Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

выкладки, проделанные выше при рассмотрении движения m-частицы в куло-

u

r

a

u

a

-

=

m

=

m

(

)

<<

mg

a

j

a

новском поле притяжения. В результате получим:

p

,cos1je+-=

(23.16)

r

где параметры p и e определяются прежними формулами (23.6).

Уравнение (23.16) показывает, что траекто-

y

2

рией m-частицы в поле (23.15) является гипербола, проходящая мимо центра поля (рис. 4.19).

Центр поля O в этом случае совпадает с внешним фокусом гиперболы.

0

P

1

x

Пример 2. Космические скорости.

Допустим, что телу массой m, находяще-

муся на расстоянии

r от центра Земли (например,

0

последняя ступени космического корабля), в не-

Рис. 4.19

радиуса-вектора (рис. 4.20). Какой должна быть начальная скорость

который момент времени сообщают скорость

, составляющую угол

0

с направлением его

0

тела,

0

чтобы оно стало искусственным спутником Земли (ИСЗ) или межпланетным кораблем?

Задача сводится к исследованию отно-

K’

сительного движения в системе двух тел (ИСЗ массой m и Земли массой M), взаимо-

M

®

r

0

®

u

0

R

0

действующих по закону rU /

. Поэтому

мы можем воспользоваться известным решением (23.5) задачи Кеплера, принимая

и совмещая начало координат с центром Земли

Mm

.

K

Найдем постоянные a, E и L, входящие в

указанное решение. Сила гравитационного

2

/ RGmM на ее поверхно-

. Отсюда

2

Рис. 4.20

притяжения Земли сти (R – радиус Земли) равна

следует, что

gRGM = и потенциальную

энергию ИСЗ в поле притяжения Земли можно представить в виде:

()

rU =-=

a

r

mgR

2

.,

(23.17)

Полная энергия и механический момент ИСЗ в начальный момент времени

соответственно равны:

2

æ

2

E =

ç

-=

0

ç

2

è

ö

2

gRm

÷ ÷

r

0

ø

mrL

(23.18)

.sin,

auu

000

Подстановка постоянных a, E, L из равенств (23.17), (23.18) в формулу

(23.6) приводит к следующему выражению для эксцентриситета e кривых

71

второго порядка, по которым может происходить движение тела в поле притяжения Земли:

2

æ

2

ç

-

0

ç è

1

e

+=

ö

2

gR

r

0

÷

r

0

÷ ø

42

Rg

sin

2202

auu

0

.

(23.19)

Анализ выражения (23.19) показывает, что возможными траекториями рас-

сматриваемого нами тела могут быть:

- гипербола, если ;/

- парабола, если ;/

uu

>

uu

=

- эллиптическая орбита, если ;//

- круговая орбита, если ,/

где

u

9,71»= gR

км/с;

u

rR

020

rR

020

uuu

=<

uu

=

rR

010

2,1122»= gR

км/с – первая и вторая космические ско-

rRrR

02001

рости, вычисленные для поверхности Земли.

Контрольные вопросы

1. Какое движение называется одномерным?

2. Как получить аналитическое решение одномерной задачи?

3. Какие вопросы необходимо выяснить при качественном исследовании

одномерного движения?

4. Какие области называются классически разрешенными областями?

5. Какая область называется потенциальной ямой? Потенциальным барьером?

6. Как определить период колебаний в одномерной потенциальной яме?

7. Какую задачу называют задачей двух тел?

8. Как получить траектории частиц относительно центра масс?

9. Какими формулами описывается абсолютное движение частиц?

10. Что называется приведенной массой частиц?

11. Какая существует связь между скоростями реально существующих

частиц и фиктивной частицей?

12. Чему равна внутренняя энергия системы двух частиц?

13. Чему равен собственный механический момент системы двух частиц?

14. Как описывается характер движения частиц в системах планета –

Солнце?

15. Как описывается характер движения частиц в системах протон – протон?

16. Что называется одномерным эффективным потенциалом?

17. Какой вид имеет общее уравнение траектории частицы, движущейся в

центрально-симметрическом поле?

