Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
rkF
r
r
ò
r
r
r
r
r
r
¶
-= , действующей на трехмерный осциллятор при его малых смещениях из
положения равновесия О и др.
Потенциальную энергию частицы в центрально-симметрическом поле
можно представить в виде:
=+-= ).()()( rUCdrrFrU
§ 11. Полная потенциальная энергия механической системы
Рассмотрим свободную механическую систему, состоящую из п взаимодействующих точечных частиц и находящуюся во внешнем потенциальном силовом поле (стационарном или нестационарном). Будем предполагать, что силы
взаимодействия между частицами являются потенциальными и центральными.
Полную потенциальную энергию такой системы можно представить в виде
суммы двух слагаемых:
)()( ie
,
UUU += (11.1)
где
)(e
U – потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле, a
)( i
U –
энергия взаимодействия частиц (или внутренняя потенциальная энергия системы).
Внешняя часть полной потенциальной энергии
)(e
складывается из по-
U
тенциальных энергий отдельных частиц, входящих в систему, и в общем случае
является функцией положения частиц и времени t, т. е.
n
rr
trUtrrrUU
),,(),,,,(
=
iein
1
(11.2)
где
rr
ee
)()(
e
i
– потенциальная энергия i-й частицы системы во внешнем силовом поле.
),()(trU
i
K
21
==
å
i
Энергию взаимодействия частиц можно представить в виде:
где
rr
ii
)()(
21
)(
rrU
-
– энергия взаимодействия какой-нибудь пары частиц. Эта часть
jiij
K
),,,(
1
åå
2
nin
= =
1 1
j
rrr
-==
rrUrrrUU
),(
jiijn
(11.3)
полной потенциальной энергии системы не может быть явной функцией времени,
что является следствием однородности последнего (по отношению к замкнутой
системе все моменты времени физически эквивалентны). Зависимость энергии
взаимодействия
расстояния
-
отдельной пары частиц только от модуля их относительного
U
ij
rr
является следствием однородности и изотропности пространства.
ji
Система дифференциальных уравнений движения для свободной механической системы, находящейся во внешнем потенциальном силовом поле, имеет вид:
r
&&
rm
ii
)(
e
¶
U
¶
-º
r
i
U
-= (11.4)
r
r
¶
i
)(
e
¶
U
i
rr
¶
r
i
=
r
)(
e
F
i
),,,2,1( ni
K
)(
i
n
¶
U
-=
r
¶
r
i
r
å
j
.,
F
(11.5)
ij
1
=
=
31
§ 12. Классификация свободных механических систем
Все бесчисленное множество свободных механических систем можно раз-
бить на следующие четыре класса:
1. Замкнутые или изолированные системы. Для таких систем можно
ввести функцию полной потенциальной энергии, состоящей только из энергии
взаимодействия частиц, т. е.
r
v
21
K
),,,(
1
åå
2
nin
= =
j
1 1
rrr
-=
rrUrrrU
).(
(12.1)
jiijn
Причем ее изменение со временем обусловлено только изменением положения частиц; поэтому полная производная от потенциальной энергии замкнутой
системы по времени имеет вид:
dU
dt
n
=
1å=
i
r
¶
U
&
.
×
r
(12.2)
r
i
¶
r
i
2. Системы, находящиеся во внешних стационарных и потенциальных
силовых полях. Для таких систем можно ввести функцию полной потенциальной
энергии, причем
rr
K
n
21
rrr
e
)(
21
K
),,,(),,,(
1
åå
2
= =
nin
1 1
j
rrr
-+=
rrUrrrUrrrU
),(
(12.3)
jiijn
а ее полная производная по времени определяется выражением (12.2).
3. Системы, находящиеся во внешних нестационарных потенциальных
силовых полях. Для систем, принадлежащих к данному классу, также возможно
введение функции полной потенциальной энергии, однако она будет явно зависеть от времени:
rr
K
n
21
rrr
e
)(
K
21
nin
1
),,,,(),,,,(
åå
2
= =
j
1 1
rrr
(12.4)
-+=
rrUtrrrUtrrrU
),(
jiijn
и поэтому ее полная производная по времени будет определяться выражением:
dU
dt
U
n
+
t
1å=
i
¶
=
¶
r
¶
U
&
.
