Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
25. Чему равен модуль абсолютного ускорения?
26. Какое движение твердого тела называют плоскопараллельным?
27. Как определить скорость тела при плоскопараллельном движении?
28. Что называют мгновенным центром скоростей?
29. Какие существуют способы определения мгновенного центра скоростей?
30. Как определить скорость любой точки тела, если известен мгновенный
центр скоростей?
21
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
r
r
r
r
å
r
r
r
r
rrr
r
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 8. Понятия и законы динамики Ньютона.
Принцип относительности Галилея
Переход от кинематического описания механического движения тел к дина-
мическому требует введения двух новых понятий – силы и массы. Количественной
мерой механического взаимодействия тел является сила. Под силой
F
, с которой
AB
на материальную точку (частицу) A действует некоторое тело B, понимают такое
механическое воздействие тела B на частицу A, в результате которого она
приобретает ускорение
W
AB
:
.
WF
--
ABAB
Это утверждение не является физическим определением понятия силы.
Чтобы определить силу как физическую величину, следует указать способ ее измерения. Для этого прежде всего необходимо выбрать эталон силы. Поскольку в
процессе механического взаимодействия участвуют, по крайней мере, два тела, то
одно из них всегда может быть выбрано в качестве эталона для измерения силового воздействия другого тела. В качестве эталона силы можно использовать
силу, действующую на рассматриваемое тело со стороны динамометра с предварительно проградуированной шкалой.
Процесс измерения силы основан на правилах сложения сил, действующих на
одну и ту же частицу. Эти правила являются обобщением экспериментально
установленных фактов и составляют суть так называемого принципа суперпозиции
сил, утверждающего что:
1. Действие каждой из приложенных к частице сил не зависит от того, нахо-
дится она в покое или движется, а также не зависит от числа и типа других действующих на нее сил (закон независимого действия сил). Это означает, что результирующее ускорение, возникающее при действии на материальную точку нескольких
сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых этой точке каждой
силой в отдельности, т. е.
=
WW ,
k
11
k
где
W
– результирующее ускорение частицы 1, a
1
– ускорения, сообщаемые
kW1
ей силами, действующими со стороны частиц с номерами k = 2, 3, 4, …
2. Силы, действующие на какую-нибудь частицу со стороны нескольких тел,
складываются по правилу параллелограмма (линейная форма закона сложения сил):
K
+++=
FFFF
1413121
3. Механическое состояние материальной точки не изменится, если к ней
приложить систему сил, равную нулю.
Количественной мерой восприимчивости тела к передаваемому ему механическому движению является его инертная масса m. Понятие об инертной
массе тела основывается на следующих экспериментальных фактах:
22
1. В любой системе отсчета отношение силы, действующей на некоторую
W
F
r
å
c
<<
u
=+=
u
u
rrr
r
частицу, к ускорению, вызываемому этой силой, является величиной постоянной:
m ==
F
(8.1)
.const
Это утверждение указывает способ измерения массы тела: достаточно выбрать
инертную массу
какой-нибудь силой
m некоторого тела за эталон и сравнить ускорения, сообщаемые
ЭТ
рассматриваемому и эталонному телам.
2. Как показывает опыт, массу в нерелятивистской механике Ньютона
можно считать величиной аддитивной, т. е. можно принять, что масса m любой
сложной механической системы равна сумме масс
=
mm .
i
m составляющих ее частей, т. е.
i
i
3. Инертная масса m любой материальной частицы равна (точнее, пропор-
циональна) ее тяжелой или гравитационной массе
m
пропорциональной весу
G
частицы:
т
т
m
ЭТ
=
т
.
(8.2)
)(
GG
ЭТ
Первое и второе утверждения справедливы для медленных движений тел со
скоростями
. При u~c эти утверждения, как показывает СТО, оказываются
неверными. Утверждение (8.2) о равенстве гравитационной и инертной масс
неоднократно и с большой степенью точности подтверждалось экспериментально; кроме того, указанное утверждение естественным образом вытекает из
общей теории относительности Эйнштейна.
Для изучения движения какой-либо механической системы необходимо
предварительно выбрать ту или иную систему отсчета. Как показывает опыт,
законы механического движения в различных системах отсчета имеют в общем
случае разный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то законы самых
простейших механических движений могут оказаться в ней весьма сложными и
запутанными. Поэтому естественно возникает задача: найти такую систему
отсчета, в которой законы механики имели бы наиболее простой вид.
Отыскание такой системы отсчета следует связать со свойствами симметрии
пространства и времени.
