Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

С учетом равенств (49.18) частное решение исходной системы дифферен-

b

=+=

abw

q

w

q

циальных уравнений движения (49.13) можно окончательно представить в виде:

ti

w

jj

a

aa

).,,2,1()( sjeBtx

K=×D=

(49.19)

Общее решение задачи дается суммой s частных решений (49.19). Переходя после суммирования по a к действительной части, мы можем записать это решение в виде:

s

ì í î

jj

a

w

×D=

a

aa

Совокупность функций (49.20) содержит s2 произвольных постоянных

s

ü

ti

ý

åå

j

11

==

a

þ

bw

aaaa

).,,2,1()cos(Re)(

sjtbeBtx

K=+×D=

(49.20)

b

a

и

, определяемых из начальных условий, и поэтому является общим инте-

a

гралом системы уравнений Лагранжа (49.13) или общим решением задачи о малых колебаниях консервативной системы с s степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия.

3. Нормальные координаты.

Полученное общее решение задачи (49.20) показывает, что изменение со временем каждой обобщенной координаты системы

)(tx

представляет собой

j

наложение s гармонических колебаний:

),,,2,1()cos( stb K

(49.21)

).,,2,1()(

(49.22)

совершающихся с частотами

Величины

можно рассматривать как новые обобщенные координаты

a

aaaa

, равными собственным частотам системы, т. е.

a

s

sjtx

å

a

q

jj

1

=

aa

K=×D=

системы. Эти координаты называют нормальными (или главными), а описы- ваемые ими гармонические колебания – нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты s-мерной системы, определяемые соотношениями

(49.21), удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

2

&&

aa

==+

awq

(49.23)

).,,2,1(0

sK

Это говорит о том, что уравнения движения системы в нормальных координатах распадаются на s независимых друг от друга уравнений, и поэтому нормальные колебания системы являются полностью независимыми.

Таким образом, с помощью нормальных координат задача о свободных колебаниях s-мерной механической системы сводится к исследованию колебаний совокупности s независимых между собой линейных гармонических осцилляторов.

Контрольные вопросы

1. Какая механическая система называется линейным гармоническим

осциллятором?

2. Какая сила называется обобщенной квазиупругой силой?

3. Как определяется амплитуда и фаза свободных колебаний одномерной

механической системы?

151

4. Как определить лагранжиан гармонического осциллятора при наличии

внешнего переменного поля?

5. Какой вид имеет уравнение движения осциллятора в отсутствии сил трения?

6. Как определить закон малых колебаний осциллятора при отсутствии сил

трения?

7. Как определить амплитуду вынужденных колебаний?

8. Как получить закон малых колебаний осциллятора вблизи резонанса?

9. Какие колебания называют биениями?

10. Какой вид имеет уравнение Лагранжа механической системы, на которую

действуют силы вязкого трения?

11. По какому закону изменяются свободные затухающие колебания одно-

мерной системы?

12. Как описываются свободные затухающие колебания в случае малого

сопротивления?

13. Как описываются свободные затухающие колебания в случае большого

сопротивления? В предельном случае?

14. Какой вид принимает уравнение Лагранжа при вынужденных колебаниях

механической системы при наличии сил вязкого трения?

15. Как определить амплитуду и фазу вынужденных колебаний при наличии

сил вязкого трения?

16. Как определить лагранжиан многомерной механической системы?

17. Как найти общее решение задачи о малых многомерных колебаниях?

152

ГЛАВА 9. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ

r&&r

rrr

K

¢

rrr

r

w

r

rrr

¢¢¢

zyx

,

¶

¢

K

¢

2

K

¢

rrr

K

¢

K

¢

r

¢

r

u

¢

r

[

]

rrrrr

СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

§ 50. Уравнения движения материальной точки относительно произвольной неинерциальной системы отсчёта

В инерциальных системах отсчета (ИСО) справедливы законы Ньютона, а

Frm

уравнение движения свободной материальной точки имеет вид

=

. На практи- ке часто приходится рассматривать движение тел относительно произвольным образом движущихся неинерциальных систем отсчета (НИСО). Выясним, какой вид имеют уравнения движения материальной точки в таких системах отсчета.

