Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

может служить движение снаряда, разрывающегося в воздухе: центр масс его

å

r

rrr

r

u

r

u

¢

r

rrr

r

å

r

2

вн

осколков (если пренебречь сопротивлением среды) движется так, как если бы снаряд продолжал двигаться неразорвавшимся. Та же самая теорема (16.6) лежит в основе ракетодинамики.

Для замкнутой механической системы 0)(=

e

F

i

и из уравнения (16.6)

находим:

)(; cRctVtcRconstcV

+==

. (16.7)

0

Таким образом, закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр масс движется равномерно и прямолинейно.

С понятием центра масс связана важная теорема о кинетической энергии механической системы, называемая теоремой Кенига. Эта теорема утверждает, что кинетическую энергию механической системы можно представить в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии ее поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно се центра масс, т. е.

1

2

+=

2

mMVT .

å

i

2

¢

( )

u

iiC

(16.8)

в ц -

i

Скорость системе соотношением сV

отдельной частицы в л-системе связана с ее скоростью

i

¢

+

=

uu

ii

1 2

. Подставляя это равенство в определение

кинетической энергии системы, получим:

1

2

+=

i

Отсюда, учитывая, что по определению вектор импульса

1

¢

+

iiC

2

mmcVMVT .

åå

i

¢

( )

uu

ii

2

¢

=

¢

mP

u

в ц-

ii

i

системе равен нулю, мы и приходим к теореме (16.8).

С помощью теоремы Кенига (16.8) полную механическую энергию замкнутой системы можно записать в виде:

1

,

2

EMVE += (16.9)

внC

nin

где

Энергию

E называют внутренней энергией системы. Важность этого по-

вн

=

1

u

2

i

1

2

¢

+

)(

ii

2

ååå

= =

1 1

UmE

. (16.10)

ij

j

нятия становится очевидной, если обратиться к рассмотрению таких замкнутых механических систем, как атомы, молекулы или атомные ядра. Как показывает квантовая механика, только эта часть полной механической энергии может квантоваться, т. е. принимать дискретный ряд дозволенных значений.

§ 17. Закон сохранения момента импульса замкнутой системы

и теорема об изменении механического момента для незамкнутых систем

Закон сохранения момента импульса для замкнутых механических систем является следствием изотропности пространства, в силу которой механические

41

свойства замкнутой системы не меняются при повороте системы как единого

[

]

r

0)(=

D

U

r

[

]

rrr

[

]

å

r

целого относительно произвольного направления в пространстве на любой угол.

Это преобразование механической системы аналогично вращению абсолютно твердого тела относительно закрепленной оси. Если произвести поворот

системы на бесконечно малый угол

j

D , то радиусы-векторы ее частиц получат

приращения:

.iirr

j

D=D

При этом изменение потенциальной энергии системы формально можно записать в виде:

() ()

i

¶

()

i

=DºD

UU

U

r

å å

¶

r

i i

i

j

é ê ë

æ

rr

ç

rr

ii

ç è

i

ù

ö

¶

U

÷

¶

r

.

ú

÷

i

ø

û

-×D=D×

Однако никакого изменения потенциальной энергии замкнутой системы при ее повороте как целого в действительности не происходит, и чтобы удовле-

творить требованию

i

при произвольном jD , необходимо принять:

i

U

ù

ö ÷

.0)(=

r

÷

¶

r

i

ø

(17.1)

ú û

å

é

æ

r

¶

ç

-

r

ê

i

ç

i

è

ë

Умножим левую и правую части каждого дифференциального уравнения движения системы векторно на радиус-вектор

r

соответствующей частицы,

i

получаем новую систему уравнений:

)(

i

é

pd

r

é ê

ë

ù

i

r

i

ú

dt

û

æ

r

¶

ç

r

-=

ê

i

ç è

ë

U

¶

ù

ö ÷

r

ú

÷

r

i

ø

û

=

).,...,2,1(

ni

Замечая далее, что

d

dt

[ ]

pd

rr&rrr

é

+=

ê ë

ù

i

dt

=

ú û

rprpr

iiiii

pd

é ê

ë

ù

i

r

,

i

ú

dt

û

(17.2)

