Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

вытекающие из определения потенциальной энергии как функции только по-

¶

-

=

()()(

)

-

=

¶

(

)

=

()()(

)

-

=

()(

)

¶

r

¶

-

=

-

=

ложения системы. С учетом равенств (34.13) и (36.1) уравнения Лагранжа (35.11) можно представить в виде:

или

где UTL

– разность кинетической и потенциальной энергии механической

d

( ) ( )

&

¶

qdt

--

UT

¶

q

L

d

-

&

q

dt

¶

UT

aa

L

q

¶

aa

,0=-

( )

==

a

K

,,,2,10 s

(36.2)

системы.

Функцию обобщенных координат q, обобщенных скоростей q& и времени t

вида

&&

tqUtqqTtqqL ,,,,,

(36.3)

называют функцией Лагранжа или лагранжианом системы.

К виду (36.2) уравнения Лагранжа приводятся также и для класса механических систем с обобщенно-потенциальными силами, т. е. для таких систем, обобщенные силы

где

&

tqqVV ,,

Q которых можно представить в виде:

a

V

d

Q K

-=

a

+

dt

q

¶

V

( )

a

&

q

aa

=

,,,2,1 s

(36.4)

– так называемый обобщенный потенциал или потенциал, зави-

сящий от скорости. Функция Лагранжа для указанных систем определяется как разность кинетической энергии системы и ее обобщенного потенциала, т. е.

&&&

.,,,,,, tqqVtqqTtqqL

(36.5)

Рассмотрим теперь механическую систему, на которую наряду с потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами действуют диссипативные силы, т. е. силы вязкого трения, приводящие к рассеянию механической энергии системы. В этом случае при записи уравнений Лагранжа (35.11) поступают следующим образом. Каждую обобщенную силу

ТРП

,

QQQ

+=

aaa

где

()

Q

a

П

U

-= (или

¶

a

Q

( )

a

П

Q разбивают на две части:

a

(36.6)

ö

æ

dt

¶

V

d

÷

ç ç

è

)

÷

&

¶

q

aa

ø

¶

V

-=

+

¶

q

обобщенная сила, обусловленная действием на систему только потенциальных (или обобщенно-потенциальных) сил:

n

( ) ( )

ТР

a

r

=

FQ

å

n

=

i

1

ТР

r

i

(36.7)

¶

q

a

обобщенная сила, возникающая в результате действия на систему диссипативных сил. При этом уравнения Лагранжа (35.11) можно представить в виде:

L

-

q

¶

(или

( )

ТР

( )

==

aa

a

VTL

).

K

,,,2,1 sQ

(36.8)

где

d

dt

L

&

q

¶

UTL

111

Нетрудно видеть, что силу трения

(

)

r

2

F

(

)

r

u

r

(

)

F=F

F

¶

rrr

F

¶

=¶¶

ТР

F

i

ua

-= , действующую со стороны

ii

вязкой среды на отдельную материальную точку системы, можно представить в виде:

r

( )

ТР

F

i

Скалярную величину

называют диссипативной функцией Рэлея для от-

i

дельной частицы системы (величина

F¶

i

-=

r

, где

u

¶

i

1

2

=F

F

×=F-u2 представляет собой часть

ua

. (36.9)

iii

ТР

iii

механической энергии частицы, переходящей за единицу времени в энергию теплового движения молекул среды). Полная функция Рэлея:

n

å å

= =

i

1 1

В общем случае, когда связь между скоростями отдельных точек обобщенными скоростями системы

&

q

определяется формулой (35.5), диссипа-

a

n

1

=F=F

2

i

2

.

ua

iii

(36.10)

и

i

тивную функцию Рэлея можно представить как функцию обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е.

&

tqq ,,

.