×
r
(12.5)
r
i
¶
r
i
4. Все прочие свободные механические системы. К этому классу мы отнесем системы, находящиеся в вихревых силовых полях; системы, подверженные
воздействию сил трения и т. д. Поведение таких систем подчиняется уравнениям
движения общего вида (8.8).
Контрольные вопросы
1. Что изучает динамика?
2. Что называется материальной точкой?
3. Как формулируется закон Галилея – Ньютона?
4. В чем заключается прямая задача динамики?
5. Какая схема решения основной задачи динамики?
6. В чем заключается вторая (обратная) задача динамики?
7. Как определить проекции силы в декартовой системе координат?
8. Чему равна проекция силы в системе естественных осей?
9. Чему равны проекции силы в полярных координатах?
10. В каком порядке следует решать обратные задачи динамики?
32
ГЛАВА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
n
3
n
3
=
rrrrr
r
n
6
£
n
6
=
=
r
r
=
=
r
r
=
=
a
rrrrr
r
rrrrr
r
=
n
3
=
rrr
n
6
n
3
§ 13. Первые интегралы уравнений движения
Состояние движения свободной механической системы, состоящей из п
частиц, полностью определяется заданием
декартовых координат и
проекций
скоростей всех частиц, входящих в данную систему:
,,,;...;,,;,,;,,
ì
í
&&
î
&
&&
&
333222111
&&
&
333222111
zyxzyxzyxzyx
nnn
(13.1)
&&
&
.,,;...;,,;,,;,,
zyxzyxzyxzyx
nnn
В процессе движения системы переменные (13.1) изменяются. Тем не менее
можно указать такие функции
);,;,...,,(
nn
(13.2)
ftυ,...,υυrrrf
02121
aa
параметров (13.1) и в общем случае времени t, которые при движении системы
сохраняют постоянные значения
f
определяемые начальными условиями.
0
a
,
Функции (13.2) называют первыми интегралами дифференциальных урав-
нений движения (или интегралами движения).
Общее число s независимых первых интегралов движения свободной механи-
ческой системы
причем максимальное число интегралов
,
существует у
такой системы, для которой возможно полное разделение переменных в дифференциальных уравнениях движения. В этом случае общее решение динамической
задачи может быть представлено в виде:
,21
где
6321
nii
,...,C,C,CC
– произвольные постоянные интегрирования. Дифференци-
n
6321
,...,n),)(i,...,C,C,C(t;Crr
(13.3)
руя (5.6) по времени, получим еще n векторных равенств вида:
6321
nii
,...,n),)(i,...,C,C,C(t;Cυυ
(13.4)
.21
Решая систему уравнений (13.3) и (13.4) относительно постоянных интег-
рирования
где ).,;,...,,;(
C , находим:
a
,621),;,...,,;(
n),...,,(Cυ,...,υυrrrtС
nn
aa
02121
aa
υ,...,υυrrrtCС
(13.6)
020100201000 nn
(13.5)
Наряду с первыми интегралами движения у механических систем могут
существовать и вторые интегралы. Вторыми интегралами уравнений движения
называют функции времени, координат частиц и
произвольных постоянных,
имеющие вид:
),;,...,,;(
f,...,CCCrrrtf
, (13.7)
032121
bb
f
где
– постоянные значения функций
0
b
виями. Можно показать, что совокупность
(13.2) или
вторых интегралов (13.7) эквивалентна общему решению системы
nn
f
, определяемые начальными усло-
b
независимых первых интегралов
дифференциальных уравнений движения, а знание каких-нибудь s первых интегралов дает возможность понизить порядок sдифференциальных уравнений
движения и тем самым существенно упростить решение динамической задачи.
33
Не все первые интегралы движения выполняют одинаково важную роль в
=
rrrrr
r
U
U
¶
механике. Среди них есть несколько таких интегралов движения, постоянство
которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с симметрией пространства и времени – их однородностью и изотропностью.