Как показывает опыт, всегда можно указать такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время –
однородным. Указанную систему отсчета называют инерциальной. В этой системе
отсчета изолированная материальная точка может неограниченно долго покоиться
или совершать равномерное и прямолинейное движение по закону:
.,)0()(
consttrtr
00
(8.3)
Системы отсчета, относительно которых изолированная материальная точка
движется ускоренно, называются неинерциальными.
Из данного определения инерциальной системы отсчета становится очевидным, что понятия «однородность и изотропность пространства» и «однородность времени» приобретают определенный физический смысл лишь по
23
отношению к замкнутым механическим системам, т. е. к таким системам, на
частицы которых не действуют силы извне (или они пренебрежимо малы).
Пространство однородно и изотропно, если все положения и ориентации в
нем замкнутой системы физически эквивалентны (при этом предполагается,
что при параллельных переносах и поворотах системы как единого целого относительное расположение частиц в системе и их относительные скорости не
изменяются). Однородность времени означает физическую эквивалентность
всех его моментов по отношению к замкнутой системе.
Существование в природе инерциальных систем отсчета подтверждается
экспериментом (и, как всегда, лишь с известной степенью точности). Простейшие
опыты Галилея по отысканию инерциальной системы отсчета состояли в
наблюдении движения отполированного металлического шарика по гладкой
наклонной плоскости. Было установлено, что если угол наклона плоскости к
горизонту стремится к нулю, то и ускорение шарика также стремится к нулю
(если пренебречь силами трения). Отсюда был сделан вывод об инерциальности
геоцентрической системы отсчета, т. е. системы отсчета, связанной с Землей.
Однако позднейшими опытами Фуко (1851 г.) была установлена неинерциальность геоцентрической системы и обнаружена совершенно иная инерциальная
система отсчета. Ею оказалась система координат с началом в центре масс
Солнечной системы и осями, направленными на три неподвижные звезды, т. е.
гелиоцентрическая система отсчета. В свою очередь, учет вращения Солнечной
системы относительно центра нашей Галактики должен приводить к некоторой
весьма малой (по сравнению с неинерциальностью геоцентрической системы)
неинерциальности и гелиоцентрической системы отсчета.
Из этих рассуждений очевидно, что строго инерциальной системы отсчета не
существует, как не существует в природе и абсолютно изолированного тела, с
которым можно было бы связать такую систему отсчета. Поэтому об инерциальности реальной физической системы отсчета, связанной с тем или иным телом
природы, можно говорить лишь с определенной степенью точности. Одну и ту же
систему отсчета при решении одних задач можно приближенно считать
инерциальной, а при решении других приходится учитывать поправки на ее
неинерциальность.
Допустим, что нами выбрана некоторая система отсчета, которую с определенной степенью точности можно считать инерциальной. После того как такой
выбор сделан, можно указать множество твердых тел, движущихся относительно
выбранной системы отсчета равномерно и поступательно. Принимая указанные
твердые тела за тела отсчета, мы получим тем самым множество других инер-
циальных систем отсчета.
Одним из основных законов механики является принцип относительности
Галилея, утверждающий, что все законы механики имеют одинаковую форму во
всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, принцип относительности
утверждает равноправие (или физическую равноценность) всех инерциальных
систем отсчета.
24
Математически принцип относительности Галилея выражается в том, что
K
¢
K
¢
rrr
=
r
r
rrr
rrr
uuuuu
u
¢=¢=+¢=
r
=
u
r
u
rrr
+
=
dt
r
Рис.
2.1
0
X
Y
Z
Z’ Y
X’
0’ M
законы механики должны быть ковариантны (т. е. не изменять свою форму) по
отношению к преобразованию координат при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой.
Рассмотрим две инерциальные системы
отсчета: K и
что система отсчета
и частицу M (рис. 2.1). Допустим,
движется относительно
системы K с постоянной скоростью Vr. Из рис.
2.1 видно, что
¢
.Rrr
+
=
(8.4)
Если начала координат O и O¢ в начальный
момент
t
совпадают, то
tVR
=
. Следователь-
0
но, искомые формулы преобразования координат и времени, соответствующие
переходу, имеют вид:
(8.5)
¢
=
¢
., tttVrr
=+
Полученные формулы называют преобразованием Галилея.
