Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
В частности, у шарового волчка, у которого все три главных момента
===
w
r
r
r
r
w
r
r
r
r
K
r
L
r
r
rrr
r
å
rrr
rrrrrrr
r
rrr
)(
инерции одинаковы
JJJJ
321
, момент импульса
L
всегда параллелен
C
вектору угловой скорости
У произвольного твердого тела направления векторов
, т. е.
.
w
JLC=
(53.31)
L
C
и
в общем
случае не совпадают. Совпадение направлений указанных векторов имеет место
только в том случае, если твердое тело вращается вокруг какой-нибудь главной
оси инерции.
§ 54. Уравнения движения твёрдого тела
Полная система уравнений движения свободного твердого тела, обладающего
шестью степенями свободы, должна состоять из шести независимых дифференциальных уравнений второго порядка относительно шести переменных: трех
проекций радиуса-вектора
R
и трех углов, характеризующих пространственную
C
ориентацию твердого тела. В качестве такой системы уравнений можно использовать общие законы изменения импульса и механического момента, применимые к любой механической системе, движущейся относительно инерциальной
системы отсчета
где
– главный вектор внешних сил, действующих на рассматриваемое твер-
K :
O
dt
dt
Pd
Ld
,
rr
==
==
å
å
i
rrr
e
)(
FKK
i
i
r
r
)(
e
,][,
FrNN
0
(54.2)
ii
(54.1)
дое тело, а
ленные для начала O инерциальной системы отсчета
и Nr – момент импульса и главный момент внешних сил, вычис-
K .
O
Второе из этих уравнений можно переписать в более простой форме.
Момент сил
где
N
можно представить в виде:
=
,][
NKRN
+=
CC
e
)(
FrN ][
(54.4)
iiC
i
(54.3)
главный момент внешних сил, вычисленный относительно центра масс C данного
тела. Если учесть также, что
d
LPRL
=+=
dt
],[][,][ KRPR
CCCC
то систему уравнений (54.1), (54.2) можно окончательно представить в виде:
r
C
.,
N
==
C
(54.5)
K
Ld
dt
Pd
dt
Контрольные вопросы
1. Что называется абсолютно твердым телом?
2. Как описать пространственное положение твёрдого тела?
171
3. Как влияет выбор начала системы отсчёта на вывод теоремы сложения
скоростей?
4. Как определить направление мгновенной оси вращения?
5. Чему равна кинетическая энергия твердого тела?
6. Что такое тензор инерции?
7. Как определить главные моменты инерции?
8. Как определить главные моменты инерции тела, обладающего плоскостью
симметрии?
9. Чему равны главные моменты инерции ротатора?
10. Как записывается теорема Штейнера?
11. Как определить механический момент твёрдого тела?
12. Чему равен момент импульса шарового волчка?
172
ГЛАВА 11. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 55. Основные гипотезы и методы механики сплошных сред
Механика сплошной среды (МСС) – обширная часть механики, посвященная
движению газообразных, жидких и твердых тел. В МСС с помощью и на основе
методов и данных, развитых в теоретической механике, рассматриваются движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно,
сплошным образом, и расстояние между точками которых во время движения
меняются.
Кроме обычных материальных тел, рассматриваются особые среды – поля
(электромагнитное поле, поле излучений, гравитационное поле и др.).
Исторически МСС развивалась параллельно с аналитической механикой
системы материальных точек и абсолютно твердого тела. Но ее основные понятия
полей (плотность массы, векторы перемещения и скорость среды, а также законы
сохранения) не могут быть получены как следствия из аналитической механики и
термодинамики.
МСС имеет свою независимую аксиоматику, свои специфические экспериментальные методы изучения свойств среды и развитые математические
методы. МСС включает теорию упругости, пластичности, ползучести, гидро-,
аэрогазовую динамику с теорией плазмы, динамику сред с неравновесными
процессами и фазовыми переходами.
Методы МСС содержат ряд понятий, которые характеризуют и однозначно
определяют движение сплошной среды. Эти понятия должны определяться с
помощью чисел или других математических понятий: поле скоростей, поле
давлений, температур, циркуляция и т. д.
В МСС разрабатываются методы сведения механических задач к задачам
математическим, т. е. к задачам отыскания некоторых чисел или числовых
функций с помощью различных математических операций.
Целью МСС является установление общих свойств и законов движения
деформируемых тел.
Под влиянием МСС ряд отраслей математики получили большое развитие.
