Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие для студентов по направлению 38.03.01 «Экономика», профиль «Экономика предприятий» (образовательный уровень «Бакалавр»)
.pdf
ЗАДАЧИ
1. Саша не совсем уверен, предпочитает Маша его компанию или склонна
избегать его. С точки зрения Саши:
С вероятностью
С вероятностью
Маша, в отличие от Саши, знает, в какую игру она играет. В матрицах платеж
2
игра имеет вид:
3
F
T
1
игра имеет вид
3
F
T
F T
2;1 0;0
0;0 1;2
F T
2;0 0;2
0;1 1;1
Саши указан первым.
а). Укажите количество типов каждого игрока;
б). Сформулируйте чистые стратегии Саши и Маши;
в). Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях;
г). Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
2. Природа выбирает матрицу игры.
С вероятностью
3
игра имеет вид:
5
F
T
F T
1;2 -1;3
3;5 1;1
111
С вероятностью
x
V
V
2
игра имеет вид
5
F
T
Первый игрок знает, какую матрицу выбрала природа, а второй – нет.
а). Укажите количество типов каждого игрока;
б). Сформулируйте чистые стратегии игроков;
в). Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях;
г). Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
3. Рассмотрим биматричную игру со следующими выигрышами игроков:
F
T
где . Игрок 1 знает значение х, игрок 2 полагает, что значение
2;0х
F T
2;-1 4;6
3;1 2;2
F T
х;1 1;0
1;0 0;1
0
с
вероятностью
равновесие.
4. Рассмотрим биматричную игру со следующими выигрышами игроков:
где и
Независимо от значения х игрок 1 полагает, что оба значения (1 и 3)
равновероятны. Аналогично, независимо от значения y игрок 2 полагает, что
оба значения x (0 и 2) равновероятны. Найдите байесовское равновесие.
5. Рассмотрите вариант аукциона второй цены, когда игрок знает свою оценку
, но не им
v
i
что множество возможных оценок есть конечное множество
2;0х
еет полной информации об оценках других участников и считает,
32 или 2x с вероятностью 31. Найдите байесовское
F
T
y . Игрок 1 знает значение х, игрок 2 знает значение y.
F T
1;2 х;0
х;y -1;y
3;1
y
i
, а оценки
других игроков выбираются независимо в соответствии с одним и тем же
распределением на
победитель платит наибольшую из сумм проигравших. Опишите байесовскую
. В соответствии с правилами аукциона второй цены,
112
игру, соответствующую такому аукциону и покажите, что в ней существует
равновесие Байеса - Нэша , в котором
*
a
*
для любого i и
vva
iii
.
TVv
ii
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИЕЙ
В этой главе мы рассмотрим динамические байесовские игры
(динамические игры с неполной информацией).
В качестве примера динамической байесовской игры рассмотрим
следующий.
Пример 9.1. «Террорист». В самолет, который должен лететь из Майями
в Нью-Йорк, сел террорист. Он требует, чтобы пилот летел на Кубу, в
противном случае угрожая взорвать самолет. Предположим, что террорист не
может определить, куда действительно летит самолет. Тогда в этой игре первый
ход делает пилот. Он может лететь либо на Кубу, либо в Нью-Йор
к. Если пилот
посадит самолет на Кубе, то его выигрыш составит -1, а выигрыш террориста
составит 1. Если же самолет сядет в Нью-Йорке, то свой ход делает террорист.
Он может либо взорвать бомбу, либо не взрывать. Если бомба взорвется, то
выигрыши обоих составят -100, в противном случае выигрыш пилота составит
1, а выигрыш террориста составит -1. Рассмот
может быть двух типов:
«нормальный» и «сумасшедший».
рим случай когда террорист
Рис. 9.1
113
Нормальный террорист получает выигрыш -100 в случае, если взорвет
бомбу в Нью-Йорке. Сумасшедший же террорист получает в этом случае
выигрыш 0. Вероятность того, что террорист окажется сумасшедшим, равна π.
Пилот не знает, с террористом какого типа он имеет дело, но сам террорист
знает свой тип.
Схема игры представлена на рисунке 9.1. Чтобы показать на схеме
случайный выбор типа террориста, в игру добавлен дополнительный
фиктивный игрок, Природа. На сх
исходных игроков, так как Природа не имеет никакой целевой функции.
Первый ход принадлежит Природе. Природа создает сумасшедшего
террориста с вероятностью π и нормального − с вероятностью 1-π.
Информационное множество пилота, соответствующее условию, что он не
знает типа террориста, взято в пунктирную рамку.