Преобразованию Галилея соответствует закон сложения скоростей:
или
¢
,V
+
=
uu
V
.,,
(8.6)
zzyyxx
Анализ принципа относительности Галилея, проделанный А. Эйнштейном в
1905 г., привел его к выводу, что этот принцип является одним из фундамен-
тальных законов природы, применимым не только к механическим, но и к любым
другим физическим явлениям: тепловым, электромагнитным, оптическим и т. д.
Это позволило ему сформулировать более общий принцип относительности,
называемый часто принципом относительности Эйнштейна: законы любых физических явлений одинаковы во всех инерциальных системах отчета. Этот
принцип является одним из постулатов СТО и релятивистской механики, построенной на ее базе.
Основу классической динамики составляют три закона, сформулированные
Ньютоном.
Первый закон классической динамики, называемый законом инерции Галилея:
всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние, т. е. если
0=F
, то
const
и trtr
)( . (8.7)
0
Объективным содержанием первого закона Ньютона является утверждение о
существовании в природе инерциальных систем отсчета.
Второй закон Ньютона утверждает, что произведение массы частицы на ее
ускорение относительно инерциальной системы отсчета равно геометрической
сумме всех сил, действующих на данную частицу со стороны других тел, т. е.
2
r
rd
.
m
F
=
2
(8.8)
Второй закон динамики является одним из фундаментальных законов природы. Он позволяет найти положение и скорость частицы в любой момент вре-
25
мени, если задана масса частицы, результирующая
F
r
F
r
r
F
r
uuu
rrr-=
D
r
r
u
r
r
=
u
r
rrrrr
r
r
r
r
всех сил, действующих на
нее со стороны других тел, а также ее положение и скорость в начальный момент
времени. Поэтому равенство (8.8) называют дифференциальным уравнением
движения частицы в векторной форме.
Пусть результирующая сила
постоянна. Интегрирование уравнения
движения (8.8) в этом частном случае дает:
rr
F
uu
m
Соотношение (8.9) показывает, что под действием заданной силы
деленное изменение скорости
у тела с большей массой происходит за
12
).(
tt
-=-
(8.9)
1212
опре-
более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела
обладают инерцией, а массу m называют мерой инерции тела.
Так как масса m нерелятивистской, классической частицы постоянна, второй
закон Ньютона (8.8) можно представить в виде:
pd
,F
= (8.10)
dt
где вектор
mp
называют импульсом (или количеством движения) частицы.
Уравнение движения частицы в форме (8.10) оказывается справедливым
также и в релятивистской механике СТО, однако импульс частицы в этом случае
должен определяться выражением:
r
m
p
=
1
.
2
u
-
2
c
Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия) сводится к утверждению, что две частицы взаимодействуют между собой с силами,
равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль линии,
соединяющей частицы, т. е. для любых двух частиц 1 и 2:
,
rrrFF
где
F
(или
12
(или 1), и
-=-¯-=
21122112
F
) ‒ сила, действующая на частицу 1 (или 2) со стороны частицы 2
21
r
r
,
‒ радиусы-векторы частиц.
1
2
(8.11)
Из второго и третьего законов Ньютона следует, что любые две материальные точки в процессе взаимодействия сообщают друг другу ускорения,
обратно пропорциональные их массам и направленные в противоположные
стороны по прямой, соединяющей эти точки. Таким образом, значения масс и
ускорений взаимодействующих частиц связаны соотношением:
W
W
m
12
21
2
.
=
m
1
О взаимодействии частиц, подчиняющимся закону (8.11), говорят как о
центральном взаимодействии.
26
§ 9. Уравнения движения механической системы.
r&&r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Принцип причинности классической механики
Рассмотрим теперь некоторую механическую систему, состоящую из n
частиц (материальных точек). Уравнение движения для i-ой частицы имеет вид:
).,,2,1( niFrm
K
iii
==
(9.1)
Здесь
F
– равнодействующая всех сил, действующих на i-ю частицу; среди
i
них есть как внутренние, так и внешние силы.
Условимся называть внутренними силами силы взаимодействия
F
между
ij
частицами данной механической системы, а внешними ‒ силы, действующие на
частицы рассматриваемой системы со стороны тел, не входящих в эту систему.