Различные проблемы МСС и математические методы их исследования во многих
случаях тесно связаны между собой. Например, исследования движения жидкости в
трубах послужили для объяснения некоторых основных фактов движения жидкости около крыла самолета.
В МСС тело представляют в виде некоторой субстанции (сплошной среды),
называемой материальным континуумом, непрерывно заполняющей объем геометрического пространства. Бесконечно малый объем тела называется частицей.
Все тела состоят из отдельных частиц, их много в любом существенном
для нас объеме. Поэтому тело можно рассматривать как среду, заполняющую
пространство сплошным образом, – гипотеза сплошности. Непрерывным континуумом можно считать не только материальные тела, но и различные поля.
173
Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых с помощью
(
)
(
)
=
Рис.
11.1
y
z
x
O
чисел, которые называются координатами.
Метрическое пространство – это пространство, в котором определены расстояния между точками. Примером метрического пространства может служить
трехмерное евклидово пространство, точки которого задаются с помощью единой
для всего пространства декартовой системой координат x, y, z, и расстояние
между двумя точками которого x1, y1, z
( ) ( ) ( )
21
2
и x2, y2, z
1
21
определяется по формуле:
2
2
2
zzyyxxr -+-+-=
21
На плоскости всегда можно ввести единую для всей плоскости декартову
систему координат. На поверхности сферы этого сделать нельзя. На сфере декартову систему координат можно ввести только в малой окрестности каждой точки.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие пространства, в
каждом из которых можно ввести единую для всех точек декартову систему
координат. Такие пространства называются евклидовыми.
Понятие времени связано с опытом, и оно необходимо в механике. Мы будем
пользоваться абсолютным временем – идеализацией, которая пригодна для правильной реальности не всегда, а только тогда, когда не учитываются эффекты
теории относительности.
Таким образом, мы ввели три фундаментальные гипотезы, с использованием
которых будет строиться теория движения сплошных тел: гипотеза движения
сплошной среды – континуума в евклидовом пространстве с абсолютным
временем.
Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчета –
системе координат. С помощью системы координат устанавливается соответствие
между числами и точками пространства. Для трехмерного пространства точкам
ставятся в соответствие три числа x1, x2, x3, которые называются координатами
точки. Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняются, называются
координатными линиями (рис.11.1)
Условимся через x1, x2, x3 обозначать ко-
ординаты относительно любой (а иногда и де-
3
x
2
x
O
1
x
картовой) системы координат, а через x, y, z –
координаты только относительно декартовой
системы координат, t – время.
Координаты точки зависят от времени:
ii
tfx
=
,
321 ,,i
(55.1)
Движение точки известно, если известны функции (55.1), называемые законом движения точки. Знать движение сплошной среды – это значит знать
движение всех точек. Для этого необходимы правила индивидуализации отдельных, совершенно одинаковых с геометрической точки зрения точек континуума. Индивидуальные точки сплошной среды в начальный момент времени t
1
2
будем задавать двояко: a, b, c или
x
,
x
3
,
x
, а координаты точек в любой мо-
мент времени – x1, x2, x3.
174
Закон движения континуума:
rrD
rrr
(
)
r
D
r
D
r
D
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
r
)
r
)
r
r
r
r
r
r
rrD
r
11
(a,b,c,t)xx
=
22
(a,b,c,t)xx
=
33
(a,b,c,t)xx
=
или
(a,b,c,t)xxii=
(55.2)
Функции (55.2) называются законом движения континуума.
1
2
Координаты a, b, c или
x
,
3
x
,
x
, индивидуализирующие точку континуума и
время t называются переменными Лагранжа.
Основная задача МСС заключается в определении функции (55.2). Мы будем
предполагать, что функции, входящие в закон (55.2), непрерывны и имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.
Пусть x1, x2, x3 – система отсчета наблюдателя, в которой изучается движение
континуума. Эта система координат выбирается произвольно. Вместе с тем в
случае движения сплошной среды нужно ввести еще сопутствующую систему
1
2
координат, например
x
,
3
x
,
x
, образующую подвижную деформируемую систему
координат. Если в начальный момент времени они были выбраны прямыми, то в
следующий момент они будут искривленными.
Точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды опирается на
описание истории движения точки сплошной среды в отдельности. Такое описание на практике оказывается слишком подробным и сложным, однако оно
всегда подразумевается при формулировке физических законов.
