Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Вектор ускорения материальной точки можно представить в виде:

rrr

sin

rrr

Рис.

1.7

Рис.

1.8 Z Y

C X

eWeWeWW

++=

jjqq

проекции имеют

где радиальная

, меридиональная

и азимутальная

вид:

),sin(

WrrW

dtdr

,cossin)(

Wrr

=QQ-Q=Q+Q-=

2222222

jjj

§ 4. Кинематика поступательного движения твёрдого тела

Свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы. Положение твердого тела К относительно неподвижной системы декартовых координат Оху (рис. 1.7) будет однозначно определено, если известны координаты трех его точек А, В и С, не лежащих на одной прямой. Между этими координатами существуют три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками А, В и С:

ì ï í ï î

222

=-+-+-

BABABA

222

=-+-+-

CACACA

222

=-+-+-

CBCBCB

,)()()(

constzzyyxx

,)()()(

constzzyyxx

(4.1)

.)()()(

Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение свободного твердого тела в пространстве, равно шести, и следовательно, оно имеет только шесть степеней свободы. Если движение твердого тела ограничено некоторыми дополнительными условиями, то число его степеней свободы может оказаться меньше шести.

Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две его точки, перемещается параллельно самой себе.

Для определения положения какой-либо точки М поступательно движущегося твердого тела введем две системы декартовых координат: неподвижную систему отсчета Охуz и подвижную, жестко связанную с рассматриваемым телом систему отсчета

xhz

с началом координат в точке С (рис. 1.8). Положение подвижного начала координат относительно системы отсчета Охуz определяется радиусом-вектором

, а положение точки М относительно систем от-

счета Охуz и

C соответственно радиусами-векторами

xhz

, при этом

).sin(

rr (4.2)

Из определения поступательного движения следует, что радиус-вектор

процессе движения тела не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Пусть а1, а2, а3 − проекции этого вектора на оси неподвижной системы коорди-

нат, а )(),(),( tztytx

+=+=+

rrr

X M’

M’’ Z

− заданные уравнения движения точки С. Проецируя ра-

CCC

венство (4.2) на оси неподвижной системы отсчета Охуz, находим:

).()(),()(),()(

tzatztyatytxatx

321

(4.3)

CCC

Отсюда видно, что положение любой точки поступательно движущегося тела

полностью определяется заданием трех скалярных функций )(),(),( tztytx

CCC

Независимые параметры, характеризующие пространственную ориентацию твердого тела, в процессе поступательного движения не изменяются и их можно не рассматривать.

Дифференцируя (4.2) по времени t, получаем:

СС

(4.4)

откуда следует, что все точки поступательно движущегося тела имеют одинаковые скорости и ускорения, а траекторию любой его точки М можно получить параллельным переносом траектории точки С. Заметим, что траекториями точек поступательно движущегося тела могут быть самые разнообразные кривые.

§ 5. Вращение твёрдого тела относительно неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела называют такое движение, при котором остаются неподвижными все точки прямой, называемой осью вращения. Если ось вращения закреплена, то говорят о вращении твердого тела относительно неподвижной оси. Чтобы осуществить такое движение, достаточно закрепить какие-нибудь две его точки.

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось z неподвижной системы отсчета Охуz (рис. 1.9). При этом все его точки переме- щаются по окружностям с центрами, лежащими на оси вращения. Поэтому положение любой точки вращающегося твердого тела можно однозначно определить с помощью угла поворота j

плоскости ОМ'ММ" относительно оси z:

).(t

(5.1)

Произведём бесконечно малый поворот те-

ла. Допустим, что в моменты времени t и

указанная точка занимала положение М и

Из рис. 1.9 видно, что с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка модуль приращения вектора

за время

можно

представить в виде:

.sin

qjj

rar ×D=D×=D

(5.2)

Радиус-вектор произвольной точки М твердого тела при бесконечно малом

[

]

tju

r&r

rrr

[

]

[

]

[

]

[][][

]

rrrrr&rrr&r

rrr

’

повороте на угол

Предел отношения t

D приобретает приращение:

.rrjD=D (5.3)

при 0

t называют мгновенной угловой скоростью

вращения:

lim

®D

t 0

(5.4)

– аксиальный вектор, псевдовектор, не имеет точки приложения; направлен

вдоль оси вращения.