перепишем полученную систему уравнении в виде:

)(

i

d

dt

[ ]

é

æ

rrr

¶

ç

rpr

-=

ê

iii

ç è

ë

U

¶

ù

ö ÷

r

ú

÷

r

i

ø

û

=

).,...,2,1(

ni

(17.3)

Суммируя почленно уравнение (17.3), находим:

)(

i

d

dt

æ ç

è

[ ]

i

é

æ

rrr

ö ÷

åå

ii

i

ø

¶

ç

-=

rpr

ê

i

ç è

ë

U

ù

ö ÷

,

r

ú

÷

¶

r

i

ø

û

откуда, учитывая равенство (17.1), окончательно получаем:

rr

dt

æ

d

ç

å

i

è

[ ]

pr

ii

ö

.0=

(17.4)

÷ ø

Уравнение (17.4) показывает, что в процессе движения замкнутой механической системы сохраняется векторная величина:

==

ii

i

,constprL

(17.5)

называемая моментом импульса (или механическим моментом) системы. Векторное равенство (17.5) равносильно трем скалярным:

42

ì

å

r

rrr

r

rrrrr

r

rrr

r

L

r

L

r

ï ï

ï í

ï ï ï

î

å

i

å

i

å

i

&

( )

&

( )

&

=-=

constyzzymL

iiiiix

&

=-=

iiiiiy

&&

=-=

iiiiiz

,

constzxxzmL

(17.6)

,

constxyyxmL

.

Таким образом, помимо интегралов энергии и трех проекций импульса замкнутая механическая система обладает еще тремя первыми интегралами движения (17.6), вытекающими из изотропности пространства, так что в целом у замкнутой системы существует семь интегралов движения, связанных с симметрией пространства и времени.

Вектор момента импульса любой механической системы складывается из моментов

L отдельных ее частиц:

y

=

LL

i

; ][

i

prL

=

iii

.

(17.7)

для любой системы является величиной аддитивной.

Закон сохранения (17.5) механического момента замкнутой системы можно рассматривать и как следствие третьего закона Ньютона. Воспользуемся с

n

этой целью соотношением

å

r

F

ij

i

U

¶

-=

и перепишем равенство (17.1) в виде

r

¶

i

nin

åå

r

Fr

iji

j

(17.8)

.0][ =

Векторные величины типа ][

Fr

называют моментами сил. Поэтому ра-

iji

венство (17.8) означает, что геометрическая сумма моментов всех внутренних сил, действующих в механической системе (как замкнутой, так и незамкнутой), равна нулю. Это утверждение является прямым следствием третьего закона Ньютона. В равенство (17.8) моменты внутренних сил входят только парами типа:

].[][

FrFrN

+=

ijjijiij

Но мы предполагаем, что внутренние силы, действующие в системе, удовлетворяют третьему закону Ньютона, т. е.

FF

-= и );(

ijji

rrF

--- поэтому каж-

jiij

дая такая пара моментов сил обращается в нуль:

FrrN

.0])[( =-=

ijjiij

Таким образом, равенство (17.8) и закон сохранения момента импульса для замкнутых механических систем можно рассматривать как следствия, вытекающие из третьего закона Ньютона.

В определение механического момента системы личие от импульса системы значение вектора

0

Рис. 3.4

общем случае существенно зависит от выбора на-

0’

чала координат в одной и той же системе отсчета.