Покажем теперь, что обобщенные силы (36.7) можно выразить через диссипативную функцию Рэлея по формуле:

( )

Q

ТР

a

-= ¶

( )

a

&

q

a

=

(36.11)

.,,2,1 s

K

Действительно, подставляя в равенство (36.7) выражение (36.9) и учитывая

тождество (35.6), находим:

Q

( )

ТР

a

n

-=

å å å

¶

1 1 1

= = =

i

¶

F¶

r

i

×

r

¶

i

n

-=

i

¶

F¶

u

i

ii

×

¶

uu

i

-= ¶

n

¶

æ ç

&&

qqq

è

aaa

ö

.

F

÷

i

ø

Таким образом, уравнения движения механической системы, на которую наряду с потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами действуют диссипативные силы вязкого трения, имеют вид:

d

dt

L

q

¶

L

¶

-= ¶

( )

a

&&

qq

aaa

=

(36.12)

.,,2,1 s

K

§ 37. Первые интегралы уравнений Лагранжа

Связь функции Лагранжа с законом сохранения энергии

Рассмотрим механическую систему, лагранжиан которой явно не зависит от

времени, т. е. 0/

tL ; допустим также, что на систему не действуют диссипа-

тивные силы. Покажем, что полная энергия указанной системы сохраняется.

Запишем полную производную по времени от лагранжиана системы:

dL

dt

s

æ

¶

L

ç

=

å

=

1

a

q

ç

¶

q

a

è

¶

&

+

a

¶

q

ö

¶

L

&&

q

a

&

a

L

÷

+

.

÷ ø

¶

t

112

Заменяя здесь производные

¶

=¶¶

¶

=¶¶

=

¶

жа (36.2) на

d

dt

÷

ç ç

è

dL

dt

, получим:

÷

&

¶

q

a

ø

s s

æ ç

=

å å

ç

= =

1 1

a a

è

ö

æ

¶

L

или

&

q

a

dt

¶

d

dt

+

&

q

a

s

æ ç

å

ç

1

=

a

è

¶

L

d

qL

/ в соответствии с уравнениями Лагран-

a

q

&

q

ö

¶

&&

a

&

¶

q

L

¶

a

&

q

¶

L

a

L

÷ ÷

ø

-

+

L

=

¶

t

ö

¶

÷

-=

÷

¶

ø

æ

d

ç

&

q

a

ç

dt

è

L

(37.1)

.

t

ö

¶

L

&

¶

q

¶

L

÷

+

,

÷

a

ø

¶

t

Отсюда видно, что если лагранжиан системы не зависит явно от време-

ни (т. е. 0/

tL ), то в процессе движения системы сохраняется величина:

s

=

å

1

=

a

L

¶

&

qE

a

&

q

¶

a

=-

,

constL

(37.2)

называемая полной механической энергией.

Найдем условия, при выполнении которых время не будет явно входить в функцию Лагранжа. Прежде всего необходимо, чтобы не содержали явно времени формулы, выражающие радиусы-векторы точек системы через ее обобщенные координаты, а это означает, что на систему могут быть наложены

0/

только стационарные связи. Кроме того, чтобы вующие на систему, также не должны явно зависеть от времени.

tL

, внешние силы, дейст-

Циклические координаты и сохранение обобщенных импульсов

Обобщенными импульсами механической системы называют скалярные

величины, определяемые формулой:

p K

=

a

&

q

¶

Если обобщенная координата вующий ей обобщенный импульс

( )

=

a

q имеет размерность длины, то соответст-

a

p имеет размерность обычного импульса

a

.,,2,1 s

(37.3)

L

(например, обобщенные импульсы свободной системы совпадают с проекциями импульсов отдельных частиц); если

обобщенный импульс

p имеет размерность момента импульса.

a

q – безразмерная угловая переменная, то

a

Используя понятие обобщенного импульса, можно переписать уравнения Лагранжа (36.2) в виде:

&

p K

a

L

( )

=

q

¶

a

=

.,,2,1 s

(37.4)

Нередко случается так, что какие-то обобщенные координаты сами в функцию Лагранжа не входят, а входят лишь их производные по времени. Такие координаты называются циклическими (это название объясняется тем, что чаще всего такими координатами оказываются угловые переменные). Итак, обобщенную координату

qL

0/

a

, при этом соответствующий ей обобщенный импульс

q будем называть циклической, если

a

p согласно (37.4)

a

сохраняется, т. е.

constp

a

, если

113

L

0=

¶

q

. (37.5)

a

0/

=¶¶

(

)

a

d

¹®+

®

¶

=

d

=¶¶

r

(

)

2

=

=¶¶

j

(

)

2

¶

Требование

qL

следует рассматривать как условие инвариантности

a

лагранжиана системы относительно преобразования:

aaa

iqqqqq

ii

,,

(37.6)

т. е. преобразования трансляции или поворота системы как единого целого.