При этом полную силу
F
, действующую на i-ю частицу рассматриваемой меха-
i
нической системы, можно представить в виде:
где
n
e
å å
ii
)(e
F
– равнодействующая всех внешних сил, приложенных к i-й частице.
i
1 1
= =
j
¹
ij
n
)()(
e
iij
rrrrr
(9.2)
+º+=
,
FFFFF
ij
j
Таким образом, дифференциальные уравнения движения механической
системы можно окончательно записать в виде:
n
å
j
rr
(9.3)
).,,2,1(
niFFrm
K
ij
1
=
=+=
r
&&
)(
e
iii
Движение свободной механической системы подчинено уравнениям
движения Ньютона (9.3). Анализ этих уравнений показывает, что в динамике
свободных механических систем можно рассматривать два типа задач:
1. Прямая задача – задача об отыскании радиус-векторов частиц как
функций времени )(tr
по заданным внутренним
i
F
и внешним
ij
)(e
F
силам и из-
i
вестным массам частиц
m . В математическом отношении эта задача сводится к
i
нахождению общего решения системы обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка, вытекающей из (9.3):
2
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
m
m
m
xd
i
i
2
dt
2
yd
i
i
2
dt
2
zd
i
i
2
dt
2. Обратная задача − задача о нахождении полной силы
на i-ю частицу механической системы по ее массе
вектору )(tr
как функции времени.
i
n
)(
e
+=
å
ix
iz
=
1
j
n
)(
e
+=
å
iy
=
1
j
n
)(
e
+=
å
=
1
j
,)(
FF
ijx
,)(
FF
),,2,1( ni K= (9.4)
ijy
.)(
FF
ijz
F
, действующей
i
m и заданному радиусу-
i
Нетрудно видеть, что обратная задача всегда может быть решена, если
радиусы-векторы частиц )(tr
‒ непрерывные и дифференцируемые функции,
i
так как решение обратной задачи сводится к простой операции дифференцирования.
27
Труднее получить решение основной задачи динамики, сводящейся к более
=-=
=
=-=
=
2
=
=====
=
aua
u
2
F
r
F
r
r
r
Рис. 2.2
трудной математической операции интегрирования системы дифференциальных
уравнений (9.4).
Рассмотрим простейшую задачу о сво-
Y
m
бодном движении материальной точки в однородном поле притяжения Земли без учета
сопротивления атмосферы. Если систему декартовых координат выбрать так, как указано на
0
A
рис. 2.2, то дифференциальные уравнения
движения точки можно записать в виде
Z
&&&&
&&
zmmgymxm
,0,,0
или .0,,0
&&&&
&&
zgyx
(9.5)
Общее решение системы уравнений (9.5) имеет вид:
1
,
21
2
.,
CtCzCtCgtyCtCx +=++-=+=
6543
(9.6)
Это шестипараметрическое семейство кривых, включающее различные
параболы и прямые. Отсюда видно, что сама по себе система уравнений (9.5)
еще не дает ответа на вопрос о том, как будет двигаться материальная точка в
поле притяжения Земли. Чтобы получить ответ, необходимо задать начальные
условия, т. е. задать положение и скорость материальной точки в некоторый
момент времени. Пусть, например, при 0
t
:
&&
00
&
zyxzyx
(9.7)
.0)0(,sin)0(,cos)0(,0)0()0()0(
Начальные условия (9.7) отбирают из семейства кривых (9.6) единственную кривую, по которой будет происходить движение материальной точки.
Траекторией тела, брошенного под углом a к горизонту, является парабола:
2
sin,cos
tytx
00
gt
auau
,0,
º-== z
или .0,
xtgy
a
2
gx
22
cos2
0
au
º-= z
Заданием начального состояния механической системы однозначно определяется ее поведение и во все последующие моменты времени.
Это утверждение представляет собой принцип причинности классической
механики или принцип лапласовского детерминизма, справедливого только в
рамках классической механики.
§ 10. Работа силы и потенциальная энергия материальной точки
во внешнем силовом поле
Работа является важнейшей характеристикой механического движения,
определяющей изменение кинетической энергии системы. Вычислим работу,
производимую некоторым силовым полем
по перемещению частицы т из
точки А в точку В. С этой целью весь путь, проходимый частицей, разобьем на
элементарные участки dl (рис. 2.3). Элементарной работой силы
на беско-
нечно малом участке пути dl называют скалярное произведение
.rdFA
d
×=
(10.1)
28
×
=
(
)
r
r
r
r
F
r
r
r
r
r
ò
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
Рис. 2.3
B
В СИ единицей работы является джоуль:
1
мНДж
. Суммируя выражения (10.1) по всем эле-
m
ментарным участкам пути, получим работу по конечному перемещению частицы:
++=×=
dzFdyFdxFrdFA .