Пусть
малое направленное перемещение индивидуальной точки
сплошной среды за время tD. Для индивидуальной точки сплошной среды, т. е. при
1
2
фиксированных
x
,
3
x
,
x
, скорость вычисляется по формуле:
trV
¶¶= /
Через каждую точку пространства проходят три координатные линии, и в
каждой точке пространства
линейные направления
щие ее с точками
r
1
1
,
r
,
2
321
,, xxxM
можно рассмотреть элементарные прямо-
r
, выходящие из этой точки M и соединяю-
3
3211
,, xxxxM D+
,
2
3221
,, xxxxM D+
,
3
,, xxxxM D+
3321
соответственно. В каждой точке пространства можно ввести пределы отношений
i
xr DD /
i
от
или
по соответствующим координатам, по величине будут равны единице.
rxDD /
i
i
. В евклидовом пространстве эти пределы будут частными
Введем обозначения:
i
эxr =¶D /
и
i
будем называть
э
i
и
э
векторами базиса для системы отсчета и для сопутст-
i
вующей системы соответственно. Для декартовой системы координат
jэ
=
, kэ
=
2
.
3
Бесконечно малое перемещение точки сплошной среды
i
эr
=¶Dx/
(55.3)
i
можно разло-
,1iэ
=
жить по векторам базиса:
1
2
1
2
3
эxэxэxr D+D+D=D
(55.4)
3
в сокращенном виде:
3
r
å
=
i
1i
i
D=D=D
эxэxr
i
i
(55.5)
175
Поделив (55.5) на
D
r
r
(
)
r
r
(
)
const
m
=
D
D
D
D
m
D»D
r
u
n
t
, получим скорость точки сплошной среды:
/ эVэVэVэVtrV
1
ii
2
1
3
++==¶¶=
2
3
(55.6)
Ускорение точки сплошной среды является также вектором:
i
эatVa =¶¶=
,
i
i
x
где
/
ii
=
321
taa
,,,
xxx
– компоненты ускорения для индивидуальной точки
сплошной среды.
Если нас интересует не история движения индивидуальных точек среды, а то,
что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке
пространства, связанного с системой отсчета наблюдателя, наше внимание
должно сконцентрироваться на данной точке пространства, в которую приходят
разные частицы сплошной среды. Это и составляет сущность точки зрения
Эйлера на изучение движения сплошной среды.
Геометрические координаты пространства x1, x2, x3 и время t носят название
переменных Эйлера. Движение, с точки зрения Эйлера считается известным,
если скорость, ускорение, температура и другие физические величины заданы
как функции x1, x2, x3 и t. При фиксированном t и переменных x1, x2, x3 эти
функции дают распределение характеристик движения в пространстве в данный
момент времени t; при переменных x1, x2, x3 и t – распределения характеристик
движения в пространстве в разные моменты времени.
Таким образом, с точки зрения Лагранжа, мы интересуемся законами
изменения скорости, ускорения, температуры и других величин для данной
индивидуальной точки сплошной среды, а с точки зрения Эйлера – в данном месте.
§ 56. Динамические понятия и динамические уравнения механики
сплошных сред. Уравнение неразрывности
Фундаментальным законом ньютоновской механики является закон сохранения массы m любого индивидуального объема. Этот закон можно рассматривать как опытно установленный закон природы:
Средняя плотность определяется формулой
нятый массой
V
dV
dS
m
. Истинную плотность определим как предел:
u
n
В механике сплошных сред вместо массы
рассматривают плотность r. Для малого объема
верно равенство
или
dm
dt
0=
.
m
=
r
ср
D
, где
V
V
– объем, за-
m
=
lim
r
V
®D 0
Vm
.
V
D
для конечного объема –
»VdVm
r
S
Рис. 11.2
ò
, где интеграл взят по подвижному объёму.
176
Закон сохранения массы для конечного объема:
ru
t¶¶
r
t¶¶
r
¶
r
¶
r
(
)
r
const
m
=
¶
r
D»D
r
FrD
r
dt
d
dt
dV
r
ò
V
0==
.
dm
Получим уравнение неразрывности. Выделим в сплошной среде объём V,
ограниченный неподвижной замкнутой поверхностью. Сплошная среда при
своем движении частично входит в объем, частично выходит из него. Сама поверхность не влияет на движения сплошной среды.