Действительно, приращение функции Лагранжа, обусловленное преобразованием (37.6), можно подсчитать по формуле:

откуда видно, что

L

=

q

¶

0

только в том случае, если

,

dd

q

a

0/

qL

.

a

Таким образом, цикличность обобщенных координат и сохранение отдельных обобщенных импульсов механической системы тесно связано с инвариантностью ее лангранжиана относительно преобразований (37.6). В свою очередь, инвариантность функции Лагранжиана относительно указанных преобразований связана с симметрией внешних силовых полей и наложенных на систему связей.

Отсюда следует вывод: обобщенные координаты системы следует выбирать с учетом симметрии задачи; только в этом случае отдельные обобщенные координаты системы могут оказаться циклическими, а соответствующие им обобщенные импульсы – постоянными.

Рассмотрим материальную точку в однородном поле притяжения Земли. Если ось z декартовой системы координат направить против вектоpa

g

, то

функцию Лагранжа материальной точки можно записать в виде:

L -++=

m

&&

222

&

.

mgzzyx

(37.8)

Из этого выражения видно, что координаты x и y являются циклическими и, следовательно, у материальной точки сохраняются две проекции вектора

импульса: constxmp

&

x

, constymp

&

y

. Эти интегралы движения являются

следствием инвариантности лагранжиана (37.8) относительно трансляций частицы вдоль осей x и y. Из симметрии силового поля очевидна также инвариантность того же лагранжиана относительно поворотов частицы вокруг оси z, т. е.

L

0/

. Чтобы найти соответствующий этому интеграл движения, запишем

лагранжиан (37.8) в цилиндрических координатах:

L -++=

m

&&

jrr

2222

&

.

mgzz

Отсюда видно, что координата j является циклической, и поэтому у частицы сохраняется обобщенный импульс:

L

=

r

j

&

¶

j

Этот обобщенный импульс равен

2

&

==

jr

L

– проекции момента импульса мате-

z

.

constm

риальной точки на ось z.

114

(

)

(

)

(

)

()(

)

=

(

)

(

)

(

)

()()(

)

h

a

+

=

(

)

h

()(

)

=

h

§ 38. Понятие о функционале и его первой вариации

Прежде чем обратиться ко второму способу получения уравнений Лагранжа, необходимо предварительно познакомиться с некоторыми элементами вариационного исчисления – специального раздела математики, занимающегося исследованием экстремальных свойств криволинейных интегралов, зависящих от выбора одной или нескольких функций.

Одной из первых задач, положивших начало развитию вариационного исчисления, была задача о брахистохроне (Ив, Бернулли, 1696 г.), состоящая в следующем. Допустим, что точечная частица под действием силы тяжести падает без начальной скорости из точки O в точку A по некоторой кривой, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 7.4). Время падения частицы можно представить криволинейным интегралом

T

dl

()

y

u

==

ò ò

l

x

0

1

( )

+

2

yg

2

¢

y

,

dx

(38.1)

зависящим от выбора функции

xy

. Требуется из

множества кривых, соединяющих точки O и A, выбрать такую кривую, которую частица проходит за кратчайшее время. Отсюда происходит и само название искомой кривой – брахистохрона (брахистос – в переводе с греческого кратчайший, хронос – время). Величины, подобные (38.1), в математике называют

функционалами.

