Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Движение системы, описываемое фор-
l
t
=
t
+
=
w
p
=
w
l
<<
w
l
<<
2
w
l
>
мулами (46.7)–(46.9), представляет собой
свободные затухающие колебания, т. е. колебания с экспоненциально убывающей ампли-
тудой
=
(рис. 8.3). Скорость убывания
t
l
-
aeA
амплитуды характеризуется показателем l,
называемым коэффициентом затухания. За
Рис. 8.3
время
/1
амплитуда колебаний умень-
шается в e раз. На этом основании величину
называют временем релаксации свободных колебаний.
Затухающие колебания (46.9) не представляют собой периодического процесса, так как нельзя указать такое время T, чтобы имело место равенство
)()( Ttxtx
. Однако некий элемент периодичности сохраняется и у затухаю-
щих колебаний. Он состоит в том, что система через равные промежутки времени
T
1
/2
проходит через положение равновесия. Поэтому величину
T
1
называют условным периодом затухающих колебаний:
2/1
-
2
ö
l
-=
2
w
0
ö
÷
(46.11)
.
2
÷
0
ø
(46.10)
÷
.1
÷
ø
В частности, при
=
w
0
0
2
l
1
-
2
w
0
TT
01
12
p
æ
ç
TT
0
ç
è
æ
ç
ç
è
2
l
1
+»
2
w
Таким образом, условный период затухающих колебаний всегда больше
периода собственных колебаний системы
T .
0
Рассмотрим теперь полную внутреннюю энергию системы. Используя
формулу (46.9), ее можно представить в виде:
22
w
am
2
-
l
E
0
t
2
2
é
l
ê
2
w
ê
0
ë
l
aw
w
0
w
2
l
2
0
ù
.)(2sin1)2cos(1
+-+++=
aw
tte
ú
ú
û
С помощью этого выражения можно показать, что
dE
-=
dt
,Ф2 (t)
(46.12)
т. е. вся энергия, теряемая системой в единицу времени, расходуется на преодоление сил трения. При
полная внутренняя энергия системы изменяется по
0
закону:
22
am
»
0
20t
l
-
Ew=
,
eEE
0
.
(46.13)
Отсюда видно, что запас энергии системы уменьшается значительно быстрее убывания амплитуды колебаний.
2. Если
(квазиупругие силы малы по сравнению с силами трения), то
0
оба корня (46.5) характеристического уравнения являются действительными и
отрицательными. В этом случае движение системы состоит в монотонном убы-
141
вании смещения x, т. е. в асимптотическом приближении системы к положе-
¥
®
t
<
u
>
u
w
l
=
l
-
=
x
xLxLdt
¶
¶
¶
2
2
b
+
=
w
l
<
нию устойчивого равновесия при
по закону:
ddl
--
eCeCetx
+=
21
ttt
),()(
где .
2
2
wld
-= (46.14)
0
Такое движение называется апериодическим затуханием. На рис. 8.4 гра-
фически представлены два возможных типа апериодического затухания: с переходом (при
без перехода (при
) через положение равнове-
0
0
) и
0
0
сия.
3. Если
, характеристическое уравнение
0
(46.5) имеет двукратно вырожденный корень
r
2,1
. Общее решение (46.4) при этом записыва-
ется в виде:
+=
21
(46.15)
Рис. 8.4
Это особый случай апериодического затухания.
t
l
-
.)()(
etCCtx
§ 47. Вынужденные колебания одномерной механической системы
при наличии сил вязкого трения
Рассмотрим теперь вынужденные колебания одномерной механической
системы с учетом сил вязкого трения, действующих на нее со стороны окружающей среды. Малые колебания в этом случае описываются уравнением
Лагранжа:
d
-
¶
m
где .