Найдем решение этой игры, применяя обратную индукцию. Рассмотрим
снач
ала поведение террористов обоих типов. Нормальный террорист не будет
взрывать бомбу в Нью-Йорке. Сумасшедший предпочтет взорвать бомбу (так
как 10 ). Таким образом, получаем свернутую игру, которая показана на рис.
9.1.
Составим таблицу выборов пилота.
еме показаны только выигрыши двух
Выбор Куба Нью-Йор
Вероятность 1 π 1-π
Выигрыш 1 100 1
Таким образом, математическое ожидание выигрыша составит
Пилот сравнивает выигрыш -1 с выигрышем
максимальный. Таким образом, вид решения будет зависеть от параметра π.
Если:
1012
, то пилот полетит в Нью-Йорк,
1012
, то пилот полетит на Кубу,
1012
то пилоту все равно.
101111100
к
.
1011 и выбирает
114
Так как мы знали, с какой вероятностью пилот мог в своем
информационном множестве оказаться в левой вершине, а с какой – в правой то
смогли проанализировать его выбор.
Нередко случается, что такие вероятности неизвестны. Ранее мы
сталкивались с такой проблемой, когда рассматривали динамические игры с
полной, но несовершенной информацией (глава 7). Если информационное
множество состоит из двух вершин и более, то игроку приходится строить
некоторые предположения относительно вероятности оказаться в той или иной
вершине. На основе таких ожиданий он выбирает альт
ернативу,
обеспечивающую ему максимальный гарантированный выигрыш. Эти
рассуждения приводят к понятию
совершенного байесовского равновесия.
Для начала введем дополнительные требования.
1.
Игрок, которому принадлежит очередь хода, должен иметь представление
о том, какая вершина информационного множества достигнута. Если
информационное множество состоит более чем из одного элемента,
представление – это вероятностное распределение на множестве его
элементов. Если информационное множество состоит из одного элемента,
его представление равно 1.
2.
Стратегии игроков должны быть последовательно рациональны при
данных представлениях. Это значит, что ход, сделанный игроком в данном
информационном множестве и последующая его стратегия должны быть
оптимальны.
3.
На равновесном пути представления определяются по правилу Байеса и
равновесными стратегиями игроков.
4.
Если информационное множество лежит вне равновесной траектории, то
представления определяются по правилу Байеса и равновесными
стратегиями игроков, где это возможно.
Определение 9.1. Будем говорить, что информационное множество
лежит на равновесном пути, если оно достигается с положительной
вероятностью или с вероятностью 1, если играются чистые стратегии.
115
Определение 9.2. Совершенное Баейсово равновесие определяется
набором стратегий и представлений 1-4.
Поясним приведенные условия.
А). Случай чи
множество, в котором данному игроку принадлежит ход. Какими должны быть
его ожидания в данном информационном множестве? Если траектория,
соответствующая набору стратегий
информационной вершины, также проходит через одну из вершин данного
информационного множества, то игрок должен ожидать, что будет находиться
именно в этой вершине, если игра достигнет рассматриваемого
информационного множества и ему нужно будет делать в нем выбор.
стых стратегий. Представим игрока i и информационное
e
ss, и выходящая из начальной
ii
Рис. 9.2
В качестве примера рассмотрим игру, изображенную на рисунке 9.2.
Допустим, второй игрок предполагает, что первый выберет правую стратегию.
Тогда он должен предполагать, что будет находиться в правой вершине своего
информационного множества. Если второй игрок будет исходить из таких
предположений, то он повторит ту же функцию отклика, которая
рассматривалась нами при ан
Б). Случай смешан
игрок может находиться в некоторой вершине данного информационного
множества, равна вероятности достижения этой вершины, деленной на сумму
вероятностей достижения вершин данного информационного множества. Если
игра будет происходить в соответствии с набором стратегий
ализе равновесия Нэша.
ных стратегий. Прогнозируемая вероятность того, что
e
ss,, то сумма
ii
вероятностей достижения вершин информационного множества есть
вероятность достижения этого информационного множества, Эта вероятность
не должна быть равна нулю, так как тогда нуль получится в знаменателе дроби.
116
(Если вероятность окажется равной нулю, т.е. рассматриваемое
информационное множество не может быть достигнуто, то, указанное выше
правило не применимо). Этот способ вычисления вероятностей соответствует
классическому правилу Байеса для условных вероятностей:
BAPBP
/
В нашем примере можно считать, что событие – процесс игры привел
в определенную вершину, а событие А – процесс иг
информационное множество. Если вершины содержатся в рассматриваемом
информационном множестве, то
Рассмотрим игру, изображенную на рисунке 9.3.