Итак, простейшим функционалом будем называть криволинейный интеграл, зависящий от выбора одной функции

xy , т. е.

x

2

[ ]

=

ò

x

1

¢

() ()

dxxyxyxFJ

.,,

(38.2)

Рис. 7.4

Основная задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции y(x)

xy , доставляющей экстремум функционалу (38.2) и удовлетворяющей

граничным условиям:

.,

yxyyxy

2211

Допустим, что функция

xy есть искомое

(38.3)

(x)

решение вариационной задачи. Найдем необходимые условия, которым должна удовлетворять эта функция, чтобы функционал J имел экстре-

Рис. 7.5

мум. С этой целью построим новую функцию

xy

, близкую к

1

где

x

– произвольная функция, удовле-

xy (рис. 7.5):

,1xxyxy

(38.4)

творяющая граничным условиям:

(38.5)

xx

115

,0

21

и a – малый численный параметр. Подстановка функции (38.4) в (38.2) приво-

(

)

(

)

(

)

a

=

a

(

)

=

a

(

)

h

(

)

h

(

)

дит к некоторой функции параметра a:

¢

xyxy

x

é

2

() () ()

ê

ò

ê

x

1

ë

+=

11

¢

() ()

+

ù

44844764484476

ú

¢

haaha

ú û

.;;

dxxxyxxyxFJ

(38.6)

Тем самым задача отыскания экстремума функционала (38.2) сведена к исследованию на экстремум функции одного переменного

J . Для этого, как

известно, необходимо найти значение производной нять его к нулю (экстремум функционалу (38.2) доставляет функция

чаемая из (38.4) при 0

Вычислим сначала производную

).

ddJ / . Используя известное правило

ddJ / при 0

и прирав-

xy , полу-

дифференцирования интеграла по параметру, находим:

x

dJ

d

2

é

F

¶

=

ê

ò

a

x

1

ë

() ()

y

¶

F

¶

x

+

¢

y

¶

11

ù

¢

hh

.

dxx

(38.7)

ú û

Произведя интегрирование по частям во втором интеграле, входящем в правую часть равенства (38.7), можно записать:

x

2

x

1

x

2

d

-

òò

dx

x

1

ö

æ

F

¶

÷

ç

hhh

÷

ç

¢

y

¶

111

ø

è

,

dxx

(38.8)

x

2

1

F

¶

¢

() () ()

¢

y

¶

dxx

F

¶

=

¶

x

¢

y

где проинтегрированный член обращается в нуль в силу граничных условий (38.4). С учетом (38.8) равенство (38.7) принимает вид:

x

2

é

¶

=

ê

ò

a

0

=

x

1

x

2

ò

x

1

ë é

ê ë

¶

откуда

æ ç

è

dJ

d

dJ

d

ö ÷

a

ø

a

Ввиду произвольности функции

d

F

-

dx

y

d

F

-

dx

y

x

ù

ö

æ

F

¶

÷

ç ç

è

æ ç

ç è

y

¶

F

¶

y

¢

11

¢

11

÷ ø

ö ÷

÷ ø

h

ú û

ù

h

ú û

()

dxx

()

dxx

,

.0

=

(38.9)

равенство (38.9) будет иметь место

только в том случае, если коэффициент, стоящий перед

x

в подынтегральном

выражении, тождественно обращается в нуль, т. е.

d

dx

æ

¶

ç

¶

è

¶

F

y

F

÷

-

÷

¢

¶

ø

.0=

(38.10)

y

ö

Равенство (38.10) называется уравнением Эйлера. Оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, и поэтому его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, определяемые граничными условиями (38.3).

Таким образом, искомая функция

xy

, являющаяся решением сформу-

лированной выше вариационной задачи, должна удовлетворять уравнению Эйлера (32.10). Полученный результат можно сформулировать в ином виде, если ввести понятие о первой вариации функционала.

Первой вариацией функционала (38.2) называют величину, определяемую выражением:

dJ

ö

æ

=

ad

J

ç

a

d

è

116

.