L
2
0
Ф),()(
=+-=
1
&&
xtxFxx
aw
¶
222
Ф
-=
,
&&
¶
(47.1)
Наибольший практический интерес представляет случай периодической
вынуждающей силы
ti
),Re()(
0
tFtF
или
)γcos()(
fetFg=
где
b
i
eFf0=
. Уравнение
Лагранжа (47.1) в этом случае принимает вид:
f
2
&&&
xxx
wl
=++
0
Будем предполагать, что коэффициент затухания системы
m
ti
g
.2
e
(47.2)
. Общее
0
решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (47.2), имеет
вид (46.9), а частный интеграл
ti
искать в виде
откуда
Aexg=
1
. Подстановка этого выражения в уравнение (47.2) дает:
A
=
или
самого неоднородного уравнения (47.2) удобно
x
1
f
)Ai- º+
,γ2γ(
m
0
F
22
0
F
0
22
+
0
.
γ2γ(
)i-m
lw
+
b
i
e
lwlw
)i-m
γ2γ(γ2γ(
,
22
0
lw
f
22
+
0
ii
sb
-
beBBeA
=
)i-m
===
142
(47.3)
Рис.
8.5
0
Таким образом, общее решение уравнения (47.2) можно окончательно
>>
s
b
-+=
B
B
l
l
=
γ
j
представить в виде:
l
-
t
tbtaetx
).γcos()cos()(
sbaw
-+++=
(47.4)
Здесь первое слагаемое, описывающее свободные колебания системы, экспоненциально убывает со временем, так что к моменту 0
t в общем решении
(47.4) остается только второе слагаемое:
tbtx
).γcos()(
(47.5)
Это означает, что к указанному моменту времени в системе устанавливается
стационарный режим гармонических вынужденных колебаний с частотой,
равной частоте вынуждающей силы γ.
Найдем амплитуду b и сдвиг фазы s вынужденных колебаний. Умножая
на
*
и извлекая квадратный корень, получаем:
γ
*
==
BB)b(
m
0
F
0
+-
.
(47.6)
22222
γ4)γ(
lw
Чтобы найти сдвиг фазы s, представим второе равенство (47.3) в виде:
mb
F
0
22
0
i)i-
-=-
.sincosγ2γ(
sslw
Приравнивая здесь действительные и мнимые части, находим:
γ2
sin
s
mb
F
следовательно, .
s
arctg)(γ
= (47.8)
w
γ2
22
γ
-
0
Зависимость амплитуды
mb
==
F
00
)b(γ
установившихся
22
)γ(cos,
-
ws
0
(47.7)
вынужденных колебаний от частоты γ вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания l представлена гра-
фически на рис. 8.5, из которого видно, что
все кривые )b(γ начинаются из точки с 0γ
F
ординатой, равной
амплитуда
)b(γ
0
. Затем по мере роста
2
w
m
0
резко возрастает, и тем бы-
стрее, чем меньше l. При некотором значении γ каждая кривая
ма. Этот максимум соответствует частоте
22222
γ4)γ()(γ
lwj
ренное выражение
0
+= -
в формуле (47.5). Производная
γ
при которой минимально подко-
1
,
)b(γ
обращается в нуль при частоте вынуждающей силы, равной
22
,2γ
lw
-= (47.9)
01
F
при этом
m
0
0
γ
==
)b(b
1max
2
.
(47.10)
22
lwl
-
и
достигает максиму-
γ/ dd
143
Рис.
8.6
0
Из последних формул видно, что при
®
l
w
®
s
w
<
p
s
<
w
>
p
s
>
w
=
p
w
w
=
p
=
l
w
=
2
2
2
2
2
2
0
резонансная частота
γ
01
максимальная амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в окрестности частоты
носит название амплитудного резонанса.
γ
1
Зависимость сдвига фазы
)(γ
вынужденных
различных значениях l представлена на рис. 8.6,
из которого видно, что при
колебания сдвинуты по отношению к вынуждающей силе на угол
угол
. Изменение s от нуля до p происхо-
2
γ
2
вынужденные
0
, а при
γ
– на
0
дит в сравнительно узкой области, примыкающей
колебаний от частоты вынуждающей силы γ при
ко второй резонансной частоте
γ
. Крутизна
02
кривых )(γs в указанной области тем больше, чем
меньше коэффициент затухания свободных колебаний l. Все кривые )(γs
пересекаются в точке
0
отстают по фазе от вынуждающей силы на угол
коэффициента затухания l. При 0
скачком в точке
γ
.