18. Какие поля называются слабо сингулярными?

19. Какие поля называются сильно сингулярными?

20. Какой вид имеет условие падения на центр?

21. Какая задача называется задачей Кеплера?

72

22. Как находится вид траектории m-частицы и законы ее движения?

23. Как определить фокальный параметр любого конического сечения?

24. Как определить время обращения по эллиптической орбите, т. е. пе-

риод движения?

25. Как формулируется третий закон Кеплера?

73

ГЛАВА 5. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ

-¥

=

t

+¥

=

t

)

(

r

U

-¥

=

t

=

u

r

u

r

u

¢

r

u

¢

r

+¥

=

t

const

E

=

const

P=r,const

L=r

P

r

§ 24. Упругие столкновения частиц

Чтобы познать природу сил, действующих между теми или иными частицами вещества, необходимо исследовать движение частиц, которое вызывается этими силами. С этой целью можно рассматривать как финитное, так и инфинитное движение в системе двух тел. На практике чаще всего используют инфинитное движение, когда одну из частиц тем или иным способом разгоняют до определенной скорости и заставляют пролететь вблизи другой частицы. Процесс взаимодействия частиц в ходе их сближения и разлета называется столкновением частиц, при этом совершенно необязательно, чтобы частицы в процессе столк- новения приходили в непосредственное соприкосновение.

Исследование процессов столкновения служит мощным средством изучения природы ядерных сил и сил взаимодействия между элементарными частицами, изучения структуры отдельных атомов и молекул и исследования строения вещества в различных агрегатных состояниях.

Процессы столкновения частиц можно разделить на два типа: упругие и не- упругие. Столкновение называют упругим, если кинетическая энергия частиц в процессе столкновения сохраняется. При неупругих столкновениях кинетическая энергия сталкивающихся частиц не сохраняется. В ядерной физике и физике элементарных частиц изучаются неупругие столкновения еще более общего характера, в ходе которых может меняться сама природа сталкивающихся частиц; такие процессы называются ядерными реакциями.

Известны две задачи о столкновениях частиц. В одной из них заданными считаются только скорости частиц задолго до столкновения, когда частицы, находясь на достаточно большом расстоянии друг от друга, еще не вступили во взаимодействие при

. Необходимо определить скорости частиц после того, как они вновь перестанут взаимодействовать, разлетевшись на большое расстояние при

. При этом подводится итог столкновения, а детальный ход

самого процесса столкновения не исследуется.

Основная цель второй задачи, называемой задачей о рассеянии частиц, состоит в детальном исследовании процесса столкновения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц

.

Рассмотрим упругие столкновения частиц только первым способом. Пусть в момент времени частица массой

скорость

. Точное пространственное расположение частиц неизвестно. Найти

1

скорости частиц

была неподвижна

m

2

и

1

(задолго до столкновения) относительно л-системы

, а налетающая частица

0

2

относительно л-системы в момент времени

2

имела

m

1

(после

столкновения). Из семи интегралов движения замкнутой механической системы частиц

четыре (законы сохранения энергии E и импульса

m

и

1

m

2

(

,

) можно использовать только

). Для того чтобы задача

была поставлена корректно, необходимо число неизвестных величин сократить с

74

шести ),(

u

¢

r

n

r

-

=

¢-=

¢

r

-

=

¢-=

¢

r

=

¢=¢=¢

-¥

=

t

+¥

=

t

+

=

m

)()

(

+¥=-¥

E

¢=¢

=

u

r

u

r

u

=

¢

r

u

=

¢

n

r

u

¢

r

u

¢

r

n

r

до четырех. С этой целью можно, например, задать направление

21

вектора скорости одной из частиц после столкновения с некоторым единичным вектором

или угол χ рассеяния частиц в ц-системе (рис. 5.1).