ABP
/
j
ABP
j
n
j
1
BP
/.
j
AP
jj
BAPBP
/
jj
1/
BAP и формула упрощается:
j
BAPBP
/
AP
jj
.
B
j
ры привел в данное
Рис. 9.3
Если 3-й игрок считает, что 1-й игрок выбирает левую сторону с
вероятностью 0.4, и что 2-й игрок выбирает левую и правую сторону с равными
вероятностями, то он должен считать, что вершина 3 будет достигаться в
процессе игры с вероятностью 2,05,04,0
Таким образом, он должен сопоставить вершине 3 вероятность
2,0
6,02,0
а вершине 4 – вероятность
6,0
6,02,0
,
25,0
.
75,0
, а вершина 4 – с вероятностью 0,6.
117
Это только одно из условий. Даже если при наборе стратегий
процесс игры никогда не приведет в некоторое информационное множество,
ожидания игрока в данном информационном множестве должны
e
ss
соответствовать
Рис. 9.4
Например, в игре, изображенной на рисунке 9.4 (а), при отмеченных
,.
ii
e
ss
,
ii
ожиданиях относительно стратегий 1-го и 2-го игроков 3-й игрок должен
ожидать, что он может попасть в левую вершину с вероятностью 0,1, а в
правую вершину с вероятностью 0,9, но при этом вероятность того, что он
достигнет информационного множества, равна нулю.
По данному набору стратег
Например, в игре, изображенной на рисунке 9.4 (б), при отмеченных ожиданиях
2-й игрок не может сформировать ожиданий в своем информационном
множестве о стратегии 1-го игрока. Второй игрок может получить ход только в
результате ошибки первого игрока и сложно понять, какая из ошибок более
вероятна. В этих случ
некоторые ожидания, и он выбирал стратегию на основе этих ожиданий.
В общем случае для поиска совершенного байесовского равновесия
невозможно использовать обратную индукцию, кроме случая, когда
аях мы будем требовать, чтобы у игрока 1 были
ий ожидания сформировать можно не всегда.
рассматриваются игры с почти совершенной информацией.
Совершенное байесовское равновесие ищут как решение системы
уравнений, если в игре нет под ˗ игр. В этом случае распределения на вершинах
информационных множеств находят в соответствии с ра
вновесным набором
118
стратегий, и каждый игрок выбирает равновесную стратегию в зависимости от
предположений о распределениях на вершинах информационных множеств.
Рис. 9.5. (игра «Террорист»)
Для иллюстрации совершенного байесовского равновесия приведем
пример.
Пример 9.2. Предположим, что в игре из примера 9.1 два типа
террористов. Один тип решает, что он хочет проводить операцию. Второй тип
отказывается ее проводить. Если он принадлежит второму типу, то выигрыш
террориста составит 0, и выигрыш пилота составит 0. Дерево игры показано на
рисунке 9.6.
Рис. 9.6
119
Как и раньше, первый элемент вектора – выигрыш пилота. Будем
/2
/
/
рассматривать «частично свернутую» игру, так как выбор террориста в НьюЙорке можно спрогнозировать однозначно. Совершенное байесовское
равновесие должно состоять из следующих вероятностей:
сумасшедший террорист проводит операцию. Вероятность:
1)
2)
нормальный террорист проводит операцию. Вероятность:
3)
пилот ожидает встретить сумасшедшего террориста. Вероятность:
1,0
;
пилот летит в Нью-Йорк. Вероятность:
4)
Так ка
1) - 4), то их достаточно для описания равновесия.
Сначала проанализируем поведение пилота при заданных параметрами
ожиданиях. Ожидаемые выигрыши пилота:
к все остальные вероятности рассчитываются как функции случаев
действие Куба Нью-Йорк
выигрыш -1
3
1,0
.
2
;
1
;
111001
1,0
1,0
Таким образом, если
Нью-Йорк (
Зависимость стратегии от ожидания имеет вид:
Рассмотрим далее ожидания пилота
и µ2. Если
что события следующие:
2
2
2
µ
=1),
3
101
, полететь на Кубу (µ3=0),
, пилоту все равно, куда лететь (µ3 любое).
101
если
µ1
если
≠ 0 или µ2 ≠ 0, то можно использовать формулу Байеса. Считаем,
если
111001
, т.е. 101
,101/2,1
B
– террорист сумасшедший, B2 – террорист
1
,101/2,1,0
.101/2,0
, то пилот выберет полететь в
в зависимости от вероятностей µ
1
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]