Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Л. М. Кульгина

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Направление подготовки 011200.62 – Физика

Профиль подготовки физика Земли и планет

Квалификация (степень) выпускника – Бакалавр

Ставрополь

2014

УДК 531.11 (075.8)

К 90

ББК 22.250 я73

редакционно-издательского совета

Печатается по решению

Северо-Кавказского федерального

К 90

Теоретическая механика. Механика сплошных сред: учебное пособие /авт.-сост. Кульгина Л.М. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2014. – 193 с.

Пособие составлено в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к подго-

товке выпускника для получения квалификации бакалавр.

Утверждено на заседании кафедры (протокол № 2 от 4 сентября 2013 г.). Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 011200.62 –

Физика.

Автор-составитель

канд. техн. наук, доцент Л. М. Кульгина

Рецензенты

д-р физ.-мат. наук, профессор В. В. Чеканов,

д-р физ.-мат. наук, профессор Ю. И. Диканский

университета

ПРЕДИСЛОВИЕ

1. Цель и задачи освоения дисциплины

Целью данного курса является изучение основных методов теоретического описания, расчета, качественного и количественного анализа динамических систем, общих для любых физических систем, формирование фундаментальных знаний об основных способах описания динамических систем на основе канонических методов и вариационных принципов, используемых во всех разделах теоретической физики.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Данная учебная дисциплина входит в базовую часть цикла профессиональных дисциплин по направлению подготовки 011200.62 – Физика. Ее освоение происходит в 3 и 4 семестрах.

3. Связь с предшествующими дисциплинами

Для освоения курса «Теоретическая механика. Механика сплошных сред» необходимы базовые знания по физике, математическому анализу, аналитической геометрии, линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, интегральным уравнениям, вариационным исчислениям, методам математической физики.

4. Связь с последующими дисциплинами

Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения смежных дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов, дисциплин по выбору студента.

5. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

дисциплины:

– способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области математики и естественных наук (ОК-1);

– способность выстраивать и реализовывать перспективные линии интеллектуального, культурного, нравственного, физического и профессионального саморазвития и самосовершенствования (ОК-5);

– способность использовать базовые теоретические знания для решения профессиональных задач (ПК-1);

– способность применять на практике базовые профессиональные навыки (ПК-2).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

границы применимости законов механики Ньютона; нерелятивистские и релятивистские уравнения движения частицы; законы сохранения и основные теоремы динамики, нормативные правовые документы в своей деятельности;

уметь:

использовать методы аналитической механики при решении конкретных физических задач; использовать в профессиональной деятельности базовые знания в области математики и естественных наук; выстраивать и реализовывать перспективные линии интеллектуального, культурного, нравственного, физиче-

ского и профессионального саморазвития и самосовершенствования; использовать знания высшей математики и математической физики при решении практических задач.

владеть:

представлением о континуальных уравнениях сохранения, замкнутой системе уравнений гидродинамики; пониманием сущности и значения информации в развитии современного информационного общества, сознанием опасности и угрозы, возникающей в этом процессе; основными методами защиты производственного персонала и населения от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий; навыками поиска информации в глобальной информационной сети Интернет.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Основные определения и объекты изучения теоретической механики

Теоретическая механика – раздел физики, в котором изучается механическое движение материальных тел.

Основу теоретической механики составляет небольшое число гипотез, связанных с введением основных понятий о пространстве и времени, силе и массе, инерциальной системе отсчета, и законы Ньютона.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов.

Механика представляет собой теорию достаточно медленных )( c движений макроскопических тел, состоящих из огромного числа атомов или

молекул, т. е. классическая механика – это нерелятивистская теория механического движения макроскопических тел.

При изучении общих законов реальных движений тел, которые почти всегда оказываются достаточно сложными, приходится абстрагироваться от многих несущественных для данного движения деталей и вместо реальных тел рассматривать движение некоторых идеализированных объектов. Такими объектами в теоретической механике являются: материальная точка, системы материальных точек, абсолютно твердое тело и сплошная среда.

Материальной точкой в теоретической механике называют бесструктур- ную точечную частицу, наделенную определенной массой, зарядом (если это заряженная частица), энергией, импульсом, но лишенную внутренних структурных характеристик (момент инерции, дипольный момент и т. д.).

Системой материальных точек называют совокупность тел, если каждое из них можно рассматривать как материальную точку.

Твердое тело − это система материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения сохраняется неизменным.

Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому представления о пространстве и времени являются основными понятиями не только классической механики, но и всей физики.

Пространство и время по своей природе одновременно и абсолютны и относительны. Их абсолютность состоит в том, что они являются основными формами существования материальных объектов, а относительность пространства и времени означает зависимость их свойств от конкретных процессов движения и изменения материальных тел и полей.

В механике Ньютона признается, что пространство и время существуют объективно, однако они рассматриваются в отрыве друг от друга и в отрыве от движущихся материальных объектов. Считается, что движение материальных тел и процессы, протекающие в различных полях, не оказывают никакого влияния на свойства пространства и времени.