Рассмотрим сначала случай, когда все силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, потенциальные. При решении поставленной задачи естественнее всего исходить из инвариантности уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований обобщенных координат механической системы, вытекающей из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского.

Проследим за движением какой-нибудь свободной материальной точки M из двух систем отсчета: инерциальной системы отсчета K с началом координат в

kji

точке O и с ортами лом координат в точке

,,

и произвольной неинерциальной системы

¢¢¢

kji

и ортами

O

,,

(рис. 1.10), способной перемещаться

с нача-

относительно системы K поступательно с ускорением венной угловой скоростью

. Радиусы-векторы точки M относительно указанных

W

и вращаться с мгно-

¢

O

систем отсчета связаны между собой соотношением:

¢

+

=

),(tRrr

¢

O

(50.1)

являющимся точечным преобразованием одного набора ее обобщенных коор-

zyx

динат

,,

к другому набору

. Уравнения движения материальной

точки (в случае, когда на нее действуют только потенциальные силы) имеют вид:

и

где

L

d

dt d

dt

¶

u

¶

u

0

r

m

LL

¶

000=

r

(в системе отсчета K) (50.2)

r LL

-

¢

¶

2

u

0=

r

(в системе отсчета

¢

) (50.3)

r

)(

rU

-=

(50.4)

лагранжиан частицы в инерциальной системе отсчета K и L – ее функция Лагранжа относительно неинерциальной системы отсчета

(символом

dtd /

условились обозначать такое дифференцирование по времени t, при котором

¢¢¢

kji

орты

,,

системы отсчета

считаются постоянными).

Чтобы найти явный вид уравнений движения частицы (50.3) относительно произвольной НИСО Лагранжа (50.4) к новым переменным

, необходимо произвести преобразование функции

и

, характеризующим движение час-

тицы в указанной НИСО. Это можно сделать с помощью теоремы сложения скоростей:

¢

=

153

¢

O

¢

++

.)( rtV

wuu

Подстановка этого выражения в функцию Лагранжа (50.4) и замена в по-

r

¢

r

(

)

212

2

{

}

rrr

r

(

)

2

dt

(

)

2

u

¢¶¶

r

¢¶¶

¶

r

¶

r

¶

[

]

u

r

¢

¶

¢

[

]

u

¶-=¢

¢

rrr

r

¶

¢

тенциальной энергии

L

=

0

)(rU

радиуса-вектора

2

¢

u

r

mm

+

2

¢

[ ] [ ] [ ]

+

rr

r

на

¢¢

2

++

дают:

rr

¢

{ }

¢¢

OO

rr

¢

+

wuwuw

rr

¢

(50.5)

).(

rUrVmVmrmr

-

С помощью формулы сложения скоростей можно показать, что

rr

[ ]

+

¢

wu

¢

{ }

rr

¢

WrmrVm

-=

d

+

dt

¢

.)(tVrm

¢¢¢

OOO

Кроме того, кинетическую энергию переносного поступательного движения

mV

2

2/

можно представить как

¢

O

dttdf /)(

, где

)(tf

– некоторая функция

времени. Поэтому выражение (50.5) можно переписать в виде:

2

¢

L

0

u

=

r

mm

+

2

¢

[ ] [ ]

+

rr

¢¢

-

wuw

r

rr

¢

-

d

¢

rUWrmrmr

{ }

++

r

rr

¢

.)()()(

tVrmtf

¢¢

OO

Функция Лагранжа любой механической системы определена с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени. Поэтому, отбрасывая в полученном выражении последний член, мы можем окончательно представить лагранжиан частицы относительно произвольной НИСО в виде:

2

¢

L

u

=

r

mm

+

2

¢

[ ] [ ]