Через элементарную поверхность dS за единицу времени проходит количество массы сплошной среды
dS
, где u – скорость среды.
n
Через всю поверхность S пройдет количество массы, равное:
dS
ru
ò
S
n
Если эта величина положительна, то получим уменьшение плотности в
точках объема в единицу времени
dV
составит
-
, во всем объеме
-
. В малом объеме
-
dV
ò
¶
V
.
t
dV
это уменьшение
Если масса m сохраняется, то поток сплошной среды через поверхность
должен компенсироваться изменением плотности r в рассматриваемом объёме V:
dm
dt
+=
dS
ru
n
ò ò
S V
¶
=
dV
0
t
.
Это уравнение неразрывности или сохранения массы в интегральной форме.
По формуле Гаусса–Остроградского:
Так как
, то:
dm
0
¶
r
é
==
ò ò
ê
¶
tdt
ë
V V
или
=
n
ò ò
S V
¶
r
=
div
é
+
ê
¶
t
ë
r
0=+
ur
.
+
dVdiv
ur
ú
û
¶
t
ù
( )
dVdivdS
urru
rr
ù
ur
ú
û
.
dVdiv
Это уравнение неразрывности в переменных Эйлера, накладывает ограничения на скорости точек сплошной среды, представляет собой закон сохранения массы.
§ 57. Уравнения движения сплошных сред
Силы, действующее на частицу сплошной среды, разделяются на объемные
силы и поверхностные. Объёмные силы действуют на каждую точку объёма
сплошной среды со стороны других материальных объектов. Масса частицы
Vm
,
объемные силы или массовые (силы тяжести, силы инерции,
электро-магнитные силы). Тогда интенсивность (плотность) массовой силы равна:
r
F
=
lim
V
177
F
D
®D
0
.
V
D
r
Поверхностные силы
PrD
r
S
D
r
r
D
(
)
D
(
)
D
(
)
D
r
D
r
r
DDD
rrr
D
-
r
r
rrrrr
r
a
D=D
b
D=D
g
D=D
3
®
=++
+
gba
rrr
r
gba
3
D
rrrrr
r
-=-=-
=
gba
rrr
r
++=
X A B Y
Поверхностная сила характеризуется её напряжением
распределены по поверхности сплошных сред.
p
(плотностью), т. е.
силой, приходящейся на единицу площади:
Плотность
r
p
=
p
поверхностной силы в каждой точке поверхности может
lim
S
®D
P
D
.
0
быть разной. Через каждую точку пространства могут проходить поверхности
многих выделенных частиц сплошной среды. Возникает задача определения таких
величин, через которые можно выразить напряжение на элементе поверхности
любой из частиц, проходящих через эту точку. Для этого надо знать в точке
тензор напряжений.
Поверхности различных частиц характеризуются направлениями внешних
нормалей к поверхностям этих частиц.
Z
С
),,(
n
gba
Выделим из сплошной среды малую частицу в
форме тетраэдра ОАВС (рис. 11.3), n – внешняя
нормаль к площадке ACB, площадь
S
образует с
n
осями координат углы a, b, g. Нормали к
0
площадкам
OBCS
x
,
отрицательное направление, т.е. направлены
против соответствующих осей координат.
На точку сплошной среды в тетраэдре
Рис. 11.3
объем тетраэдра,
F
– средняя интенсивность объемных сил,
ср
действуют объемные силы: VF
ность среды; поверхностные силы:
Va
срср
Из принципа Даламбера следует, что
rr
cos
SS
nx
,
cos
SS
ny
,
Объем тетраэдра через высоту h можно записать в виде:
Разделим уравнение (4.1) на
где
cos,cos,cos
– направляющие косинусы,
SD
и перейдем к пределу при
n
pppp
---
zyxn
OACS
y
,,
---
--- zzyyxxnncpcpсрср
,
ср
SpSpSp
; силы инерции:
zzyyxx
SpSpSpSpVaVF
cos
SS
nz
OABS
z
D
r
срср
, где
имеют
– средняя плот-
0=D+D+D+D+D-D
(57.1)
.
1
ShV D=D
0
h
0coscoscos
, (57.2)
, получим:
V
–
.
n
т. к.
lim
D
V
®®
S
hh
0lim
==
h
00
.
1
На основании закона о равенстве сил действия и противодействия для
напряжения имеем:
,,
---
pppppp
(57.3)
zzyyxx
Подставим уравнение (57.3) в уравнение (57.2), получим:
coscoscos
pppp
zyxn
178
. (57.4)
Уравнение (57.4) выражает напряжение на наклонной площадке в точке O
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
r
=
=
=
r
r
r
r
u
(
)
r
r
через напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим
через ту же точку.