входят радиус-векторы частиц, поэтому в от-

в

Допустим, что начало координат смещено из точки

43

O

в точку

O

¢

a

r

¢

r

rrr

+¢=

å

rrrrr

o

rrr

r

L

r

L

r

P

r

L

r

K

¢

rrr

ååå

å

rrrrrrrrr

r

å

r

å

r

с

K

¢

rrr

r

å

rrr

r

L

r

L

r

на расстояние

(рис. 3.4). При этом радиусы-векторы

r

и

r

i

од-

i

ной и той же частицы относительно указанных начал координат связаны соотношением

.arr

ii

Подставляя это соотношение в определение механического момента (17.7),

получаем:

¢

=

L ],[][

o

+

papr

или ].[ Pa

iiii

i

L

o

+

=

¢

(17.9)

Из этой формулы видно, что только в том случае, когда механическая система как целое покоится (т. е. 0=Pr), ее момент не зависит от выбора начала координат. Поэтому при вычислении вектора

, если используется не ц-система,

а какая-нибудь иная система отсчета, необходимо указывать (фиксировать) начало координат. Эта неопределенность вектора

не сказывается на законе его сохранения. Объясняется это тем, что у замкнутой системы вектор импульса также сохраняется; поэтому если сохраняется oL

Выясним, как преобразуется механический момент торной системы отсчета K к системе отсчета с

то сохраняется и вектор .oL

¢

при переходе от лабора-

, связанной с центром масс

механической системы. Радиусы-векторы и импульсы отдельных частиц системы при таком переходе преобразуются по законам: cRrr

¢

+

= Подстановка этих соотношений в равенство (17.7) дает:

или ].[][][

.cVmpp

iii

¢¢

=

r

=

+

i

rr

¢¢

+

¢

RprL ],[][][][

r

é

RprL

ê ë

+

iiii

c

ù

¢

iiii

c

ú

i

û

¢

+

Vrmp

ii

i

+

c

rrr

¢

ååå

Vrmp

ii

i

c

Rm

i

RM

+

cVc

rrr

(17.10)

cVc

¢

+

=

ii

и

Отсюда, учитывая, что

¢

=

i

,0=

Pp

PVM

= и 0=

c

i

rm

ii

(последнее равенство является следствием того, что начало координат системы отсчета

совпадает с центром масс), окончательно находим:

],[ PRcLL

(17.11)

c

¢¢

prLc ][

(17.12)

ii

где вектор

+=

=

i

называют собственным механическим моментом системы.

Тем самым доказана теорема, аналогичная теореме Кенига: момент им-

пульса механической системы складывается из ее собственного момента относительно системы отсчета, в которой она покоится как целое, и момента ][ PcR связанного с ее поступательным движением.

Сохранение у замкнутой механической системы полного момента

в то же время и сохранение каждого из векторов c

и ][ PcR

в отдельности.

означает

Для незамкнутых механических систем имеет место следующая теорема: момент импульса незамкнутой механической системы не сохраняется, и его изменение со временем определяется законом:

44

,

r

å

rrr

L

r

rrr

u

r

-==-==-==

-

F

r

,

yOz

xOz

xOy

(

)

[

]

å

rrr

L

r

N

r

O

¢

a

r

o

rrr

r

å

r

o

r

.aKrr

--

Ld

dt

где вектор

,N

= (17.13)

e

=

i

)(

FrN ][

ii

носит название главного вектора моментов внешних сил.

Для доказательства сформулированной теоремы продифференцируем век-

(17.14)

тор

m

по времени t и воспользуемся уравнениями движения системы в форме:

d

i

dt

e

)(

+=

FF

å

i

В результате получим:

ij

j

.

Ld

dt

n

r

ii

i

nin

e

+=

ååå

1 1

= =

r

')(

],[][

FrFr

j

iji

(17.15)

откуда, используя равенство (17.8), мы и приходим к теореме об изменении механического момента незамкнутой системы (17.13).

.,,

yFxFFhNxFzFFhNzFyFFhN

(7.16)

где сти

,, FFF проекции вектора

321

и

.