+

rr

¢

×

-

wuw

r

rr

¢

O

r

¢

).(

rUWrmrmr

-×

(50.6)

rL

Для вычисления производных

/L

и

/

, входящих в уравнение

(50.3), вычислим предварительно вариацию функции L:

r

¢

×

rr

r

¢

[ ]

rmm

r

×

r

¢

=

×

{ }

=

[ ][ ] [ ] [ ]

+

¢

+

rrr

¢

+

-

ì í î

¶

r

U

r

¢

r

¢

+

×

r

¢

O

rr

r

rr

r

[ ][ ] [ ]

++

¶

¢

.rmrmWm

U

r

¢

r

×

r

¢

r

=

dddwuudwdwwudud

r

¢¢

¢

+

O

¢

rWmrmrmrrmmL

-

×-

¢

rr

¢

ü ý þ

×

r

duwwwudwu

Отсюда следует, что

rr

¢

,

uwww

mrmWm

rr

¢

.

uww

и

rr

L

¢

¶

r

d dt

U

¢

dt

--

¢

O

¢

=

+

-=

rr

¢

¶

r

L

r

¶

u

L

r

u

¶

d

=

m

¢

r

¢

[ ][ ] [ ]

[ ]

r

&

¢

-

rr

r

¢

rmm

wu

[ ]

+

mrm

Таким образом, искомое уравнение движения частицы относительно произвольной НИСО имеет вид:

m

rr

d

dt

U

--

¢

¶

r

O

r

¢

[ ][ ]

r

&

¢

-

[ ]

mrmrmWm

rr

¢

.2

uwwww

(50.7)

Если силы, действующие на частицу, не являются потенциальными, то ее уравнение движения относительно той же системы отсчета, как показывает принцип экстремального действия, должно иметь вид:

d dt

¶

u

TT

,F

=

-

r

¢

r

¶

(50.8)

154

где T – кинетическая энергия частицы, представленная с помощью теоремы

r

¢

u

r

¢

[

]

r

¢

u

[][

]

[

]

r&rrrrrrr

[

]

rrr

r

u

r

¢

K

¢

rrr

r

[

]

[][

]

rrr

r&r

[

]

r&r

K

¢

[][

]

rrr

r

¢

r

w

r

u

r

¢

w

r

K

¢

Рис.

9.1

0'

(

)

r

сложения скоростей как функция переменных

и

. Уравнение (50.8) прини-

мает вид:

m

rr

d

dt

--=

¢

O

r

¢

[ ][ ]

r

&

¢

-

rr

¢

[ ]

uwwww

.2 FmrmrmWm

+

(50.9)

Вводя обозначения

П)(

К)(

и

пер

W

кор

¢

--=-=

¢

O

-=-=

d

=

dt

uw

mWmJ 2

,

-

¢

(50.11)

¢

,

rmrmWmWmJ

www

(50.10)

уравнение движения частицы (50.9) относительно произвольной неинерциальной системы отсчета

П)(

Вектор

J

называют силой инерции переносного движения частицы; он

можно представить в виде:

¢

К)(П)(

.

JJFWm

++=

(50.12)

равен произведению массы частицы на взятое со знаком минус переносное ускорение. Сила инерции (50.10) в общем случае складывается из двух состав-

ляющих: силы инерции частицы и силы инерции

движения, состоящей, в свою очередь, из силы инерции неравномерностью вращения системы отсчета

Wm¢-

от переносного поступательного движения

O

¢

-

¢

rmrm

www

от ее переносного вращательного

rm¢-

w

, обусловленной

, и так называемой центро-

бежной силы инерции:

лежащей в плоскости векторов

(цц.б.

и

-=

и направленной по перпендикуляру от

¢

,

rmJ

ww

(50.13)

мгновенной оси вращения (см. рис. 9.1, на котором указаны также и направле-

ния двух других составляющих силы инерции (50.10)).