Указанные первые интегралы движения, имеющие вид:
),;,...,,(
fυ,...,υυrrrf
, (13.8)
02121
nn
aa
выделяют в особую группу и называют законами сохранения. Помимо связи
законов сохранения (13.8) с симметрией пространства и времени есть еще ряд
причин, заставляющих выделять указанные первые интегралы движения в особую
группу. Во-первых, все сохраняющиеся величины типа (13.8) обладают важным
общим свойством аддитивности. Существование у механической системы
интегралов движения общего типа (13.2) можно определить, зная к какому
классу свободных механических систем относится рассматриваемая система.
Отмеченные особенности интегралов движения (13.8) возводят их в ранг
наиболее фундаментальных законов природы – законов сохранения.
§ 14. Законы сохранения и изменения механической энергии
В формулировке любого закона сохранения главным является указание
класса механических систем, для которого та или иная физическая величина
сохраняется. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать
следующим образом: механическая энергия сохраняется в процессе движения у
замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях; указанный закон сохранения является следствием
однородности времени.
У замкнутых механических систем полная потенциальная энергия состоит из
внутренней потенциальной энергии парного взаимодействия частиц:
nin
1
)(
21 j
),...,,(
n
i
åå
2
1 1
j
= =
rrrrr
. (14.1)
)(
rrUUrrrU
-==
iij
Вследствие однородности времени потенциальная энергия (14.1) не может
быть явной функцией времени t.
Полная потенциальная энергия системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, не является явной функцией t, складывается из ее внутренней
части
)(t
и внешней части
)( e
, описывающей взаимодействие системы с
внешним силовым полем:
n
)()()(
21
n
ie
e
)(),...,,(
i
i
i
nin
1
ååå
2
1 11
j
= ==
rrrrrr
(14.2)
).)((
jirrUrUUUrrrU
¹-+=+=
j
iij
Из выражений (14.1) и (14.2) видно, что полную производную по времени от
потенциальной энергии как замкнутой системы, так и системы, находящейся в
стационарном потенциальном силовом поле, можно записать в виде:
n
r
dU
å
dt
i
34
=1
u
U
. (14.3)
×=
r
i
r
¶
i
Систему дифференциальных уравнений движения можно записать в виде:
¶
u
u
r
r
2
d
m
i
i
dt
Умножая i-е уравнение системы (14.4) скалярно на вектор
U
-=
¶
=
r
r
i
.21 ,...,n),(i
(14.4)
и учитывая
i
равенство:
2
m
uu
æ
ç
è
ö
iii
, (14.5)
÷
2
ø
m
r
d
u
ii
dt
d
=×
dt
получим новую систему уравнений:
d
dt
m
u
æ
ii
ç
2
è
r
U
ö
÷
ø
¶
,...,n),(i
×-=
u
i
=
r
r
¶
i
(14.6)
,21
2
равносильную системе (14.4). Складывая почленно уравнения (14.6) и изменяя в
левой части получаемого при этом равенства, порядок выполнения операций
суммирования и дифференцирования, получим в результате уравнение:
d
dt
2
n
m
æ
ç
è
u
ii
2
i
n
r
¶
ö
÷
åå
==
i
ø
U
(14.7)
,
×-=
u
r
i
¶
11
r
i
которое, используя выражение (14.3), можно окончательно записать в виде:
2
n
d
dt
m
å
i
u
2
1
=
æ
ç
è
ö
ii
+
U
(14.8)
.0
=
÷
ø
Уравнение (14.8) показывает, что в процессе движения у замкнутой механической системы и системы, находящейся в стационарном потенциальном поле,
сохраняется скалярная величина:
n
1
å
2
i
=
2
u
ii
1
=+=
.
constUmE
(14.9)
Сохраняющуюся величину Е называют полной механической энергией
системы; она складывается из двух существенно различных членов: кинетиче-
ской энергии
n
1
=
å
2
=
i
2
,
mT
u
ii
1
(14.10)
зависящей от скоростей частиц, и потенциальной энергии U, зависящей от их
координат. Нетрудно видеть, что полная энергия обладает свойством аддитивности: если пренебречь взаимодействием частиц, то полную энергию замкнутой
системы и системы, находящейся в потенциальном силовом поле, можно представить в виде:
n
;
å
i
=
где
E – полная механическая энергия отдельной частицы. Механические системы,
i
EEE
i
i
1
m
u
2
ii
+==
r
)(
e
(14.11)
),(
rU
i
у которых полная энергия сохраняется, принято называть консервативными.