Решение задачи удобно вести в ц-системе, т. е. в подвижной инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс частиц

m

1

и

, движущимся с

m

2

постоянной скоростью

æ

cV+= . (24.1)

Так как система сталкивающихся частиц

относительно ц-системы как целое покоится, то

m

2

m

r

1

u

1

mm

21

m и

1

из закона сохранения импульса следует вывод:

Рис. 5.1

pp

,

2010

pp

, (24.2)

2010

т. е. импульсы налетающей и первоначально покоя-

щейся частиц относительно ц-системы равны и противоположно направлены как до столкновения (

pp

), так и после него (

2010

pp

). Все величины,

2010

характеризующие движение частиц относительно ц-системы, мы будем снабжать дополнительным индексом 0.

Обозначим

механической энергии E в моменты времени

1

где )/( энергии

)(

2

1

)(

2

mmmm

– приведенная масса частиц

2121

следует, что

,

ppp

02010

и рассмотрим закон сохранения

ppp

02010

и

2

p

2

)(

VmmE ++=+++=-¥

21

c

2

)(

VmmE

++=+¥ ,

21

c

10

m

1

2

¢

)(

p

10

+

2

m

1

2

p

22

p

2

¢

20

m

1

20

2

)(

1

2

m и 2m . Из закона сохранения

1

)(

Vmm

21

)(

Vmm

21

:

2

p

2

0

c

2

c

;

m

2

¢

)(

p

0

++=

m

2

, pppp

. (24.3)

20201010

Соотношения (24.2) и (24.3) указывают, что единственным результатом, к

которому приводит процесс упругого столкновения частиц

m

1

и

, является

m

2

поворот скоростей обеих частиц, при котором они остаются взаимно противоположными по направлению и неизменными по абсолютному значению (рис. 5.1). Если

10

и

– скорости частиц

20

m и 2m в ц-системе до столкновения, то их

1

скорости в той же системе отсчета после столкновения можно получить по формулам:

где ростей частиц

– единичный вектор, характеризующий направление линии действия ско-

и

10

после столкновения.

20

Вместо единичного вектора

n

можно задать угол χ, называемый углом

, n

1010

, (24.4)

2020

рассеяния в ц-системе. χ – это угол рассеяния фиктивной m-частицы во

75

внешнем по отношению к ней центрально-симметрическом поле

)

(

r

U

)

(

r

U

-¥

=

t

rrr

r

+==

u

+==

u

<

u

=

>

Ù

, поэтому он может изменяться в пределах от 0 до p. Угол χ относится к разряду ненаблюдаемых физических величин, так как для его измерения экспериментатору

вместе с регистрирующей аппаратурой пришлось бы размещаться в центре масс системы частиц

действия между частицами

m и 2m . Однако угол можно вычислять, зная закон взаимо-

1

и их относительное пространственное распо-

ложение в начальный момент времени

.

Скорости частиц до столкновения в ц-системе можно получить с помощью

теоремы сложения скоростей cV

rr

cV+=-= ,

110

m

2

Далее, используя соотношения (24.4), скорости частиц

+=

uu

ii

r

uuu

mm

21

или cV

0

rr

1

-=

uu

0

cV+-=-= . (24.5)

220

ii

, откуда

r

m

1

uuu

1

mm

21

m и 2m

1

в ц-системе

после столкновения можно записать в виде:

r

¢

n

10

m

2

=

uu

mm

+

21

r

¢

, n

1

20

m

1

-= +

r

uu

. (24.6)

1

mm

21

Скорости частиц после столкновения в л-системе равны:

r

rr

ì ï

ï í

ï ï

î

¢

=

¢

=

cV

101

r

rr

¢

202

m

=+

+

-=+

cV

r

2

mm

m

+

n

1

21

r

1

mm

+

n

1

21

m

r

1

,

uuuu

m

1

mm

21

1

+

(24.7)

r

.

uuuu

1

mm

21

+

Полученные формулы удобно интерпретировать геометрически с помощью диаграмм столкновения, которые можно построить следующим образом: из произвольной точки O опишем окружность радиусом

значению скорости налетающей частицы

)/(

mmmR

, и полуокружность радиусом

2112101

значению скорости частицы

)/(

mmmR

, а затем выполним построение, приведенное на рис. 5.2

2111202

до столкновения в той же системе отсчета, т. е.

m

2

для случая жения точек O и A на диаграмме строго фиксирова-

m до столкновения в ц-системе, т. е.

