр для трех лиц.

Определение 10.7. Кооперативная игра





viv



ФОРМЕ

равновероятны, то



РЕДУЦИРОВАННОЙ



vN, называется простой, если

, который игрок



равно 0 или 1 для вс

Определение 10.8. Кооперативная игра

редуцированную форму, если выполняются соотношения для всех



а выигрыши коалиций

1Nv











Теорема 10.4. Если - характеристическая функция трех лиц в

редуцированной форме,



ех коалиций

 вычисляются по формулам



vSv





. (10.5)



vNv











, то



cccv  22

. (10.6)

kjii



vN, имеет



iv0



135

Пример 10.6. Вычислить значение вектора Шепли для игры из примера























10.2 с характеристической функцией

 



Решение. Процесс вычисления удобно представить в табличной форме:

Перестановка Вклады игроков





  



1 2 3

(1,2,3) 0 0 2000

(1,3,2) 0 200 1800

(2,1,3) 0 0 2000

(2,3,1) 600 0 1400









,3,1,1800



,3,2,1400



.3,2,1,2000



,2,1,3,2,1,,0

(3,1,2) 1800 200 0

(3,2,1) 600 1400 0

Средний вклад

Вектор Шепли записан в последней строке таблицы:



Так как этот вектор удовлетворяет системе неравенств (10.3), то он является стабильным дележом.

Пример 10.7. Построить игру в



, ,

0v

Решение. Найдем выигрыши по формуле (10.5):

11 v



22 v ,

v ,



63000 61800 67200

ТТ



73,1

v ,

1200;600;50067200;31800;63000 



редуцированной форме для игры



32,1

v ,





93,2 v ,

v .

123,2,1





v , ,





01 





02 

136























































2,1



 







212,1

vvv



3213,2,1

vvvv



215



;



32112







3,1









3,2







v .

13,2,1 

 







313,1

vvv



323,2

vvv





3213,2,1

vvvv





3213,2,1

vvvv

317



329



;



32112

;



32112

ЗАДАЧИ

1. Вычислите вектор Шепли следующей кооперативной игры трех лиц:

    

2. Вычислите вектор Шепли следующей кооперативной игры трех лиц:

 vvv ,



0321

 vv ,

43,12,1



v ,

53,2



v .

63,2,1

    

3. Вычислите вектор Шепли и найдите ядро следующей кооперативной игры трех лиц:

    

4. Составьте редуцированную форму для игры

   

5. Игрок 1 имеет дом, который оценивает в $50 000, и предлагает его на продажу. Каждый из двух потенциальных покупателей, игроки 2 и 3, оценивают дом в $100 000. Составьте игру в форме характеристической функции и найдите ядро.

 vvv ,

 vvv , ,





10 

 vvv ,



0321



1321



0321

 vv ,

42,1 v

 vv ,

33,22,1



v ,

43,12,1



v ,

43,1

v ,

43,1



v ,



53,2



v .

63,2

v .

33,2,1



63,2,1

73,2,1 v .

137

Приложение А

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

А 1. Постановка задачи линейного программирования

Задачи линейного программирования (ЛП) возникают из-за необходимости оптимально использовать имеющиеся ресурсы. К такого рода задачам относятся следующие: задачи, связанные с образованием целей и их анализом; разработки или совершенствования (производственных структур предприятий, организованных структур объединений); проектирования (проектирование сложных робототехнических комплексов, гибких производственных систем). Задачи об использовании сырья, об использовании мощностей, на составлени

е оптимальной производственной программы также можно привести в качестве конкретных примеров задач линейного программирования.

Рассмотрим задачу нахождения максимальной прибыли из экономической

области. Для изготовления двух видов продукции , используют три вида

сырья , , . Запасы сырья, к

S2S3S

оличество единиц сырья, затраченных на

1P2

изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице1.

Таблиц

а 1.

Затраты сырья на единицу продукции Вид сырья Запас сырья, Т

9 1 1

Прибыль от единицы продукции, денежных единиц

3 0,5 1

3 1 0,5

1 2

Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации можно было получить максимальную прибыль.

138

А 2. Математическая формулировка задачи





Переменные.

Переменными в модели являются:

x – объем производства продукции ; 1P

x – объем производства продукции .

Целевая функция. Конечной целью задачи является получение

максимальной прибыли от реализации. Мы выразим ее как функцию двух переменных и

Суммарная прибыль

2xxZ

Ограничения.

Введем ограничения на расход сырья.



видадляxx

 

),S(,9

121

видадляxx видадляxx

),S(,35,0

221

).S(,35,0

321

Объемы производства продукции должны быть неотрицательны:

. 0,0

 xx

Итак, математически задача может быть сформулирована так. Найти все решение системы неравенств:









 



xx xx

где объемы производства п

при которых достигается максимум целевой функции

Таким образом, задача ЛП заключается в том, чтобы найти вектор ,

,35,0



.35,0

, xx

родукции вида и выражены в тоннах,

x212xZ 



xxx ,...,,

такой, что

bxaxaxa



 

 

 



.....

2211

,...

11212111

bxaxaxa



,...

22222121

(1)

bxaxaxa



....

mnmnmm

139







0,...,,



xxx (2)

и выбрать среди них те, где линейная целевая функция достигает

максимума

xcxcxcZ  ...

. (3)

2211

Задача ЛП в виде (1) – (3) называется нормальной формой задачи. В векторно-матричной записи задачу ЛП можно представить так:

maxC



, . 0X

где С - вектор коэффициентов целевой функции, А - матрица коэффициентов. Областью допустимых значений (ОДЗ) задач линейного программирования

называется множество

0,,  XBAXRXD

Соотношения (2), (3) это система ограничений задачи ЛП. Так как



 minmax





xfxf

DxDx

то обычно ограничиваются задачами одного типа.

Определение А1. Вектор, удовлетворяющий системе ограничений задачи и

оптимизирующий целевую функцию, называется решением задачи ЛП.

Есть еще другая форма представления задачи ЛП – каноническая, которая

имеет вид:

maxC

Наряду с задачей ЛП в нормальной форме (1) – (3) рассмотрим задачу на

минимум:

Где



 , (5)

 





 

 

, (4)





- переменные двойственной задачи.



...

 



Задача (4) - (5) называет

 , . 0X

ся двойственной

по отношению к задаче (1) – (3).

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]