Для механических систем, находящихся в нестационарных потенциальных
силовых полях, тоже можно ввести понятие о полной потенциальной энергии
35
как сумме потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле, явно за-
UTE
+
=
dtdU/
r
u
rrr
u
rrr
-
Рис. 3.1
висящем от времени, и энергии взаимодействия частиц, входящих в систему:
nin
)(
e
21
1
),,...,,(
2
и понятие о полной механической энергии
åå
1 1
j
= =
rrrrr
(14.12)
),)((
jirrUtrrrUU
¹-+=
j
iijn
, которая в отличие от
консервативных систем не сохраняется. Можно показать, что полная механическая
энергия указанных систем изменяется по закону:
)(
e
dE
dt
U
¶
=
.
(14.13)
t
¶
Чтобы получить этот закон, необходимо использовать более общее выражение для полной производной
dE
dt
:
)(
e
n
r
¶
U
=
¶
å
t
i
¶
U
.
×+
u
i
1
=
(14.14)
r
¶
r
i
Рассмотрим теперь случай, когда внешние силы, действующие на механическую систему, не являются потенциальными. Для таких систем сохраняется
сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия частиц. Для исследования
B
энергетических превращений в подобных системах
используют теорему об изменении кинетической
энергии.
Чтобы получить эту теорему, продифферен-
A
X
Z
0
цируем выражение (14.10) для кинетической энергии системы по времени; в результате получим:
n
Y
i
uu
ii
n
rr
åå
d
mdmdT
ii
dt
11
i
==
r
i
.
rd
×=×=
(14.15)
i
Снова обратимся к дифференциальным урав-
нениям движения системы, которые, учитывая непотенциальный характер действующих на нее внешних сил, следует записать в
виде:
n
)(
e
å
1
i
=
=+=
ij
).,...,2,1(
niFF
(14.16)
m
d
i
i
dt
i
Подставляя (14.16) в (14.15), получаем дифференциальную формулировку
теоремы об изменении кинетической энергии:
n
)(
e
i
i
n
ååå
i
1 11
inj
= ==
)(
ji
¹
r
(14.17)
.
rdFrdFdT
×+×=
i
ij
Таким образом, полный дифференциал кинетической энергии системы равен
сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на
частицы системы.
Можно указать и интегральную формулировку теоремы (14.17). Допустим,
что система за время
каждая из частиц системы при этом перемещается вдоль кривой
перемещается из области A в область B (рис. 3.1), а
tt
12
BA соответст-
ii
36
вующей траектории. Интегрируя уравнение (14.17) по интервалу времени
-
+=D
A
-=D-=
.
UTA
D+D
=
A
A
0)(<D+
D
U
T
å
r
r
r
r
e
rrr
+
=
e
r
получим:
tt
12
,
)()( ie
(14.18)
,
AAT
где
( ) ()
12
n
r
() () () ()
e
å
ò
=
i
È
BA
r
e
i
i
i
n
åå
= =
inj
1 11
( )
¹
j
1
r
r
e
×=×=-=D
rdFArdFAtTtTT
.,,
i
ij
ò
È
BA
iiii
(14.18а)
Если взаимодействие между частицами системы имеет потенциальный характер, то работу внутренних сил
)( i
можно выразить через изменение потен-
циальной энергии взаимодействия частиц
)()()(
1
)(
iiii
)()(
tUtUUA
(14.19)
2
и переписать равенство (14.18) в виде:
)()( ie
(14.20)
Отсюда видно, что работа
)(e
, производимая над системой внешними
силами, идет на изменение кинетической энергии системы и энергии взаимодействия частиц, составляющих рассматриваемую систему. Работа внешних
сил
)(e
может быть как положительной, так и отрицательной; последнее имеет
место, если на систему действуют диссипативные силы (например, силы
трения) со стороны окружающей механическую систему среды. В этом случае
i
следовательно, механическая энергия системы убывает. Однако это
,
не означает исчезновения энергии вообще: наличие сил трения приводит к превращению механической энергии в энергию теплового движения молекул среды.