1

mm

. При заданных

21

R , численно равным

1

R , численно равным

2

m , 2m и

1

поло-

1

ны, в то время как точки B и C могут иметь любые положения на окружностях

от угла χ).

На рис. 5.3 представлены аналогичные диаграм-

мы для двух других возможных случаев:

mm

.

21

R

1

и

(в зависимости

R

2

mm

и

21

На всех диаграммах столкновения, изображен-

Рис. 5.2

ных на рис. 5.2 и 5.3, помимо угла χ приводятся уг-

лы

θ

=

1

rr

,

θ

¢

)(

,

uu

11

=

2

76

rr

. Первый из указанных

¢

)(

,

uu

21

углов называется углом рассеяния для налетающих частиц

=

>

<

OAB

Δ

u

¢

u

¢

c

u

=

ODB

Δ

DAB

χ

c

m

BD

c

p

-

p

c

=

p

=

угол

θ – углом отдачи.

2

m в л-системе, а

1

’

a)

Рис. 5.3. Диаграммы столкновения для случаев: a)

mm

21

; б)

mm

.

21

Диаграммы столкновения позволяют выявить наиболее характерные особенности процесса упругого столкновения частиц в зависимости от соотношения между их массами. Рассмотрим каждый из трех возможных случаев.

1.

(масса налетающей частицы меньше массы первоначально по-

mm

21

коящейся частицы).

Прежде всего с помощью диаграммы (рис. 5.2) можно установить, что угол рассеяния

в этом случае может изменяться в тех же пределах, что и угол χ, т. е.

θ

1

от 0 до p.

Из чения скоростей

и ОАС (равнобедренный треугольник) найдём абсолютные зна-

и

1

частиц в л-системе после столкновения:

2

¢

=

1

uu

11

++

2

+

cos2mmmmmm

c

21

,

u

2

¢

=

2

11

mmm+

sin

. (24.8)

2

21

Зная эти скорости, можно написать формулу для вычисления кинетической энергии, приобретаемой первоначально покоящейся частицей в процессе соударения:

2

¢

E

=

2

где 2/

2

mE

– кинетическая энергия налетающей частицы

111

Из рассмотрения

θ с углом рассеяния

2

¢

22

2

в ц-системе:

tgθ

1

2

)(

=

и

= , 2θ

+

Из полученных формул видно, что при лобовом ударе (

2

uu

mmm

mm

+

21

2

1221

sin

2

)(

2

4

mm

21

=

+

E

2

)(

mm

21

cc

2

sin

1

, (24.9)

2

m

до столкновения.

1

найдём формулы, связывающие углы

sin

=

ODAO

2

c

cos

mm

+

21

= . (24.10)

2

) угол рассеяния

θ и

1

θ , а угол отдачи 0θ

1

частица

движется в обратном направлении, а первоначально покоящаяся

m

1

. Это означает, что после лобового удара налетающая

2

77

частица

+

<

=

-

=

p

c

cos

<

χ

0)χ(0

=

p

=

)

χ(

<

=

p

¹

χ

p

=

-

u

r

2

c

2

c

2

c

=

-

=

p

m получает отдачу вперед, при этом скорости частиц 1m и 2m оказы-

2

ваются равными:

mm

-

Сумму

¢

-=

1

θθ

называют углом разлета частиц после столкновения. Из диа-

21

12

mm

+

12

¢

,

=

21

граммы (рис. 5.2) можно установить, что при

2

m

+

rrrr

1

uuuu

. (24.11)

1

mm

21

mm

угол разлета достигает

21

максимального значения p при лобовом ударе.