Чтобы найти линейную скорость точки М вращающегося тела, разделим обе

части равенства (5.3) на tD и перейдем к пределу при 0

[ ]

где

sinra и

constr

− единичный вектор касательной к траектории точки М.

Формулу (5.5) можно обобщить на случай произвольного вектора

t ; в результате получим:

или ,

(5.5)

, изме-

няющегося со временем только по направлению:

[ ]

(5.6)

относи-

где

constA

− вектор мгновенной угловой скорости вращения конца вектора

тельно некоторого направления в пространстве. В частности, если с вращающимся твердым телом жестко связать декартову систему координат с ортами ,,,

= (5.7)

[ ]

kji

то

000

Полученные соотношения называют формулами Пуассона. Для определения ускорения точки М продифференцируем по времени

равенство (5.5); в результате найдем:

,rrrrW

wweww

где

+=+=

jwe

− вектор углового ускорения.

(5.8)

§ 6. Скорость и ускорение материальной точки в различных системах отсчёта. Теоремы сложения скоростей и ускорений

При решении многих кинематических задач требуется знать законы преоб-

разования скорости

и ускорения Wr материальной точки при переходе от одной системы отсчета к другой. Проследим за движением какой-нибудь материальной точки Миз двух систем отсчета: системы отсчета Охуz и системы О'х'у'z' (первую мы будем условно называть неподвижной системой отсчета K, а вторую – подвижной системой отсчета

Обозначим орты неподвижной системы отсчета K через

, а подвиж-

kji

ной системы отсчета

движется относительно системы K произвольным образом, т. е. она

через

¢¢¢

kji

, зависящие от времени. Допустим, что система

может вращаться с угловой скоростью

rrr

rrrrrrr

rrr

r&r&r&r

rrr

[

]

rrr

¢=¢

[

]

[

]

rrrrr

[

]

rrr

Рис.

1.10

Y Z

XYZ0 0’

’

и перемещаться поступательно.

Положение материальной точки М относительно систем отсчета K и

характеризовать радиусами-векторами положение начала координат O¢ подвижной системы

относительно неподвижной − ра-

будем

, а

диусом-вектором

(рис. 1.10). Из векторного

треугольника OOM¢ имеем:

где ,, kZjYiXRkzjyixr

¢¢

,ORrr

(6.1)

++=++=

(6.1а)

¢¢

.kzjyixr

6.1б)

Дифференцируя равенство (6.1) по времени,

находим:

,OV

(6.2)

(6.3)

,kZjYiX

++==

(6.4)

−

относительно системы

не меняет своей ори-

dtd

обозначены произ-

где

Здесь

− скорость точки M относительно неподвижной системы отсчета K;

ç è

++==

,kzjyix

− скорость той же точки относительно подвижной системы отсчета

скорость поступательного движения системы отсчета

, т. е. такого движения, при котором система отсчета ентации относительно системы K. (Символами водные по времени соответственно при постоянных штрихованных и нештрихованных ортах)

Используя формулы Пуассона (5.7), можно показать, что

( )

¢¢

[ ]

rkzjyix

¢¢

следовательно, полную производную по времени от «штрихованного» радиусавектора

точки Mможно представить в виде:

[ ] [ ]

.rr

wuw

(6.5)

Аналогичное равенство, являющееся обобщением ранее полученной фор-

мулы (5.6), имеет место для любого вектора

= (6.6)

Таким образом, равенство (6.2) можно окончательно записать в виде:

.)( rtV

wuu

(6.7)

Формулу преобразования (6.7) называют теоремой сложения скоростей.

Сумму скоростей

принято называть переносной скоростью точки M.

Такую скорость по отношению к неподвижной системе отсчета K точка M

имела бы в том случае, если бы она была жестко связана с подвижной системой

[

]

rrr

[

]

uuu

rrr

+¢=

rrr

[][

]

r&&r&&r&&r

rrr

[

]

[][

]

rrr

r&rrr

[

]

rrr

[

]

[][

]

rrr

r&r

отсчета

. Переносная скорость точки M

)(

Oпер

rtV

(6.8)

в общем случае складывается из переносной скорости )(tV движения и переносной скорости

вращательного движения. Используя оп-

поступательного

ределение (6.8) переносной скорости, теорему сложения скоростей (6.7) можно переписать в виде:

(6.9)

пер

Отсюда видно, что скорость темы отсчета K равна геометрической сумме ее скорости вижной системы тема отсчета

но (т. е.