(38.11)

÷ ø

0=

a

Принимая во внимание (38.9), можно записать:

d

(

)

()()(

)

-==

ah

d

(

)

(

)

(

)

¢

()()(

)

¢-¢=¢=¢

had

=

a

()()()(

)

®¢®

®

(

)

+

t

x

2

где

y

– вариация функции

é

¶

F

=

J

ê

ò

¶

y

x

ë

1

xy

, определяемая соотношением

æ

¶

d

ç

-

ç

¶

dx

è

ù

ö

F

÷

dd

ú

÷

¢

y

11

ø

û

,0

=

dxy

(38.12)

.1xyxyxy

(38.13)

Равенство (38.12) показывает, что функция

xy , являющаяся решением

вариационной задачи, обращает в нуль первую вариацию функционала Jd. Это утверждение равносильно требованию (38.10).

Рассмотрим некоторые правила вычисления вариаций. Прежде всего заметим, что варьирование любой функции

производной

xy

, при этом по определению вариации:

xy влечет за собой варьирование и ее

.1xyxyxy

(38.14)

С другой стороны, дифференцируя по х равенство (38.13), находим:

d

( ) () () ()

dx

¢

=

had

¢

=

1

¢

(38.15)

.

xyxyxy

-

Сравнивая выражения (38.14) и (38.15), приходим к выводу, что

d

dx

( )

y

dy

ö

æ

=

dd

,

(38.16)

÷

ç

dx

ø

è

т. е. операции дифференцирования и варьирования перестановочны.

Покажем далее, что операции интегрирования и варьирования также перестановочны. Действительно, полагая в (38.7) 0

, а затем умножая обе части получаемого равенства на a и принимая во внимание определения (38.13) и (38.14), находим:

x

2

=

òò

x

,

Fdxdxy

dddd

1

J

или

x

2

é

¶

=

F

ê

¶

y

ë

x

1

x

2

=

ò ò

x

1

x

¶

+

y

¶

2

FdxFdx

dd

1

ù

F

¢

ú

¢

y

û

.

(38.17)

Если в системе (38.10) произвести формальную замену

&

,, и LF

tqxytqxytx

iiii

, то уравнения (38.10) совпадут с ранее

рассмотренными уравнениями Лагранжа для систем с потенциальными или обобщенно-потенциальными силами. Это указывает, что уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера для некоторой вариационной задачи механики.

§ 39. Принцип Гамильтона – Остроградского

Сформулируем основную вариационную задачу механики, по отношению к которой уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера. Введем предварительно понятие о конфигурационном пространстве механической системы. Пространством конфигураций механической системы будем называть

1

s -мерное

пространство обобщенных координат

qqq ,,,

K и времени

21

s

. Условимся изо-

бражать такое пространство следующим образом: по оси абсцисс будем откла-

117

дывать время t, а по оси ординат – совокупность значений всех обобщенных

(

)

-

(

)

=

(

)

=

’

(

координат q. Тогда каждая точка на плоскости

tq, будет изображать опреде-

ленную конфигурацию системы в данный момент времени t.

Пусть за время

система перехо-

tt

12

дит из некоторой конфигурации A в новую конфигурацию B и наложенные на механическую систему связи допускают множество различных возможных путей ее перехода из конфигурации A в конфигурацию B, причем один из них (например, ACB) является действительным (рис. 7.6). Возникает вопрос, как из множества возможных путей

Рис. 7.6

перехода механической системы, допускае-

мых наложенными на нее связями, отобрать тот, который реально осуществляется. На этот вопрос и дает ответ вариационный принцип Гамильтона – Остроградского.

В случае голономных механических систем с идеальными связями и потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами этот принцип утверждает: из множества возможных путей перехода механической системы из одной ее конфигурации A в другую конфигурацию B реально осуществляется только тот путь, которому соответствует экстремальное (как правило, минимальное) значение функции действия, определяемой соотношением:

t

2

&

ò

t

1

( )

[ ]

´=

времяэнергияdttqqLS

.,,

(39.1)

Другими словами, для истинного движения механической системы первая вариация функционала (39.1) обращается в нуль, т. е.

t

2

K

&

ss

==

dttqqqqqqLS

.0,,,,;,,,

(39.2)

d

( )

ò

t

1

K

&&

2121

Поэтому принцип Гамильтона – Остроградского часто называют принципом экстремального (или наименьшего) действия.