К)(

Вектор

частицы на взятое со знаком минус кориоли-

J

, равный произведению массы

совое ускорение, называется силой инерции

ц.бJ

Кориолиса. Кориолисовая сила инерции (50.11) перпендикулярна плоскости векторов

и

.

Сравнение уравнений движения материальной точки (50.12) относительно произвольной НИСО с ее уравнениями движения в инерциальных системах отсчета показывает,

что уравнения движения Ньютона в отличие от уравнений Лагранжа не являются инвариантными по отношению к преобразованию (50.1), связанному с переходом от инерциальной системы отсчета K к произвольной НИСО

. Из уравнений (50.12)

155

видно также, что об неинерциальности какой-либо системы отсчета можно

r

K

¢

=

w

r

rrr

2

r

¢

u

r

¢

K

¢

2

r

K

¢

судить по наличию в уравнениях движения дополнительных сил инерции, обращающихся в нуль только в инерциальных системах отсчета.

Введение сил инерции

П)(

J

и

К)(

J

позволяет сохранить для неинерциальных систем отсчета второй закон Ньютона и придать уравнениям движения (50.12) такую же форму, как и в инерциальных системах отсчета. Однако это сходство уравнений движения (50.12) с уравнениями Ньютона в ИСО чисто формальное.

В инерциальных системах отсчета единственной причиной ускоренного движения какого-нибудь тела являются силы, действующие на него со стороны других тел. В неинерциальных системах отсчета ускорение тела нельзя полностью объяснить действием сил со стороны других конкретных тел, так как часть этого ускорения обусловлена изменением состояния движения самой системы отсчета. Принято считать, что так же, как и в инерциальных системах отсчета, ускорения материальных тел в НИСО вызываются только силами, при этом наряду с обычными силами взаимодействия вводятся и «необычные» силы инерции.

Силы инерции вполне реальны, так как их всегда можно измерить. Происхождение сил инерции также объясняется взаимодействием материальных тел, однако не взаимодействием данного тела с другими отдельными телами, а его взаимодействием со всей совокупностью тел Вселенной, по отношению к которым неподвижна исходная инерциальная система отсчета K. Рассмотрим случай, когда система отсчета

движется относительно системы K поступательно и

равноускоренно 0(

и

W

¢

O

. Уравнение свободного движения )0( =F

const)=

материальной точки относительно такой неинерциальной системы отсчета имеет вид:

¢

Отсюда следует, что

-=

O

¢

или

=

uu

,

WmWm

¢

-

,0tW

¢

O

.

WW¢-=

O

r

rr

¢

+

=

1

¢

-

u

00

2

,

tWtrr

¢

O

(50.14)

(50.15)

r

где точки относительно системы отсчета

0

и

– начальные значения радиуса-вектора и скорости материальной

0

.

С другой стороны, движение свободной частицы массой m в однородном гравитационном поле относительно инерциальной системы отсчета K описывается, как известно, уравнениями:

r

=

rr

¢

+

=

¢

,,

=

r

rrr

¢

+

uuu

000

r

1

2

.

tgtrrtggW

+

(50.16)

Аналогия, описываемая уравнениями (50.14) и (50.16), составляет суть так называемого принципа эквивалентности, утверждающего, что ускоренное движение какой-нибудь системы отсчета невозможно отличить от наличия однородного гравитационного поля. Но реальные поля тяготения изменяются при переходе от одной точки пространства к другой. Поэтому нельзя указать такую систему отсчета

, движущуюся относительно инерциальной системы K поступательно и равноускоренно, чтобы ее ускорение в любой точке пространства по своему действию было эквивалентно полю тяготения. Поэтому

156

эквивалентность ускоренного движения системы отсчета гравитационному полю

K

¢

(

)

r

¢

u

K

¢

rrrrrrr

r

[

]

rrrrr

[][

]

[][

]

å

rrrrrrrrr

[

]

r

K

¢

K

¢

r

[

]

[][

]

å

rrrrrrr

r

w

r

P

r

K

¢

всегда следует понимать в локальном смысле (т. е. как факт, имеющий место только для достаточно малых областей пространства).