Угол рассеяния χ является функцией углов

. Из (24.10) следует, что

)χ(θχ

2

θ2)χ(θ

22

θ и 2θ , т. е. )χ(θχ

1

и

1

. Для того чтобы найти вторую

функцию )χ(θ1, необходимо первое из уравнений (24.10) обратить относительно χ. С этой целью указанное уравнение предварительно представим в виде:

2

cos

m

2

θsin2

m

1

2

1

Решая это уравнение относительно

m

2

m

1

2

c

2

cc

+-+

1

, находим:

11

2

ö

æ

m

1

ç ç

m

2

è

æ ç

-±-=

ç è

m

2

÷ ÷

ø

1

2

0θsinθcoscos

=

. (24.12)

1

2

ö ÷

θsin1θcosθsincos

. (24.13)

1

÷ ø

При функция )(χθ

1

функция

mm

21

и переменные

должна быть однозначной, так как однозначна

)χ(θ

1

θ ,

изменяются в одних и тех же пределах (от 0

1

до p). Поэтому из двух знаков в (24.13) следует выбрать тот, при котором искомая функция )χ(θ1удовлетворяет условиям:

и

. Этим услови-

ям удовлетворяет решение (24.13) с положительным знаком перед радикалом. Таким образом, при

2.

(столкновения частиц с одинаковыми массами; диаграмма, изо-

mm

21

ì ï

ï í

ï ï

î

функции имеют вид

mm

21

é ê ê

ë

-=

p

.θ2)χ(θ

22

æ ç

-=

11

ç è

m

2

ö

m

1

2

÷

1

÷ ø

1

-

m

2

ù

2

ú

,θsinθsin1θcosarccos)χ(θ

1

ú

(24.14)

û

бражена на рис. 5.3а).

После столкновения частицы (при угол разлета частиц 2/θθ

21

. При лобовом ударе частицы обмениваются

) разлетаются под прямым углом:

скоростями: налетающая частица останавливается, а первоначально покоящаяся частица после столкновения движется со скоростью

. Это можно наблюдать

1

при лобовом столкновении бильярдных шаров.

Формулы (24.8) – (24.10) в рассматриваемом случае принимают вид:

r

¢

cos

uu

=

11

,

r

¢

sin

uu

=

12

¢

,

2

sin

EE =

12

. (24.15)

Столь же простой вид имеют в этом случае и функции )χ(θ1, )χ(θ2:

θ2)χ(θ

,

11

78

θ2)χ(θ

. (24.16)

22

3.

>

m

ABO

¢

u

+

>

2

/

p

=

χ

<

>

u

¢

u

¢

®

0

χ

®

p

®

χ

u

r

u

r

rrr

r

uuuuu

rrrrr

-=-

=

(рис. 5.3б).

mm

21

Из диаграммы (рис. 5.3б) нетрудно установить, что угол рассеяния желой частицы

на более легкой

m

1

не может превышать некоторого крити-

m

2

ческого значения, определяемого выражением:

θ тя-

1

m

2

1

arcsin)(θ

= . (24.17)

1

кр

Чтобы получить это выражение, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник

Угол разлета частиц после столкновения вышать

, а при лобовом ударе (

равное 0. Поэтому в отличие от случая

, из которого непосредственно видно, что

mm

11

21

θθ

21

m

=

m

при

2

.

1`

BO

=

1

кр

OA

m

=

mm

m

12

:)sin(θ

++

21

) он принимает минимальное значение,

mm

обе частицы после лобового

21

mm

не может пре-

21

соударения движутся в одном и том же направлении со скоростями:

2

¢

=

21

При

mm

скорости частиц

mm

-

¢

-=

1

сохраняют силу все формулы: (24.8)–(24.10), связывающие

21

,

1

после столкновения и углы рассеяния

2

21

,

mm

+

12

углом рассеяния χ в ц-системе. Ограничение области изменения угла рассеяния

æ

интервалом

ç

arcsin0,

ç è

ленной тем, что угол 0θ

ö

m

2

÷

– приводит к двузначности функции )χ(θ1, обуслов-

÷

m

1

ø

1

как при

, так и при

m

+

rrrr

1

uuuu

. (24.18)