0
; поэтому при
)2,(
изменение s от нуля до p происходит
γ
вынужденные колебания
0
независимо от значения
2
Рассмотрим энергетические превращения в системе, совершающей вынужденные колебания (47.5). Внутренняя энергия системы, колеблющейся по
закону (47.5), равно:
22
γ
m
2
E
&
22
)(
xx
0
bm
2
t
)γ(sin
sbw
w
22
bm
0
2
).γ(cos
sb
-++-+=+= t
Если это выражение усреднить по промежутку времени, равному периоду
вынужденных колебаний, и учесть, что
1
,
)γ(cos)γ(sin
=-+=-+
sbsb
то получим:
E =+=
mb
22
tt
2
w
22
0
const
.)γ(
(47.11)
С другой стороны, колеблющаяся система непрерывно производит работу
против сил трения, действующих на нее со стороны вязкой среды. В среднем
ежесекундный расход энергии, затрачиваемой системой на преодоление сил
трения, равен:
тр
&
1
)γ(sinγ
-=-=-+-=-=
22222222
.γγ
bmbtbxN
lasbaa
(47.12)
Этот расход компенсируется энергией, передаваемой системе источником
вынуждающей силы. Действительно, используя соотношения (47.7), можно показать, что
144
2
&
w
=
w
=
w
=
Рис.
8.7
0
Таким образом, величину
00вынуж
1
)γcos()γsin(cos
0
==++-
22
γγ)( bmJl=
можно рассматривать как меру
22
.γsinγ
bmbFtt
lsbbs
2
)γ(cos[sinγ)γsin()γcos(γ)(
tbFttbFtFxN
bssbb
-+=-++-==
(47.13)
поглощения энергии системой в единицу времени. Подставляя сюда явное выражение (47.6) для амплитуды колебаний, получим:
2
l
F
γ)(
J
0
=
0
Полученную зависимость
2
γ
+
-m
.
22222
γ4)γ(
lw
γ)(J
называют дис-
(47.14)
персионной кривой поглощения энергии; вид этой
кривой представлен на рис. 8.7. Из этого рисунка видно, что поглощение энергии системой, совершающей вынужденные колебания в вязкой
среде, имеет ярко выраженный резонансный характер: поглощение в основном происходит в
сравнительно узкой области частот, примыкающей к резонансной частоте
γ
но:
поглощение энергии максимально и рав-
0
2
==
000
тания поглощения энергии в окрестности частоты
γ
lw
mFJJ 4)(
. Явление резкого возрас-
носит название энергети-
γ
2
; при
02
ческого резонанса или резонанса скоростей, так как амплитуда скорости системы
)γ(γb
также максимальна при
γ
.
0
§ 48. Нелинейные колебания одномерной механической системы
Теория малых колебаний одномерных механических систем основана на
разложении потенциальной и кинетической энергии системы в ряд по степеням
&
смещения x и скорости
x
с точностью до величин второго порядка малости.
Уравнения движения оказываются линейными, а о малых колебаниях говорят
как о линейных колебаниях. На практике часто приходится сталкиваться с необходимостью исследовать колебания с достаточно большими амплитудами и
скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным, и поэтому в лагранжиане системы приходится учитывать последующие члены разложения, приводящие к нелинейности (или ангармоничности)
колебаний.
Рассмотрим одномерную замкнутую систему и произведем разложение ее
функции Лагранжа (44.1) до членов четвертого порядка по x к x& включительно.