123 xyzzzxyyyzxx

соответственно на координатные плоско-

Введением термина «главный вектор моментов внешних сил» в теореме (17.13) подчеркивается, что геометрическую сумму

=

i

e

FrN

ii

моментов внешних сил, действующую на механическую систему, нельзя в общем случае свести к моменту некоторой результирующей силы. Так же, как и у ме-

ханического момента

, значения вектора

существенно зависят от выбора

начала координат в одной и той же системе отсчета. Нетрудно показать, что при переносе начала координат из точки O в некоторую точку

на расстояние

(рис. 3.4) главный вектор моментов внешних сил преобразуется по формуле

N

=

где -=

o

e

)(

FK

главный вектор внешних сил.

i

¢

Из этой формулы видно, что векторы

только в двух случаях: а) если ,0=K

т. е. рассматриваемая система покоится

или движется как целое равномерно и прямолинейно; б) если

],[ Ka

+

(17.17)

N

и

совпадают между собой

,

N

¢

o

Инвариантностью главного вектора моментов внешних сил относительно переноса начала координат широко пользуются при решении задач статики твердого тела. Практическое значение уравнения (17.13) состоит в том, что оно полностью описывает произвольное вращение механической системы как единого целого (т. е. такое ее вращение, при котором систему можно рассматривать как абсолютно твердое тело).

45

Обратимся к одному из скалярных уравнений, полученному проецирова-

Oz

F

r

j

r

å

Oz

dt

P

r

L

r

P

r

L

r

(

)

r

нием уравнения (17.13), например, на ось

dL

z

dt

;

:

() ()

e

( )

å

i

-==

iyizz

e

FyFxNN

ixi

(17.18)

и рассмотрим вращение относительно указанной оси некоторого абсолютно твердого тела.

Допустим для простоты, что на это тело действует только одна внешняя

сила

координатам ),(

где J – момент инерции тела относительно оси

, момент которой относительно оси Oz равен

.

FhN =

zz

Переходя от декартовых координат частиц этого тела

в плоскости, перпендикулярной оси Oz, можно показать, что

i

&&

i

iiiiiz

i

2

==-=

ii

. Подстановка выражений

(17.19)

к их полярным

),(iiyx

&&

,)(

jrj

JmxyyxmL

(17.20)

(17.19) и (17.20) в (17.18) приводит к уравнению:

2

d

j

J =

2

.

Fh

(17.21)

z

Это известное из курса общей физики дифференциальное уравнение вра-

щения твердого тела относительно неподвижной оси Oz.

§ 18. Симметрия внешнего силового поля и сохранение отдельных со-

Несохранение импульса

ставляющих импульса и механического момента

и механического момента

у незамкнутой системы не исключает в общем случае возможности сохранения отдельных составляющих этих векторов. Сохранение отдельных составляющих импульса и механического момента у незамкнутой системы можно заранее предвидеть, исходя из симметрии внешнего силового поля, в котором она находится. Особенно просто этот вопрос решается для систем, находящихся в потенциальных силовых полях. Для таких систем можно сформулировать две теоремы, устанавливающие связь между симметрией поля и сохранением отдельных составляю-

щих импульса

и механического момента

системы.

Прежде чем сформулировать эти теоремы, выясним, какую форму принимают известные теоремы об изменении составляющих импульса и механического момента для указанных систем.

Если все внешние силы, действующие на механическую систему, являются потенциальными, то теорему об изменении вектора импульса можно представить в виде:

e

¶

Pd

dt

U

i

-=

å

i

46

,

(18.1)

r

¶

r

i

)()(

r

l

r

l

r

¶

r

)

(

r

f

r

l

r

U

l

r

l

r

=

(

)

y

Oz

Q

Q=Q=Q

=

j

где -= )(

e

i

e

i

rUU

потенциальная энергия i-й частицы системы во внешнем си-

i

ловом поле. Умножая уравнение (18.1) скалярно на единичный вектор

, опре-

деляющий некоторое направление в пространстве, получим:

)(

e

¶

U

i

×-=×

(18.2)

r

¶

r

i

Так как

å

r

l

i

r

Pd

.