и переносной скорости (6.8). В частном случае, когда сис-

движется относительно системы K равномерно и поступатель-

constVO==

), теорема сложения скоростей примет вид:

точки M относительно неподвижной сис-

относительно под-

.OV¢+

(6.10)

Найдем закон преобразования ускорения точки M. Дифференцируя по времени равенство (6.7), получим:

¢¢

[ ][ ] [ ]

rrW

uwwww

(6.11)

где kzjyix

ú û

− ускорение точки Mотносительно неподвижной системы

++==

отсчета K и

kZjYiX

++==

− ускорение поступательного движения системы от-

можно получить с помощью соот-

счета

относительно системы K (или ускорение точки O¢ в K-системе).

Производную по времени от вектора ношения (6.6); она оказывается равной:

[ ]

(6.12)

где

− ускорение точки M относительно подвижной

системы отсчета

. Подстановка выражения (6.12) в (6.11) приводит к сле-

дующей теореме сложения ускорений классической механики:

WWWW

www

(6.13)

корпер

,rrWW

(6.14)

где

Ускорение

, определяемое выражением (6.14), называют переносным

пер

кор

Oпер

+ ¢

(6.15)

ускорением (или ускорением переносного движения точки М). В общем случае оно складывается из ускорений

ускорения

переносного вращательного движения. Часть пере-

www

переносного поступательного движения и

носного ускорения

[

]

r&r

[][

]

rrr

[

]

rrr

¢ur

=wr

rrr

zyx

rrr

[

]

rvr

отлична от нуля только при неравномерном вращении

системы венной оси вращения системы отсчета

; ускорение

всегда направлено перпендикулярно к мгно-

, и поэтому его называют центростре-

мительным.

Ускорение

кор

называют добавочным или кориолисовым ускоре-

нием; оно возникает в результате своеобразного кинематического взаимодействия переносного вращательного движения точки M с ее движением относительно подвижной системы отсчета

. Кориолисово ускорение отсутствует в следующих трех случаях: 1) если точка M жестко скреплена с системой отсчета

, т. е. если так как при этом 0 та

со скоростью

; 2) при поступательном движении системы отсчета

; 3) если точка M движется относительно системы отсче-

, параллельной вектору

§ 7. Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера

Абсолютно твердое тело можно определить как механическую систему, состоящую из бесконечно большого числа материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения сохраняются неизменными. По этой причине свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы.

Твердое тело можно рассматривать двояко: или как дискретную совокупность бесконечного числа материальных точек (такой подход позволяет упростить некоторые выкладки при изучении законов движения твердых тел), или как неко-

торую сплошную среду, совершенно не интересуясь ее внутренней структурой.

Для описания пространственного положения твердого тела введем две системы координат (рис. 1.11): инерциальную систему отчета

К с осями координат

ZYX ,,

ортами

,, kji

и подвижную, жестко свя-

000

занную с телом систему координат K с на-

Рис. 1.11

чалом в центре масс C данного тела. Оси координат подвижной системы и их орты

условимся обозначать через

Для какой-нибудь произвольной точки твердого тела

kji ,,

справедливо век-

торное равенство:

rRr

0 iCi

где в силу абсолютной твердости тела радиус-вектор ко по направлению (т. е.

constr

+= (7.1)

может изменяться толь-

Дифференцируя равенство (7.1) по времени и используя формулу (6.6), находим:

0 iCi

(7.2)

где

[

]

rrr

zyx

yjq

[

]

rvr

rrr

+¢®

[][

]

rvrrr

[

]

rrr

альной системы отсчета же системы отсчета;

сительно системы

– скорость рассматриваемой точки твердого тела относительно инерци-

К ; CV

– скорость центра масс тела относительно той

– угловая скорость вращения системы отсчета K отно-

К .