§ 51. Теоремы об изменении импульса, механического момента и кинетической энергии относительно произвольных НИСО

Пусть механическая система, состоит из п взаимодействующих между собой частиц, движется относительно произвольной неинерциальной системы отсчета

где

. Функцию Лагранжа уравнения движения можно представить в виде:

r

1

å

i

m

ì í î

i

=

¢

( )

2

d

i

dt

+

e

i

r

[ ]

å

i

e

i

22

¢

+

n

')(

1

=

å

i

rr

¢

[ ]

×

wuwu

n

rr

|)(

FF

-=+

ij

1

=

r

rr

-

ü

¢

×

ý

¢

Oiiiiii

r

-

r

¢¢

,),,,(

K

1

trrUWrrrmL

(51.1)

n

þ

rrrr

)К()П(

iiij

U

¶

r

¢

r

¶

i

K

=+++=

=

K

,),,1(

niJJFF

(51.2)

).,,2,1(

ni

(51.3)

Найдём связь между импульсом, моментом импульса и кинетической энергии в двух системах отсчета: инерциальной системе K (нештрихованные величины) и произвольной неинерциальной системе отсчета

(штрихованные

величины):

¢

=

=+

¢¢

++

¢

[ ]

.,

rVRrr

wuu

(51.4)

iOiiOii

Эти соотношения имеют вид:

¢

=

¢

=

¢

=

TT

MV

2

++

2

¢

O

++

¢

¢¢

r

×++

где M – полная масса механической системы и масс в системе отсчета

. Формулы (51.5) существенно упрощаются, если на-

чало координат неинерциальной системы

¢

,

RMVMPP

w

CO

¢¢

+

i

¢

+

,

rrmVRMPRLL

w

(51.6)

iiiOCO

rrr

¢¢

¢

R

C

r

1

¢

+

×+×

å

2

r

2

¢

[ ]

rmLVPRVM

www

i

iiOCO

– радиус-вектор ее центра

совпадает с центром масс механи-

ческой системы. Действительно, полагая в указанных соотношениях

¢

VV

=

и 0=

CO

¢

R

C

¢

, 0=

P

, находим:

T

2

=

2

VM

C

+=

,CVMP

(51.5а)

¢

+

+=

i

r

¢

+

×+

¢¢

,

rrmLPRL

w

1

å

2

(51.6а)

iiiC

r

2

¢

[ ]

.

rmLT

ww

i

ii

И, наконец, полагая в соотношениях (51.6а) и (51.7а) угловую скорость равной нулю, приходим к известным теоремам Кенига.

(51.5)

,

(51.7)

¢

RR

=

¢

(51.7а)

,

CO

Чтобы получить теорему об изменении вектора импульса

¢

механической

системы относительно произвольной неинерциальной системы отсчета

157

, дос-

таточно почленно сложить уравнения движения (51.2). Учитывая при этом, что

r

å

r

ПП

K

r

K

r

[

]

[][

]

[

]

[][

]

{

}

ååå

rrr

r&rrrrr

r&rrr

[

]

[

]

å

rrrrr

K

¢

r

¢

[

]

[

]

¢

[

]

å

r

L

r

K

¢

r

[

]

å

rrr

[

]

å

rrr

[

]

å

rrr

L

r

внутренние силы взаимодействия

F

удовлетворяют третьему закону Ньютона,

ij

получим:

¢¢

Pd

e

dt

где

e

=

)(K

– главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции, которые мож-

e

)()(

FK

– главный вектор внешних сил, действующих на систему, и

i

rrr

)(K(ПП)(

,

KKK

++=

(51.8)

(

но представить в виде

(ПП

¢

--=

Oi

i

)(K

-

ii

i

-=

i

¢

ii

¢

-=

ii

wuw

¢¢

¢

.22

VMmK

(51.10)