1

mm

21

θ , 2θ в л-системе с

1

. Поэтому в реше-

θ

1

нии (23.13) приходится в данном случае сохранить оба знака. В результате мы получаем две ветви функции )χ(θ1:

m

2

ö

m

÷

1

÷ ø

1

2

1

-

m

2

ö ÷

+

1

÷ ø

m

ù

2

ú

,θsinθsin1θcosarccos)(θχ

1

ú û

(24.19)

ù

2

1

2

ú

.θsinθsin1θcosarccos)(θχ

1

ú û

m и 2m ,

1

ì ï ï

ï

é ê ê

ë

æ

m

1

ç

-=

111

ç

m

2

è

í ï ï

p

ï î

é ê ê

ë

æ ç

--=

112

ç è

Пример 1. Рассмотреть упругое столкновение частиц с массами движущимися до столкновения относительно л-системы с отличными от нуля

скоростями

Перейдем к ц-системе отсчета, связанной с центром масс частиц

1

и

.

2

m и 2m ,

1

движущихся относительно л-системы с постоянной скоростью

)/()(

uu

mmmmcV ++=

.

212211

При этом скорости частиц до столкновения в ц-системе оказываются равными:

rr

cV+=-= ,

110

m

r

2

uuu

0

mm

21

rr

cV

220

-=-= , где

m

r

1

uuu

0

mm

+

21

– от-

2010210

носительная скорость частиц.

79

Результатом упругого столкновения частиц в ц-системе является лишь по-

u

r

u

r

n

r

rrr

r

-¥

=

t

u

r

cVr

r

+=+

2

212

2

ворот линии действия скоростей вдоль некоторого единичного вектора

и

10

на некоторый угол к и ее ориентация

20

, поэтому скорости частиц после

столкновения в ц-системе можно записать в виде

r

¢

10

m

2

=

uu

mm

+

21

r

¢

n

,

0

20

Используя теорему сложения скоростей cV

m

-=

1

+

¢

=

uu

ii

r

.

n

uu

0

mm

21

¢

+

, получаем окончательное

0

решение задачи:

rrr

ì ï

ï í

ï ï

î

m

¢

=

1

¢

2

+

mm

21

m

1

-= +

mm

21

r

+-

n

uuu

21

rrr

r

n

uuu

21

+

mm

uu

2211

+

+-

,

mm

21

+

mm

+

mm

(24.20)

rr

uu

2211

.

21

Таким образом, переход к случаю, когда до столкновения обе частицы движутся относительно л-системы, не усложняет решения задачи, при этом лишь несколько видоизменяются диаграммы столкновения.

§ 25. Кинематика ядерных реакций

Рассмотрим процесс неупругого столкновения частиц типа ядерной реакции. Полное и строгое рассмотрение таких процессов выходит за границы применимости классической механики. При некоторых допущениях законы сохранения энергии и импульса так же, как и в случае упругих столкновений, позволяют рассчитать скорости всех частиц, участвующих в ядерной реакции.

Допустим, что в момент времени коящаяся относительно л-системы, обстреливается частицей массой относительно той же системы отсчета скорость столкновения (ядерной реакции) частицы новые частицы с массами

m и 4m . Допустим также, что в ходе реакции выде-

3

некоторая частица массой

m , имеющей

. Пусть в процессе неупругого

0

m и 2m погибают, но рождаются

1

m , по-

2

ляется или поглощается некоторое количество энергии Q, называемое тепловым эффектом реакции. Будем предполагать, что импульс, уносимый излуче-

нием, пренебрежимо мал по сравнению с импульсами частиц. Это позволяет считать, что скорость центра масс ядерных частиц

реакцию няется, т. е.

дефектом массы и считать, что

m

1

и

, так и вновь рождающихся

m

2

)/(

u

mmmcV +=

. И, наконец, будем пренебрегать возможным

2101

и

m

mmmm

.

2143

m

3

(как вступающих в

) в ходе реакции сохра-

4

С учетом всех сделанных допущений закон сохранения энергии можно записать в виде:

1

)(

21

1

2

00

43

80

1

22

,

QVmmVmm

)(

cc

+++=++

muum

(25.1)