Если в формулу (7.2) подставить

dtrdii/

;

dtRdV

dtd /

, то

она примет вид:

0 iCi

+= (7.3)

rdRdrd

Формула (7.3) показывает, что произвольное бесконечно малое перемещение

твердого тела можно представить как наложение двух элементарных перемещений: бесконечно малого параллельного переноса твердого тела

, в результате

которого его центр масс C переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат K, и бесконечно малого поворота вокруг оси вращения, проходящей через центр масс твердого тела, в результате которого данное тело приходит в свое конечное положение. Формула (7.3) указывает также, что в качестве шести независимых (обобщенных) координат свободного твердого тела можно принять три координаты

его центра масс (или радиус-вектор зующих ориентацию осей

подвижной системы отсчета K относительно

) и три каких-нибудь угла, характери-

ZYX ,,

ССС

системы

К . В качестве таковых обычно используют углы Эйлера

,, .

Выбор начала координат подвижной системы отсчета K в центре масс тела никак не сказывается на выводе теоремы сложения скоростей (7.2). Это означает, что если начало координат подвижной системы отсчета K выбрать в какойнибудь произвольной точке

, то снова получим теорему сложения скоростей

вида (7.2), т. е.

rV¢¢+=

0 iOi

где

– радиус-вектор точки

A относительно новой подвижной системы отсчета,

вращающейся относительно инерциальной системы

, и

– скорость перемещения нового начала координат

производя в (7.2) преобразование переноса начала координат ( arr

(7.4)

К с угловой скоростью

. С другой стороны,

, где a –

расстояние между точками C и O¢), находим:

raV

++=

wwu

0 iCi

(7.5)

Чтобы выражения (7.4) и (7.5) совпадали, должны иметь место следующие два равенства:

Первое из этих равенств показывает, что угловая скорость

.aVV

(7.6)

, с которой в

данный момент времени система отсчета K, жестко связанная с твердым телом, вращается относительно инерциальной системы отсчета

самой системы K. Это обстоятельство и дает право называть вектор скоростью вращения самого твердого тела. Вектор

, как показывает второе

К , не зависит от

угловой

равенство (7.6), такого абсолютного характера не имеет.

Равенство

[

]

[

]

rrr

[

]

rrr

¢¢¢

[

]

rrr

Рис. 1.12

параллельный перенос вектора

указывает также, что в абсолютно твердом теле возможен

. В связи с этим возникает следующий прак-

тически важный вопрос: нельзя ли выбрать такое направление в пространстве, относительно которого движение тела в любой заданный момент времени можно представить или как чистое вращение, или как наложение вращения и поступа-

тельного перемещения вдоль того же направления? Оказывается, что это всегда можно сделать, при этом указанное направление в пространстве принято называть мгновенной осью вращения твердого тела.

[ ]

При отыскании мгновенной оси вращения сле-

дует иметь в виду два возможных случая:

1) когда

2) когда векторы

V ,

образуют острый или

тупой угол.

Рассмотрим первый случай, когда

При переносе начала координат из точки C в точку O¢ возникает вектор направленный антипараллельно вектору

. Поэтому в данном случае всегда

V (рис. 1.12).

можно подобрать вектор a так, чтобы

.0=+=

aVV

При этом формула (7.4) принимает вид:

0 ii

(7.7)

Таким образом, относительно оси вращения, проходящей через точку O¢, движение твердого тела можно представить как чистое вращение. Поэтому мы можем утверждать, что прямая ОО

является мгновенной осью вращения твер-

дого тела.

Практически для нахождения мгновенной оси вращения твердого тела при

V достаточно найти две его точки, у которых скорость в данный момент

времени равна нулю. Допустим, что однородный цилиндр радиуса R катится без скольжения по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1.13). Очевидно, что в этом случае все точки прямой, по которой цилиндр соприкасается с плос-

костью, имеют в данный момент времени нулевую скорость. Следовательно, эта прямая и является мгновенной осью вращения цилиндра. При этом скорость любой точки цилиндра в рассматриваемый момент времени будет равна

0 ii

В частности, скорость центра масс

цилиндра также можно представить в виде:

,RV

откуда ./ RV

Обратимся теперь ко второму случаю, когда

(

)

()(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

rrrrrrr

(

)

[

]

rrr

(

)

[

]

rrr

¢¢¢

yjq

Рис. 1.