C

¢

+-=

+

¢

CCO

;

(51.9)

RRWMrmrmWmK

wwwwww

Полученная теорема (51.8) утверждает, что изменение со временем вектора импульса механической системы, движущейся в неинерциальной системе отсчета

, обусловлено действием на нее как внешних сил, так и переносных и

кориолисовых сил инерции. Из теоремы (51.8) вытекает важное следствие: в не-

инерциальных системах отсчета не может существовать замкнутых систем материальных тел, так как для любой ограниченной системы частиц силы

инерции выступают в роли внешних сил. Поэтому в неинерциальных системах отсчета теряет силу первый закон Ньютона.

Умножая векторно каждое уравнение системы (51.2) на радиус-вектор соответствующей частицы и учитывая очевидные равенства:

d

rrr

d

dt

¢¢

[ ]

=

u

é

rmpr

ê ë

ù

i

¢

iiii

dt

=

ú û

K

,),2,1( ni

получим новую систему уравнений:

n

å

i

=

r

¢

1

=

ijiii

K

.),2,1()(

niFrJJFrpr

(51.11)

d

dt

¢¢

[ ]

rrr

)(

e

¢

=

iiii

rrr

К)(П)(

+++

Складывая почленно уравнения (51.11) и учитывая, что сумма моментов

¢

Fr

всех внутренних сил взаимодействия обращается в нуль, приходим к

iji

ji

,

следующей теореме об изменении момента импульса движущейся относительно произвольной неинерциальной системы отсчета

¢¢

где

Ld

dt

П)()(

e

, NN

и

К)(

N

– главные векторы моментов соответственно внешних сил,

e

NNN

++=

¢

механической системы,

rrr

К)(П)()(

,

(51.12)

:

,

переносных и кориолисовых сил инерции, т. е.

)()(

e

=

i

e

¢

,

FrN

ii

П)(

=

i

П)(

¢

,

JrN

ii

К)(

=

i

Полученная теорема об изменении вектора момента импульса

К)(

¢

.

JrN

(51.13)

ii

¢

еще раз подтверждает справедливость вывода о невозможности существования в неинерциальных системах отсчета замкнутых механических систем.

158

Возможно сохранение у механической системы, движущейся в НИСО,

P

r

L

r

m

w

r

(

)

2

j

r

,

2

r

=

r

T

¢

K

¢

r

[][

]

rrrrrrr

r

(

)

r

(

)

¢

r

T

¢

r

[

]

(

)

r

r&rrr

отдельных составляющих векторов частицу массой

, движущуюся под действием некоторого аксиально-

¢

и

¢

. Рассмотрим в качестве примера

симметрического потенциального силового поля в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью

&

)0( ==

заданного силового поля

W

w

¢

O

. Ее лагранжиан относительно указанной

, параллельной оси симметрии

0

вращающейся системы отсчета имеет вид:

r

¢

L

=

2

¢

u

r

mm

+

2

¢

[ ] [ ]

+

0

r

¢

×

wuw

0

rr

¢

.),(

-

trUrmr

(51.14)

Если в этой системе отсчета ввести цилиндрические координаты

и z,

выбрав ось симметрии заданного силового поля за ось z, то функцию Лагранжа (51.14) можно представить в виде:

m

¢

L

&&

1

2222

&

)(

22

0

2

&

-++++=

0

.),(

tUmmz

rjrwrwjrr

(51.14а)

Отсюда видно, что две координаты частицы z и j являются циклическими и,

следовательно, соответствующие им обобщенные импульсы

,

z

сохра-

j

няются, т. е.