При этом в разложении кинетической энергии системы появятся члены, содер-
жащие произведения
2
&
xx
и
22
&
xx
, а в разложении потенциальной энергии –
члены, содержащие третью и четвертую степени x. В результате функция
Лагранжа (44.1) примет вид:
145
432
2
4322
2
w
+
=
m
L
d
22
&
)γ1(
xxx
0
xmxmxm
baw
---++=
,
(48.1)
где введены обозначения:
ì
ï
ï
1
III
),(
2
0
í
ï
ï
î
¢
=
),(γ
0
=
d
1
==
ba
1
2
IV
),(
qUmqUm
6
II
qfmqfm
0
(48.2)
).(
0
Систему, описываемую функцией Лагранжа (48.1), называют одномерным
ангармоническим осциллятором. Дифференциальное уравнение малых колебаний
ангармонического осциллятора (48.1) имеет вид:
1
0
2322
ddbaw
+-+---=+
&&&&&
,)γ()2γ(
xxxxxxxxx
(48.3)
где
– собственная частота линейных колебаний системы. Первые два сла-
0
гаемых в уравнении (48.3) учитывают динамическую, а остальные – кинематическую ангармоничность. В качестве системы, обладающей одновременно обоими типами ангармоничности, можно указать двойной плоский маятник. Примером системы, обладающей только динамической ангармоничностью, может
служить обычный математический маятник.
Как показывает опыт, нелинейность собственных колебаний одномерной
системы (48.1) конкретно проявляется в том, что:
а) в спектре собственных частот системы наряду с основным тоном обнаруживаются обертоны, т. е. колебания с частотами, кратными основной частоте
собственных колебаний;
б) основная частота нелинейных колебаний системы (48.1) перестает быть
независимой от амплитуды колебаний (т. е. нарушается изохронность собственных
колебаний);
в) для нелинейных колебаний, описываемых уравнением (48.3), не выполняется принцип суперпозиции (общее решение указанного уравнения нельзя
представить в виде линейной комбинации
)( xCxCtx
).
2211
Точных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений
типа (48.3) не существует. Однако в случае, когда нелинейные члены в уравне-
2
x
нии (48.3) достаточно малы по сравнению
w
, можно использовать прибли-
0
женный метод Крылова – Боголюбова. Следуя этому методу, будем искать приближенные решения уравнения (48.3) в виде
ì
ï
0
2
1
í
&
ï
î
10
3
yyyx
eee
2
weewww
+++=
2
...,ψ)(ψ)(ψ)(
(48.4)
+++=º
...,)()(ψ
aa
2
где a – заданная амплитуда колебаний и e – формально вводимый «малый»
параметр, численно равный единице.
Подстановка разложений (48.4) в (48.3) и приравнивание коэффициентов при
одинаковых степенях параметра e в левой и правой частях получаемого при
146
этом равенства, приводит к системе зацепляющихся дифференциальных урав-
=+¢
¢
[
]
w
cos
ψ
a
»
w
»
=
w
w
+»+
»
=
w
+
=
нений для определения функций
ψ)(ny
:
,0
(48.5а)
00
é
2
--=+
0
( )
---=+
w
1
w
0
¢¢
yγ
ê
ë
¢¢
0
+
¢¢
¢¢
+
-
+
γ2
w
1
[ ]
w
0
2
1
¢
)(
000
2
¢¢
w
ù
2
ú
û
-
1
¢¢
,
w
yyyyyy
(48.5б)
0
0
2
¢
¢¢
)(yγ
yyyyyyyyyyyyyy
+
-
0000100110
-
d
(48.5в)
¢¢
+
...,;)(2
yyyyy
000
2
¢
w
yy
a
2
w
0
b
3
0
2
0
20
¢¢
-
0
¢¢
11
2
¢¢
22
a
10
2
w
0
2
2
+
w
www
2
0
1
-
где штрихами обозначается дифференцирование по переменной ψ. Функции
)(na
должны быть подобраны так, чтобы в правых частях уравнений (5.5) не
появлялись члены с
, так как в противном случае решения этих уравнений
приводили бы к резонансу в замкнутой системе, что противоречит закону сохранения энергии. Система уравнений (48.5) решается методом последовательных
приближений.
В нулевом приближении принимается, что
)( ytx
0
и
ψ
&
. При этом из
0
уравнения (48.5а) находим:
cosψ
следовательно,
ay
0
)0(
0
)0(
.);cos()(
wwjw
»+=» taytx
(48.7)
0
(48.6)
Таким образом, решение уравнения (48.3) в нулевом приближении дает
линейные собственные колебания системы.