Рис. 1.15

Представляя вектор скорости центра масс

как

V (рис. 1.14).

90<=

сумму двух составляющих

, мы мо-

жем переписать формулу (7.5) в виде:

rVaV

+++=

wwu

0 iCCi

Но вектор a всегда можно подобрать так, чтобы

0=+^aV

. Поэтому полученное выра-

жение для скорости произвольной точки твердо-

[ ]

го тела можно окончательно записать в виде

0 iCi

Таким образом, при

90¹

движение твер-

(7.8)

rV¢+=

дого тела в любой заданный момент времени можно представить как наложение вращения вокруг прямой ОО

и скольжения вдоль той же прямой. Мгновенные оси вращения

твердого тела в технике принято называть винтовыми осями вращения.

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало подвижной системы координат K выбрано в центре масс C тела, и через эту точку проходит и его мгновенная ось вращения.

Рассмотрим, как вводятся эйлеровы углы

,, , характеризующие про-

странственную ориентацию системы координат K, жестко связанной с твердым телом. С этой целью перенесем начало инерциальной системы отсчета

К также в

точку C . Из рис. 1.15 видно, что координатные плоскости XCY и xCy систем отсчета

К и

будут при этом пересекаться вдоль прямой CN , перпендику-

лярной осям Z и z. Эту прямую принято называть линией узлов; ее положи-

тельное направление выбирают так, чтобы поворот вектора

к вектору kr, если

смотреть на точку C вдоль линии узлов, происходил против часовой стрелки. Угол q, называемый углом нутации, определяется как угол между осями Z и z.

Скорость изменения этого угла

всегда направлена вдоль линии узлов CN . Угол j, называемый углом прецессии, оп-

ределяется как угол между неподвижной осью X и линией узлов CN . Скорость

изменения этого угла

направлена вдоль

неподвижной оси Z. Угол y, называемый углом собственного вращения, определяется как угол между линией узлов подвижной осью x. Скорость изменения этого угла

всегда направлена вдоль

оси z подвижной системы координат K. Области изменения углов Эйлера опреде-

pypjp

£££££

ляются неравенствами:

.20,20,0

(7.9)

Все три эйлерова угла изменяются независимым образом: при фиксированных значениях двух из них третий угол может пробегать все значения в области его изменения. Например, угол прецессии j получается поворотом твердого

тела вокруг неподвижной оси Z. Очевидно, что такой поворот можно осуществить, перемещая ось z по конической поверхности

const

, при этом угол y также

сохраняет некоторое фиксированное значение.

Контрольные вопросы

1. Что называется траекторией точки?

2. Какие существуют способы задания закона движения радиуса-вектора

движущейся точки?

3. Как найти уравнение траектории точки в координатной форме?

4. Как выражается радиус-вектор движущейся точки в декартовых коорди-

натах? В цилиндрических координатах?

5. Как связаны декартовы координаты с цилиндрическими? Со сферическими?

6. Что характеризует скорость точки? Ускорение точки?

7. Чему равны скорость и ускорение точки в декартовых координатах? В ци-

линдрических координатах? В сферических координатах?

8. Чему равны проекции скорости и ускорения в декартовой системе координат?

В цилиндрических координатах? В сферических координатах?

9. Что называется секторной скоростью?

10. Как определяется секторная скорость в цилиндрических координатах?

В полярных координатах?

11. Какое движение твердого тела называют поступательным?

12. Что называется вращательным движением твердого тела?

13. Чему равна угловая скорость вращения? Угловое ускорение? Линейная

скорость?

14. Какие соотношения называют формулами Пуассона?

15. Чему равно ускорение точки при ее вращении?

16. Как определить нормальное ускорение? Касательное ускорение? Как

направлены эти ускорения?

17. Какое движение называется абсолютным? Относительным? Переносным?

18. Как формулируется теорема сложения скоростей?

19. Какая скорость называется переносной скоростью?

20. Чему равен модуль абсолютной скорости?

21. Чему равно ускорение поступательного движения подвижной системы

отсчета относительно неподвижной?

22. Как определить ускорение точки относительно подвижной системы отсчета?

23. Как определить величину и направление кориолисова ускорения?

24. Как формулируется теорема сложения ускорений механики?

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]