Докажем необходимость условия (39.2) для действительного движения голономной системы с идеальными связями и обобщенно-потенциальными активными силами. С этой целью вернемся к общему уравнению механики (35.2), записанному в обобщенных координатах (см. формулы (35.7) и (35.10)):

ss

( )

a

æ ç

QqAQ

åå

aaa

ç

==

a

è

¶

+=-

a

¶

d

T

-

dt

q

Выражая в этом равенстве обобщенную силу

ö

¶

T

÷

dd

q

÷

&

¶

q

aa

ø

Q

a

через обобщенный потен-

.011=

a

циал системы (см. формулу (36.4)), получим:

где в общем случае

ss

æ

¶

ç ç

¶

a

è

d

T

-

dt

q

ö

¶

T

÷

q

a

÷

¶

q

aa

ø

и

&

tqqTT ,,

118

æ

¶

ç

-

åå

ç

¶

==

a

è

&

d

V

-

dt

q

.

tqqVV ,,

ö

¶

V

÷

dd

q

a

÷

&&

¶

q

aa

ø

(39.3)

,011=

Вычислим далее

d

(

)

=

-

=¶¶

()(

)

=

d

(

)

d

+

d

()(

)

=

d

и

T

. Вариацию кинетической энергии системы

V

можно записать в виде

ss

é

T

ç

¶

q

a

è

æ

¶

T

ç

=

¶

T

+

q

a

&

¶

q

a

ö ÷

&

=

q

a

÷ ø

¶

T

åå

ê

¶

q

11

==

a

ë

¶

d

T

+

q

a

&

¶

dt

q

a

( )

q

ddddd

a

ù

,

ú û

откуда, учитывая, что

ö

æ

T

d

¶

÷

ç

=

ç

dt

¶

è

q

+

a

÷

q

aa

ø

d

T

¶

( )

,

ddd

q

&&&

dt

q

a

dt

æ

d

ç

q

a

ç è

ö

T

¶

÷ ÷

q

¶

ø

окончательно находим:

ss

æ ç

¶

a

è

¶

ç

=

T

d

T

-

dt

q

ö

¶

T

÷

q

a

÷

¶

q

aa

ø

æ

d

ç

+

dt

q

ddd

åå

ç è

a

11

==

a

ö

¶

T

÷

.

(39.4)

÷

&&

¶

q

a

ø

Аналогичным образом находим:

ss

æ

V

ç

¶

a

è

¶

ç

=

d

V

-

dt

q

ö

¶

V

÷

q

a

÷

¶

q

aa

ø

æ

d

ç

+

dt

q

ddd

åå

ç è

a

11

==

a

ö

¶

V

÷

.

(39.5)

÷

&&

¶

q

a

ø

Подстановка выражений (39.4), (39.5) в (39.3) дает:

s

учитывая, что LVT

и

( )

--

VT

&

/ ,:

d

dt

pqL

é

å

ê

=

a

ë

aa

-

L

dt

-¶

&

¶

q

a

s

d

é

å

ê

=

a

ë

Умножая (39.6) на dt и интегрируя в пределах от

t

откуда, учитывая, что

2

ò

t

1

s

qpLdt

dd

å

=

1

a

tqtq

aa

0

21

, и принимая во внимание переста-

VT

aa

ù

q

dd

a

,01=

ú û

ù

qp

dd

aa

.01=

ú

(39.6)

û

до

t

2

=-

,0

t

1

, получаем:

t

2

новочность операций интегрирования и варьирования, мы и приходим к необходимости условия (39.2).