l

dt

– постоянный вектор, левая часть равенства (18.2) может быть

представлена в виде:

r

l

В курсах математики показывается, что

функции

где

)( e

– потенциальная энергия всей системы во внешнем поле. Таким образом,

по направлению

r

l

i

, поэтому

e

U

¶

i

×

r

¶

i

dt

Pd

dt

=

i

r

d

dP

l

lP

.)(

=×=×

(18.3)

dt

f

fl

=× grad

есть производная от

dl

)()(

e

U

¶

i

¶

æ¶¶

=

ç

ååå

ll

è

ö

)(

e

U

=

÷

i

ø

)(

e

U

¶

,

(18.4)

l

¶

уравнение (18.2), характеризующее изменение со временем проекции импульса на направление

, окончательно принимает вид:

)(

dP

dt

l

e

U

¶

-= (18.5)

.

l

¶

Из уравнения (18.5) вытекает следующая очевидная теорема 1: если при параллельном переносе как целого механической системы, находящейся во

внешнем потенциальном поле, вдоль некоторого направления

)(

потенциальная энергия не изменяется (т. е. 0/

e

=¶¶ lU

в пространстве ее

), то у такой системы

сохраняется проекция вектора импульса на указанное направление (т. е.

constP

l

).

Рассмотрим теперь, какую форму для интересующих нас механических систем принимает уравнение (17.18). С этой целью представим сумму моментов

углу учитывая, что декартовы координаты частиц ),,( ми

внешних сил относительно оси Oz в виде:

N

z

æ

¶

ç

-=

å

ç

i

è

-

xN .

iz

¶

y

i

Рассмотрим некоторую функцию

φ , характеризующему поворот системы как целого относительно оси

z

формулами:

r

)φ,,(

zii

ö

¶

y

i

¶

e

)(

÷

U

(18.6)

i

÷

x

i

ø

zyx ,,

и найдем ее производную по

iii

zyx связаны со сферически-

iii

rzryrx

.cos,sinsin,cossin

(18.7)

iiiziiiziii

Указанную производную можно представить в виде:

¶

x

y

¶

j

¶

y

¶

=

¶

i

+

j

¶

x

iz

¶

y

¶

i

+

j

¶

y

iz

¶

y

¶

z

iz

æ

z

i

=

j

z

¶

ç

x

ç è

-

i

¶

y

i

ö

¶

÷

(18.8)

,

y

i

÷

¶

x

i

ø

,

47

так как

¶

Oz

Ox

Oy

=

a

r

=

Oxy

A

¢

B

¢

Ox

Oy

Oz

Oxy

A

X

0 B Z Y BA’ m

x

i

-=

φ

¶

z

y

i

,

y

i

=

φ

¶

z

i

,

x

i

φ

¶

.0

=

z

Отбрасывая в обеих частях уравнения (18.8) функцию ψ, получаем операторное равенство:

x

i

¶

y

-

y

i

=

i

x

¶

.

(18.9)

φ

¶

zi

Отсюда видно, что

e

N

r

-=

i

)(

U

¶

i

¶

-=

z

æ

¶

ç

åå

¶

è

z

ö

e

)(

U

÷

i

ø

e

)(

U

¶

-=

φφφ

¶

z

,

следовательно, уравнение (17.18) можно окончательно представить в виде:

dL

z

-=

dt

При выводе уравнения (18.10) выбор оси

)(ze

U

¶

.

(18.10)

φ

¶

был совершенно случаен: с тем же успехом можно было бы рассмотреть повороты системы относительно осей Oxи Oy. Поэтому, проецируя векторное равенство (17.13) на оси

и

мы получим точно такие же уравнения. Это означает, что вместо (18.10) можно записать более общее уравнение:

dL

a

dt

или

e

¶

U

-=

φ)(¶

a

Ld

-=

dt

),,( zyx

)(

e

¶

U

.

(18.11б)

r

φ

¶

(18.11a)

,

Из полученного уравнения (18.11) вытекает теорема 2: если при повороте

как целого некоторой механической системы, находящейся во внешнем потенциальном поле, относительно какой-нибудь оси координат a ее потенциаль-

)(

ная энергия не изменяется (т. е. 0φ/ ется проекция момента импульса на указанную ось, т. е. constL

e

U ), то у такой системы сохраня-

=¶¶

a

.