&

z

zm

,const

j

2

&

¢

=+=

z

Чтобы получить закон изменения кинетической энергии

неинерциальной системе отсчета

, умножим каждое из уравнений (51.2) ска-

mLm

2

=+

rwwjrr

00

.const)(

(51.15)

, отнесенной к

лярно на скорость соответствующей частицы:

rrr

r

)К()П(

¢

×++=

u

=

iiii

K

.),,2,1(

niJJF

(51.16)

Здесь через

r

m

u

i

F

обозначена геометрическая сумма всех внешних и внутренних

i

¢¢

d

u

i

¢

×

( )

dt

сил взаимодействия, приложенных к i-й частице механической системы, т. е.

n

rrr

å

i

=

')(

1

=+=

ij

K

.),,2,1(

niFFF

e

ii

Кориолисовы силы инерции не могут производить работу, их мощность:

)К(

¢

-=

×

¢

×

=

mmJ

¢¢

.022

=

uuwuwuu

iiiiiiii

(51.17)

Поэтому систему уравнений (51.16) можно окончательно переписать в виде:

d

dt

2

é

¢

m

ê ë

ù

¢

u

ii

2

r

¢

=

u

ú û

rr

( )

)П(

iii

=+×

(51.18)

.),,2,1(

niJF

K

Суммируя уравнения (51.18), находим:

Td

dt

Изменение кинетической энергии системы

r

å

i

¢

u

=

)П(

+×

.

JF

(51.19)

iii

в единицу времени равно работе, производимой в то же время всеми внешними и внутренними силами взаимодействия и силами инерции переносного движения. Представляя силы

)П(

инерции

J

, приложенные к отдельным частицам системы, в виде:

ц.б.)П(

¢

w

+

iiOii

--=

¢

159

мощность всех переносных сил инерции, действующих на систему, в общем

(

)

å

rrr&rrrrr

K

¢

E

¢

¶

r

rKr

r

å

rrr

r

K

¢

K

¢

0

случае можно представить как сумму трех слагаемых:

ц.б.)П(

¢

i

ii

¢

-=

¢

+

×-×

¢

×

uwu

i

.

FLWPJ

(51.20)

iiO

Выясним, при каких условиях у механической системы, движущейся в не-

инерциальной системе отсчета

, может сохраняться полная энергия

и из

,

чего она складывается. Чтобы полная энергия системы сохранялась, ее лагранжиан (51.1) не должен явно зависеть от времени. При этом полная энергия системы

r

L

å

¢

×

u

i

¶

i

u

¢

E

=

¢

L

-

r

¢

i

оказывается величиной сохраняющейся и равной:

1

¢

=

2

r

2

¢

( )

+

i

ii

=

rr

21

e

¢

K

¢¢¢

),,,(

+

UUUT

i

( )

ц.б.)г()(

rr

¢

=+++

1

-×

¢

Oiin

ååå

2

,const

r

2

¢

[ ]

i

=

rmWrmrrrUmE

wu

ii

(51.21)

где введены следующие обозначения:

)(ne

)г(

( )

ц.б.

=

21

=

i

1

-=

å

2

i

¢¢¢

),,,,(

rrrUU

¢

Oii

r

[ ]

w

¢

=×

r

2

¢

.

rmU

(51.24)

ii

,

WRMWrmU

×

(51.23)

¢¢

OC

(51.22)

Полная энергия консервативной механической системы складывается из ее

кинетической энергии, потенциальной энергии

)(e

U , связанной с наличием

внешних и внутренних сил взаимодействия, потенциальной энергии системы в некотором однородном гравитационном поле

)г(

U и центробежной потенци-

альной энергии (51.24).

§ 52. О динамических и статических эффектах, наблюдаемых при движении тел во вращающихся системах отсчёта

Рассмотрим ряд эффектов, наблюдаемых при движении тел вблизи поверх-

ности Земли, принимая в качестве инерциальной системы отсчета систему

с

K

0

началом координат O в центре масс Солнца и осями, направленными на три

«неподвижные» звезды.

Рис. 9.2

Введем также неинерциальную систему отсчета

с началом координат

в центре масс Земли и

O

жестко связанными с ней осями (рис. 9.2). Система отсчета

участвует вместе с Землей в ее годичном движении по

160