Чтобы доказать достаточность условия (39.2), необходимо убедиться в том, что из него автоматически вытекают уравнения Лагранжа (36.2). Рассмотрим с этой целью наряду с действительным переходом ABC системы из конфигурации A в конфигурацию B бесконечно близкий к нему возможный переход ACB (рис. 7.6). Возникающее при этом приращение функции действия (39.1) определяется разностью:

Разлагая функцию

t

2

( ) ( )

ò ò

t

1

ddd

&&

в ряд по степеням

tqqqqL ;;

t

2

-++=

t

&&&

.,,;;

dttqqLdttqqqqLS

(39.7)

1

и

&

q

ограни-

a

q

a

чиваясь в этом разложении лишь членами первого порядка малости, получим:

t

2

æ

¶

L

=

S

ç

ò

ç

¶

a

q

è

t

1

если учесть, что

t

¶

L

+

q

a

&

¶

q

a

ö ÷

&

a

÷ ø

tqtq

aa

S

ss

åå

a

0

s

å

a

,

t

2

æ

¶

ç

ò

ç

¶

1

=

è

t

1

21

=

2

qpdtq

aa

t

1

d

L

-

dt

q

t

2

s

æ

¶

å

a

¶

q

ç

ò

ç

¶

111

===

è

t

1

ö

L

÷

dd

÷

&

aa

ø

+=

d

L

-

dt

q

.

dtq

(39.9)

a

ö

¶

L

÷

ddddd

÷

&

¶

q

aa

ø

,

dtq

(39.8)

a

119

0

=

d

(

)

(

)

(

)

q

(

)

[

]

(

)

[

]

=

d

L

d

¢

Для действительного перемещения механической системы

S

, но это может быть только в том случае, если все коэффициенты при независимых вариациях

координаты

q

в выражении (39.9) обращаются в нуль, т. е. если обобщенные

a

q

удовлетворяют уравнениям Лагранжа (36.2).

a

Из принципа экстремального действия (39.2) вытекает важное следствие: функция Лагранжа механической системы определена лишь с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени.

Действительно, рассмотрим две функции Лагранжа одной и той же меха-

*

нической системы

&

tqqL ,,

и

&

tqqL ,,

, связанные между собой равенством:

*

( ) ( ) ( )

&&

d

,,,,,,

tqqLtqqL +=

tqf

(39.10)

dt

где Нетрудно видеть, что функции действия, определенные по этим двум лагран-

жианам, связаны соотношением:

где

риация постоянной величины обращается в нуль. Поэтому уравнения Лагранжа (36.2) при переходе от лагранжиана L к функции

системы с неконсервативными активными силами, т. е. на такие системы, обобщенные силы которых нельзя представить в вилле (36.4). Для указанного класса голономных систем принцип Гамильтона – Остроградского утверждает: для действительного перемещения механической системы с неконсервативными активными силами должен обращаться в нуль интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы всех активных сил, обусловленной этой вариацией, т. е.

где перемещению системы от истинной конфигурационной траектории конечно близкой к ней возможной траектории

уравнения Лагранжа (35.11). Действительно, подстановка в равенство (39.11) выражений (39.4) и (39.12) дает:

tqf , – произвольная функция обобщенных координат

*

t

2

**

( ) ( )

t

1

Отсюда видно, что условие 0

S

1122

t

2

==

òò

t

1

совпадает с условием 0

constSttqfttqfSS +=-+=

&&

dttqqLSdttqqLS

*

остаются неизменными.

,;;

.,,,,,

и времени t.

*

=S

d

, так как ва-

Принцип Гамильтона – Остроградского можно обобщить и на голономные

t

2

( )

ò

t

1

A

– виртуальная работа активных сил, соответствующая виртуальному

F

dd

F

n

r

å å

= =

i

1 1

0

=+

dtAT

r

iiF

(39.11)

ACB

BCA

(рис. 7.6), т. е.

s

=×=

a

qQrFA

.

ddd

(39.12)

aa

к бес-

Покажем, что из принципа Гамильтона – Остроградского (39.11) вытекают

t

2

s

å

a

æ

¶

T

ç

ò

ç

¶

q

1

=

è

t

1

¶

T

d

-

&

¶

q

dt

aa

ö ÷

+

a

dtqQ

d

a

÷

,0

=

(39.13)

ø

120