§ 15. Закон сохранения импульса замкнутой системы и теорема
об изменении импульса для незамкнутых систем
Для замкнутой механической системы наряду с энергией сохраняется век-
=
mP
торная величина
u
, называемая импульсом. Этот закон сохранения яв-
ii
i
ляется следствием однородности пространства, в силу которой потенциальная энергия
замкнутой системы, зависящая только от рас-
0
Рис. 3.2
стояний
изменяется при любом параллельном переносе
системы как единого целого в пространстве.
Параллельный перенос системы (рис. 3.2)
rr
- между частицами системы, не
ji
представляет собой такое преобразование, при
котором все ее частицы смещаются на один и тот же отрезок, а их радиусывекторы преобразуются по закону:
'
.
rr
ii
Изменение потенциальной энергии замкнутой системы при ее параллельном
переносе на бесконечно малый вектор
формально можно записать в виде:
37
¶
¶
n
0
¹
e
r
¶
¶
å
r
r
rrr
r
å
r
r
e
U
×=D×
åå
==
i
.
(15.1)
r
¶
r
11
i
U
n
=D
U
¶
i
r
r
r
r
i
i
Однако на самом деле вследствие однородности пространства никакого
изменения потенциальной энергии системы не происходит.
Отсюда, учитывая, что
, делаем вывод: для замкнутой механической
системы
U
å
=ni
¶
r
i
. (15.2)
01=
r
Обратимся к системе дифференциальных уравнений движения (14.4),
которую, учитывая постоянство масс частиц, перепишем в виде:
d
dt
r
( )
m
u
U
=
ii
=
r
r
¶
i
).21( ,...,n,i
(15.3)
Суммируя почленно эти уравнения и учитывая равенство (15.2), находим:
å
=ni
m
u
r
ö
.01=
÷
ii
ø
(15.4)
d
dt
æ
ç
è
Отсюда видно, что импульс замкнутой системы сохраняется:
==
u
i
ii
.constmP
(15.5)
Но так как векторное равенство (15.5) эквивалентно трем скалярным:
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
å
å
å
&
==
constxmP
iix
i
&
==
iiy
i
&
==
constzmP
iiz
i
,
constymP
,
(15.6)
,
то можно сказать, что с однородностью пространства связаны три первых интеграла движения замкнутой механической системы (15.6). Аддитивность вектора
импульса системы очевидна из его определения:
;
i
i
(15.7)
iii
mppP
u
==
независимо от того, можно или нельзя пренебрегать взаимодействием между
частицами в системе.
Для замкнутой механической системы градиент от ее потенциальной энер-
гии по координатам i-й частицы:
i
)(
n
¶
U
¶
r
i
¶
U
-º
rr
¶
r
i
r
=
F
å
ij
(15.8)
=
i
1
равен геометрической сумме сил, действующих на указанную частицу со
стороны всех остальных частиц, входящих в данную систему. Равенство (15.2)
означает, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в
механической системе (как в замкнутой, так и в незамкнутой), равна нулю:
nin
åå
1 1
= =
j
¹
F
ij
)(
ji
.0
=
(15.9)
38
Импульс незамкнутой механической системы не сохраняется, и его изме-
r
å
r
r
r
P
r
r
r
r
K
¢
O
¢
K
¢
P
r
K
¢
K
¢
r
u
r
u
¢
r
rrr
P
r
P
¢
r
ååå
rrr
r
rrr
å
=
нение со временем определяется законом:
r
Pd
,K
=
(15.10)
dt
e
где вектор
=
)(
FK
(15.11)
i
i
называется главным вектором внешних сил (этим термином подчеркивается, что
геометрическую сумму внешних сил, действующих на механическую систему,
в общем случае нельзя свести к равнодействующей силе, так как силы
F
)(e
i
имеют различные точки приложения).