Для идеальной жидкости напряжениями являются давления, параллельные
нормалям к площадкам. Проецируя уравнение (57.4) последовательно на оси
OX, OY, OZ, получим:
pp
-=-
или
aa
coscos
xn
,
-=-
yn
nzyx
,
ppppp
====
bb
coscos
pp
-=-
zn
gg
coscos
pp
т. е. давление p в какой-либо точке идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки в этой точке (закон Паскаля).
Напряжение на наклонной площадке с нормалью nr через напряжения по
трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормалями к которым являются
оси координат, определяется уравнением (57.4).
Спроектируем это уравнение на оси координат для общего случая:
++=
pppp
zxyxxxnx
ü
gba
coscoscos
ï
++=
pppp
++=
pppp
gba
coscoscos
zyyyxyny
coscoscos
zzyzxznz
ý
ï
gba
þ
Первый индекс указывает на нормаль к площадке, на которой рассматривают напряжение. Второй индекс указывает координатную ось, на которую
проецируют это напряжение.
Компоненты напряжения образуют тензор П вида:
ö
ppp
zxyxxx
÷
ppp
÷
zyyyxy
÷
ppp
zzyzxz
ø
– проекция на ось OY напряжения
xy
,
pp
,
zyyz
pp
. Таким образом,
xzzx
p
– проекция напряжения
xx
р
. Тензор П симметричный, т. е.
х
р
х
æ
ç
=
П
ç
ç
è
на ось OX ,
pp
p
yxxy
напряжение в каждой точке среды есть функция шести величин:
pppppp ,,,,,
.
zxyzxyzzyyxx
§ 58. Уравнения движения в напряжениях
Из второго закона Ньютона для механики следует:
Fam
= или F
m
d
=
dt
или
u
dtFmd
=
Второй закон Ньютона для материального континуума формулируется аналогично: изменение количества движения любого индивидуального объема материального континуума равно импульсу внешних сил (объемных и поверхностных), действующих на этот индивидуальный объем.
179
FrD
PrD
u
r
r
F
r
u
r
u
r
r
r
r
r
(
)
gba
r
r
r
r
r
dt
u
r
r
r
¶
¶
¶
¶
¶+=¶
u
¶
Y
Z
X
gba
P
Возьмем индивидуальный объем V
сплошной среды, ограниченный поверх-
dVF
r
ностью S, на который действуют внеш-
dV
dS
n
SV ,
ние объемные силы
),,(
силы
. Выделим индивидуальную
частицу, объемом
движущееся со скоростью
емные силы сплошной среды
и поверхностные
dV
, плотностью r,
. Тогда объ-
dVF
r
(
–
интенсивность объемной силы), сила
d
dV
r
Рис. 11.4
инерции –
-
dt
движения частицы.
dV
,
– количество
Для всего объёма V объёмные силы
равны
r
d
u
æ
F
ç
ò
è
V
На элемент поверхности dS действует поверхностная сила
ö
dV
dt
r
÷
ø
n
dSp
, где
p
–
n
-
напряжение поверхностной силы в точке поверхности с внешней нормалью
,,n
. Для всей поверхности полная поверхностная сила равна
dSp
ò
S
.
Для выделенного объема V уравнение движения сплошной среды равно:
r
d
u
æ
F 0
ç
è
ö
-
dt
r
÷
ø
r
=+
dSpdV
òò
SV
.
По формуле Гаусса–Остроградского:
=
òò
VS
d
u
æ
ç
ò
dt
è
V
r
++-
rr
dVpgraddSp
ö
=
dVpgradF
0
÷
ø
,
d
откуда
+=
r
d
u
r
dt
r
r
F
p
¶
+=
r
x
¶
pgradF
rr
p
x
i
y
j
+
+
y
¶
r
p
¶
z
k
. (58.5)
z
¶
Полученное уравнение (58.5) является основным дифференциальным
уравнением движения сплошной среды в напряжениях (уравнение количества
движения).
В проекции на оси координат уравнение (58.5) имеет вид:
p
¶
u
x
r
F
dt
y
r
F
dt
¶
u
z
r
F
dt
¶
+=
r
x
x
¶
p
r
y
r
z
+=
180
x
¶
p
¶
x
¶
p
xx
+
y
¶
p
+
y
¶
p
xz
+
y
¶
p
¶
yx
yz
zx
+
+
+
z
¶
p
zyyyxy
z
¶
p
¶
zz
z
¶
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]