В механике постулируется, что абсолютное пространство всюду непре-

zyx

rrr

zyx

0 Z Y M

рывно, однородно и изотропно, а его метрические свойства полностью описываются системой аксиом геометрии Евклида. Утверждается также, что время в различных участках пространства протекает одинаково, что оно так же, как и пространство, непрерывно и однородно.

Специальная теория относительности (СТО) показала, что абсолютных пространства и времени, не связанных друг с другом и безотносительных к движению материальных тел, в природе не существует, а существует единое пространство – время, тесно связанное с движением тел; тем самым была доказана относительность пространственных и временных интервалов и относительность понятия одновременности событий.

Чтобы наблюдать и изучать движение тел, следует предварительно ариф- метизировать пространство и время и получить тем самым возможность вы- ражать любые пространственные и временные соотношения с помощью чисел. Для этого требуется указать способ измерения расстояний между материальными телами, интервалов между различными моментами времени и выбрать какую-нибудь систему отсчета.

Системой отсчета называют систему координат, жестко связанную с некоторым абсолютно твердым телом (телом отсчета), и часы, движущиеся вместе с этим телом. Наиболее простой и удобной является система декартовых координат

ортами kji

,, (рис. 1.1).

Положение какой-нибудь материальной точки М относительно выбранной системы отсчета пол-

Рис. 1.1

ностью определяется заданием ее радиуса-вектора (рис. 1.1). Разложив этот вектор по осям декартовой системы координат Oxyz, получим:

,kzjyixr

где

++=

− проекции радиуса-вектора на оси Ох, Оу и Оz. Таким образом, при

(1.1)

определении положения материальной точки М в момент времени t ей ставятся в соответствие четыре числа: три пространственные координаты

и временная

координата t.

§ 2. Инвариантный метод описания движения материальной точки

Кинематика является одним из разделов механики, в котором движение макроскопических тел рассматривается независимо от причин, вызывающих это движение. Основной задачей кинематики является разработка методов пространственно-временного описания движения тел, расчета их траекторий, скоростей и ускорений, т. е. методов исследования чисто геометрических свойств движения тел.

dtrdt

rrr

-D+

dtdt

rrr

-D+

uuu

[

]

(

)

D+r

Рассмотрим движение материальной точки M относительно некоторой системы отсчета с началом координат в точке О (рис. 1.2). Положение точки M относительно указанной системы отсчета

однозначно определяется заданием ее радиуса-

ttr

вектора как функции времени:

).(trr

(2.1)

Рис. 1.2

Векторную функцию (2.1) называют законом движения материальной точки М. Функцию (2.1) будем считать непрерывной и дифференцируемой.

Траекторией материальной точки М называют кривую KML, описываемую в пространстве концом ее радиуса-вектора часто называют годографом радиуса-вектора

)(tr

; в этом смысле траекторию точки М

. В зависимости от того, какова траектория KML (прямая линия или некоторая кривая) движение точки М соответственно называют прямолинейным или криволинейным.

Основными кинематическими характеристиками движения материальной

точки служат скорость

Вектор скорости

и ускорение Wr.

характеризует изменение со временем радиуса-вектора

материальной точки:

lim

®D

Таким образом, вектор скорости

)()(

trttr

материальной точки М равен первой

(2.2)

производной по времени от ее радиус-вектора )(trr.

Скорость движущейся материальной точки является векторной функцией

времени, т. е. )(t

. Поэтому при движении материальной точки вектор ско-

рости в общем случае может изменяться как по абсолютному значению, так и по направлению.

Вектор ускорения Wr точки М характеризует изменение со временем вектора

скорости:

ttt

lim

®D

)()(

. (2.3)

При решении некоторых задач (в частности, при исследовании плоского

движения материальной точки) наряду со скоростью

вводится понятие сек-

торной скорости, определяемой выражением

[ ]

(2.4)

Направление векторной скорости совпадает с направлением векторного

произведения

, и следовательно, вектор f

пендикулярен к плоскости, определяемой векторами

в любой момент времени пер-

===

rrr

r&r&r&r

r&&r&&r&&r

=====

uuu

===

0 Z

§ 3. Координатные методы исследования движения точки

Скорость и ускорение движущейся материаль-

ной точки можно представить проекциями на оси любой системы координат. Однако при решении практических задач чаще всего используется система декартовых, цилиндрических и сферических координат.

1. Метод декартовых координат. Положение точки М в пространстве можно однозначно определить тремя ее декартовыми координатами x, y, z

Рис. 1.3

(рис. 1.3). Движение точки М считается заданным,

если указанные координаты представлены как функции времени, т. е.

).(),(),( tzztyytxx

(3.1)

Такой способ задания движения материальной точки эквивалентен закону

движения (2.1), так как

(3.2)

++=

),()()()( tzktyjtxitr

где i, j, k − постоянные орты координатных осей Ох, Оу и Оz.

Уравнения (3.1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки М; если из них исключить время t, то можно получить уравнение траектории в явном виде.