Пример 1. Частица в однородном поле (например, частица массой m в од-

нородном поле притяжения Земли). Определить сохраняющиеся составляющие

импульса и момента импульса.

Однородное силовое поле можно рассматривать как поле, создаваемое бесконечной однородной плоскостью

(рис. 3.5).

Из соображений симметрии очевидно, что все точки воображаемых прямых

и проведенных через точку пространства, занятую частицей, параллельно осям

и

, а

также все точки окружности, проходящей через ту же точку пространства и лежащей в плоскости, перпендикулярной оси

, экви-

валентны по отношению к плоскости

Рис. 3.5

48

,

.

Отсюда следует, что потенциальная энергия частицы в однородном поле не из-

Ox

Oy

Oz

P

r

L

r

=

).

(

r

U

L

r

rrr

r

rrr

r

u

r

O

¢

r

=++

cba

,

L

r

L

r

Рис. 3.7

0

0’

m

меняется при ее переносе вдоль осей

и

и повороте относительно оси

. Следовательно, у частицы в однородном поле сохраняются две составляю-

щие вектора

Пример 2. Частица в центрально-симметрическом поле

и одна составляющая вектора

x

,constP

y

, а именно:

,constP

z

.constL

Опреде-

лить сохраняющиеся составляющие момента импульса.

Эквипотенциальными поверхностями в

Z

таком поле являются концентрические сферы с центром в точке O, называемой центром поля.

U(r)=const

m

Из рис. 3.6 видно, что поворот частицы в поле

U(r) относительно любой оси декартовой системы координат, связанной с центром поля, не

0

Y

X

Рис. 3.6

может привести к изменению ее потенциальной энергии. Поэтому все три проекции

LLL ,, момента импульса частицы и сам век-

zyx

тор

где ][

сохраняются:

u

mrL = и

0

u

000

r

,][

constLmrL ===

(18.12)

,

0

начальные значения

0

радиуса-вектора и скорости частицы.

К этому выводу можно также прийти, если использовать теорему об изменении

механического момента частицы ][ Fr

Ld

= и учесть, что силу, действующую на

dt

r

частицу в центрально-симметрическом поле, можно представить в виде

r

dU

F

-= . Речь в данном случае идет о сохранении момента импульса частицы

r

dr

относительно центра поля: если перенести начало координат из центра поля O в

произвольную точку

Ld

(рис. 3.7), то 0][ ¹

O

dt

=¢Fr

r

¢

, следовательно, вектор OL

не

¢

сохраняется.

Из закона сохранения (18.12) вытекает суще-

ствование второго интеграла движения частицы:

Lr

0=×

O

(18.13а)

или

0

czbyax

(18.13б)

. Это

где

– постоянные проекции вектора

есть уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору

и проходящей через центр поля O. Таким

49

образом, траектория частицы, движущейся в центрально-симметрическом поле

)

(

r

U

)

(

r

U

2

r

, представляет собой кривую, лежащую в плоскости.

Плоское движение материальной точки наряду с линейной скоростью можно характеризовать секторной скоростью. Секторная скорость частицы, движущейся в центрально-симметрическом поле

r

1

fd

mdt

constL

==

O

.

(18.14)

, сохраняется:

Это означает, что радиус-вектор частицы за равные промежутки времени описывает равные площади. Поэтому закон сохранения (18.12) часто называют интегралом площадей. В небесной механике он известен как второй закон Кеплера.

Контрольные вопросы

1. Какие функции называют первыми и вторыми интегралами уравнений

движения?

3. Как формулируется закон сохранения механической энергии?

4. Чему равна работа силы потенциального поля?

5. Какую величину называют полной механической энергией системы?

6. Как записывается теорема об изменении кинетической энергии в диффе-

ренциальной форме?

7. Как формулируется теорема об изменении кинетической энергии

системы материальных точек в интегральной форме?

8. По каким формулам определяется кинетическая энергия твердого тела

при поступательном движении; вращении вокруг неподвижной оси; вращении вокруг неподвижной точки; плоском движении?

50