Чтобы получить теорему об изменении вектора импульса незамкнутой
системы (15.10), продифференцируем вектор
по времени; это приводит к ра-
венству:
n
d
m
u
i
,
i
dt
dt
Pd
=
å
=
i
1
которое, используя уравнения движения незамкнутой механической системы в
форме (15.16), можно затем переписать в виде:
nin
)(
e
ååå
rr
).(,
jiFF
¹+=
1 11
= ==
ij
j
dt
n
Pd
i
i
Отсюда, учитывая, что внутренние силы системы удовлетворяют равенству (15.9), мы и получим теорему об изменении импульса незамкнутой механической системы (15.10).
§ 16. Теорема о движении центра масс
В произвольном движении механической системы всегда можно выделить
два элемента: движение системы как единого целого и относительное перемещение частиц в самой системе. Для исследования такого движения необходимо
проследить за ее поведением одновременно из двух систем отсчета: неподвижной системы отсчета K, связанной с наблюдателем (лабораторная система отсчета или, кратко, л-система), и подвижной системы отсчета
какой-нибудь точкой
Допустим, что обе системы отсчета K и
выясним, как преобразуется вектор импульса
счета K к системе
, находящейся внутри исследуемой механической системы.
являются инерциальными, и
при переходе от системы от-
. Если система отсчета
движется относительно систе-
, связанной с
мы K со скоростью
счета связаны соотношением
пульса
и
в тех же системах отсчета дается формулой:
где
V
, то скорости
¢
0
==
ii
i
i
¢
+
= V
uu
ii
¢
+
uu
ii
и
i
¢
0
¢
0
i
mM
i
есть полная масса механической системы.
39
частиц в указанных системах от-
i
Поэтому связь между векторами им-
mVmmP
, или
i
(16.2)
i
¢
+
= VMPP
, (16.1)
¢
0
Существует такая система отсчета
с
K
¢
0
=
P
r
cVMPr
r
=
с
K
¢
P
¢
r
cVr
r
r
r
å
r
=
¢
å
r
r
Рис. 3.3
, связанная с некоторой точкой С, в
которой импульс механической системы
¢
. При этом формула преобразо-
вания (16.1) принимает вид:
. (16.3)
Точку С называют центром масс механической системы, а подвижную
систему отсчета
системой). Так как импульс механической системы
, связанную с этой точкой, – системой центра масс (или ц-
в ц-системе равен нулю,
то говорят, что механическая система покоится в ц-системе. Это утверждение
является естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной
точки.
Скорость
центра масс, определяемая формулой:
r
P
cV
1
==
MM
å
r
m
u
, (16.4)
iii
приобретает смысл скорости движения механической системы как единого
целого (или скорости ее поступательного движения).
Записывая формулу (16.4) в виде дифференциального уравнения:
Rd
1
c
=
å
Mdt
i
m
rd
i
i
dt
интегрируя это уравнение, получим явное выражение для радиус-вектора центра масс в л-системе (рис. 3.3):
rm
å
iii
(6.5)
m
i
i
K
R
r
=
c
(Постоянная интегрирования при этом
C
выбрана так, чтобы радиус-вектор точки С в
ц-системе обращался в нуль, если принять
0
i
0
rm
i
).
Введя понятие центра масс механической системы, вернемся к теореме об изменении вектора импульса (15.10). Подставляя
в указанное равенство новое определение импульса механической системы
(16.3), получим уравнение:
M
cVd
dt
r
e
=
å
)(
F
, (16.6)
i
i
называемое теоремой о движении центра масс. Эта теорема утверждает, что
центр масс механической системы движется как некоторая фиктивная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Отсюда следует, что внутренние силы, действующие в механической системе, не изменяют вектора импульса системы, следовательно, не оказывают никакого влияния на движение ее центра масс. Примером, ставшим классическим,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]