Дифференцируя радиус-вектор (3.2) по времени, находим скорость и ускорение точки М в виде:

,kzjyix

++=

(3.3)

.kzjyixW

Проекции скорости и ускорения точки на оси декартовой системы координат равны:

,,,

&&&&

, (3.4)

zWyWxWzyx

zyxzyx

следовательно,

Направления векторов

ì ï

ï í

ï ï

Проекции секторной скорости

),(

&&&&

определяются направляющими косинусами:

на оси декартовой системы координат равны:

),(

zyx

22222222

(3.5)

zyxWzyx

++=++=

ÙÙÙ

===

.),cos(,),cos(,),cos(

ÙÙÙ

===

-=-=-=

(3.6)

.),cos(,),cos(,),cos(

).(

xyyxfzxxzfyzzyf

(3.7)

Пример. Найти траекторию, скорость, ускорение, секторную скорость движущейся точки по закону:

ztbytax

.0,sin,cos

(3.8)

Чтобы найти траекторию точки, необходимо из параметрических уравне-

bya

rrr

===

jrj

rrr

r&r&r&r

===

ujrur

rrr

r&&r&&r

r&r&&r

r&r

ний движения (3.8) исключить время t:

Траекторией точки является эллипс.

Скорость точки:

2222222

tbtazyx

wwwu

cossin +=++=

Ускорение точки:

Секторная скорость:

&&&&

r &

ê ë

kji

ú ú

=-=

22222222

tbtazyxW

www

sincos +=++=

kabkyxkyx

2. Метод цилиндрических координат. В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется с помощью скалярных функций )(tr, )(tj и )(tz , при этом радиус-вектор точки можно представить в виде:

Цилиндрические координаты

заны с ее декартовыми координатами формулами:

а связь между ортами

ношениями (рис. 1.4):

Орты

являются переменными (они изменяются по направ-

цилиндрической системы координат

(3.8)

точки М свя-

,,sin,cos zzyx

(3.9)

+-=

определяется соот-

,sincos

jie

(3.10)

.cossin

zrkzer

+=+=

лению); их первые производные по времени равны:

Рис. 1.4

M’

ï í

=+-=

,)cossin(

ejie

jjjj

(3.11)

-=+-=

.)sincos(

ejie

jjjj

Дифференцируя радиус-вектор точки и учитывая равенства (3.11), находим:

jrrujrru

22222

zkzee

++=++=

(3.12)

Величины

(3.13)

называют радиальной, поперечной и аксиальной проекциями вектора

Аналогично определим ускорение и секторную скорость

где

jrr

&&&

jrjrrjrjrjrrru

2)(

&&&&

;),(

==-=

(3.14)

kWeWeWkzeekzeeereW

++=++-=+++++==

zrrrrr

jjjjjj

=Q=Q=

rrr

rr=

rrr

r&r

r&r&r&r

Рис.

1.6

M Z

M’

Рис.

1.5

При

),(

система цилиндрических координат вы-

fzzfzf

=-=-=

jrrrjr

(3.15)

рождается в систему полярных координат кости, с помощью которых удобно исследовать плоское движение материальной точки (рис. 1.5). Такое движение

n, ось

обычно задают уравнениями чая отсюда время t, можно получить уравнение траек-

)(),( ttrr

тории точки М в полярных координатах:

).(jrr

(3.16)

Радиус-вектор

, линейная и секторная скорости ,, f

ускорение Wr точки М,

движущейся в плоскости (в полярных координатах), имеют вид

)(,

errWkrferererr

+-==+==

rrr

dtdr

222

jjjju

3. Метод сферических координат. В сферических координатах (рис. 1.6) закон движения материальной точки М определяется уравнениями:

).(),(),( tttrr

(3.18)

Связь между сферическими и декартовыми координатами устанавливается

формулами:

Q=Q=Q=

ì ï

ï í

ï ï

222

=Q++=

arctgzyxr

æ ç

ç è

rzryrx

÷ ÷

,cos,sinsin,cossin

arctg

.,,

(3.19)

Разложение радиуса-вектора точки М по ор-

там

eee

,, сферической системы координат и их

на плос-

. Исклю-

(3.17)

.)(

kji

связь с ортами

декартовой системы опреде-

ляется формулами, которые легко вывести, ис-

пользуя рис. 1.6:

ï í

ï ï

,rerr

(3.20)

Q+Q+Q=

kjie

,cossinsincossin

Q-Q+Q=

,sinsincoscoscos

(3.21)

+-=

.cossin

jie

Все орты сферической системы координат изменяются по направлению, при этом их первые производные по времени оказываются равными:

ì ï

ï í

ï ï

×Q+Q=

,sin

eee

×Q+Q-=

,cos

eee

(3.22)

×Q-×Q-=

.cossin

eee

Дифференцируя радиус-вектор (3.20) с учетом соотношений (3.22), находим:

,sin

ererer

×Q+Q+=

222222

(3.23)

).sin(

Q+Q+=

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]