(10.2)
A
ò ò
È È
AB AB
zyx
В курсах математики показывается, что значение
0
криволинейного интеграла (10.2) может не зависеть
или зависеть от конкретного вида кривой, соединяющей
точки А и В. В первом случае элементарную работу (10.1) можно представить в
виде полного дифференциала некоторой функции координат частицы:
(10.3)
).,,( zyxdUrdF -=×
При этом работа силы
по конечному перемещению частицы оказывается
равной
×
B
)(
ò
×
A
)(
Во втором случае элементарную работу
-=-=
нельзя представить в виде
rdF
×
zyxUzyxUzyxdUA
).,,(),,(),,(
BBBAAA
(10.4)
(10.3).
Поля, удовлетворяющие условию (10.3) или (10.4), называют потенциаль-
ными силовыми полями, а функцию
),,( zyxU
– потенциальной энергией мате-
риальной точки во внешнем потенциальном силовом поле. По заданной силе
, действующей на материальную точку, ее потенциальную энергию можно
)(rF
найти с помощью неопределенного интеграла:
(10.5)
+×-= .)()( CrdrFrU
Отсюда видно, что потенциальная энергия материальной точки определена с
точностью до аддитивной произвольной постоянной С. Поэтому, прежде чем
работать с функцией
)(rU
как с потенциальной энергией частицы, ее необхо-
димо предварительно прокалибровать, выбрав произвольным образом нулевой
уровень потенциальной энергии.
Сформулируем теперь дифференциальный признак потенциальности силового поля. Условие независимости интеграла работы (10.2) от формы пути
можно понимать как требование:
,0ò=×LrdF
(10.6)
откуда, применяя теорему Стокса, получаем:
=×SfdFrot ,0
(10.7)
где
ò
– элемент поверхности S, натянутой на замкнутый контур L. Ввиду про-
fd
извольности поверхности S равенство (10.7) равносильно требованию:
(10.8)
,0=Frot
29
¶
¶
F
r
º
r
r
d
¶
rrr
¶
¶
¶
¶
r
¶
¶
r
r
F
r
=
r
r
r
const
z
=
F
r
-
=
rrr
r
r
const
=
r
F
r
r
r
-
=
rrr
¶
F
z
x
y
=
¶
x
x
¶
.0=
y
(10.8а)
или
F
¶
F
¶
F
z
¶
y
y
-
=
¶
z
¶
F
x
-
¶
¶
z
Таким образом, потенциальное силовое поле – это безвихревое поле. Силовые
поля, в которых
Так как
0¹Frot
, называют вихревыми.
, то силу, действующую на частицу в потенци-
0),,(
zyxgradUrot
альном силовом поле, можно выразить через ее потенциальную энергию:
U
-=-= gradUF
U
(10.9)
,
-=
r
где – векторный дифференциальный оператор набла.
U
=
r
r
¶
откуда видно, что
U
x
¶
U
i
+
y
¶
U
r
U
j
+
,k
(10.10)
z
¶
r
(10.11)
.dUrd
=×
Равенствами (10.5) и (10.9) устанавливается взаимно однозначное соответствие
между скалярным полем, определяемым функцией )(rUr, и потенциальным
силовым полем
эквипотенциальной поверхности constrU
)(rF
. В каждой точке поля вектор силы
)(
в сторону убывания потенциальной
направлен по нормали к
энергии.
Потенциальные силовые поля могут быть самой разнообразной физической природы и обладать различной симметрией. Рассмотрим несколько
примеров.
Однородное (или плоскопараллельное) поле constrF =)(
(например, электро-
статическое поле в пространстве между обкладками плоского конденсатора;
однородное поле притяжения Земли).
Эквипотенциальными поверхностями однородного поля являются, плоскости
, параллельные координатной плоскости Оху. Работа силы
одно-
родного поля по конечному перемещению материальной точки равна
)(
zzFA
.
12
Аксиально-симметрическое поле
= , где
eFrF
)()(
r
r
− расстояние от мате-
риальной точки до оси симметрии поля, принимаемой за ось Oz цилиндрической
системы координат. Примером такого поля может служить электростатическое поле,
создаваемое бесконечной, равномерно заряженной прямой нитью. Эквипотенциальными поверхностями в поле
eFr)(
являются коаксиальные цилиндры
r
.
Работа силы
материальной точки равна
Центрально-симметрическое поле
аксиально-симметрического поля по конечному перемещению
)()(
UUA
.
21
eFrF
)()(r=
, где r – расстояние от мате-
r
риальной точки до некоторой точки О, называемой центром поля. Примерами
центрально-симметрических полей могут служить электростатическое поле точечного заряда, гравитационное поле точечной тяжелой массы; поле силы
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]