Первое приближение. Чтобы получить решение задачи в первом прибли-
&
ψ,)(
жении (
yytx
), подставим полученное нулевое приближение
1010
(48.6) в уравнение (48.5б). При этом указанное уравнение принимает вид:
2
æ
¢¢
a
yy
=+
11
4
2
a
ç
γ
-
2
ç
w
0
è
2
ö
÷
÷
ø
æ
2
a
a
ç
2
ç
4
w
0
è
ö
÷
-÷
ø
2
w
ψ2cosγ3
1
+
w
0
ψ.cos
a
(48.8)
В этом уравнении следует прежде всего принять
0
, а его частное ре-
1
шение искать в виде:
AAy
201
ψ.2cos
Подстановка выражения (48.9) в (48.8) показывает, что постоянные
следует принять равными:
2
æ
a
ç
=
A
0
ç
4
è
ö
2
a
÷
w
,
A-
2
÷
0
ø
γ
2
æ
2
a
2
a
ç
ç
4
3
w
è
ö
÷
.γ
-=
2
0
(48.10)
÷
ø
Следовательно, решение задачи в первом приближении имеет вид
)1(
ì
ï
í
)1(
ï
î
=+»
.
wwww
010
147
2010
(48.9)
и
A
0
++++=+»
),(2cos)cos()(
jwjw
tAtaAyytx
A
2
(48.11)
§ 49. Свободные колебания многомерных механических систем
s
=
=
=-=
(
)
=¶¶
=
=
Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями
свободы строится по аналогии с теорией одномерных колебаний. Рассмотрим
-мерную несвободную систему с голономными, идеальными и стационарными
связями, предполагая, что все действующие на нее силы являются потенциальными и стационарными. Функция Лагранжа такой системы в общем случае
имеет вид:
s
1
å
2
ij
1,
ji
=
K -=
21 sjis
&&
21
).,,,(),,,(
qqqUqqqqqfL K
(49.1)
Так же как и в одномерном случае, выясним прежде всего, какую форму
принимает функция Лагранжа (49.1), если рассматриваемая система совершает
малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия.
1. Функция Лагранжа для малых колебаний системы.
),,,(
Допустим, что потенциальная энергия системы
qqqU K
21 s
имеет изо-
лированный минимум в некоторой точке конфигурационного пространства
),,2,1(
siqq
0
ii
K
. Введем малые смещения системы от положения устойчивого
равновесия:
).,,2,1(
siqqx
0
iii
K
Разложение потенциальной энергии системы U в ряд по смещениям
(49.2)
x
с
i
точностью до членов второго порядка можно представить в виде:
2
æ
ç
ç
è
ö
U
¶
÷
÷
qq
¶¶
ji
ø
qq
=
,
xx
ji
0
где
qU
i
0
=qq
. Условимся отсчитывать потенциальную энергию от ее мини-
0
мального значения, приняв
+
1
2
sis
ååå
= =
1 1
j
s
),,,(),,,(
qqqUqqqU
+= KK
0201021
ss
1
i
=
qqqU K
2
æ
U
¶
ç
ç
qq
¶¶
è
ji
ö
æ
U
¶
÷
ç
ç
q
¶
è
02010
s
x
i
÷
i
ø
qq
=
0
0),,,(
и ввести обозначения:
ö
÷
÷
ø
qq
=
0
,
k
=
(49.3)
ij
то потенциальную энергию системы U в гармоническом приближении можно
окончательно представить в виде положительно определенной квадратичной
формы:
s
Силовые постоянные системы
1
=
å
2
1,
ji
=
симметричны относительно перестановки
k
ij
.
xxkU
(49.4)
ji
ij
индексов, т. е.
.
kk
(49.5)
jiij
Кинетическую энергию системы T в том же приближении можно записать в
виде второй положительно определенной квадратичной формы:
s
1
=
2
1,å=
ji
148
&&
,
xxmT
jiij
(49.6)
при этом кинематические параметры системы
=
=
j
i
,
j
i
®
i
j
®
ååå
å
ååå
å
ååå
å
m , определяемые равенствами
ij
),,,,(
qqqfm K
02010 sijij
также симметричны относительно своих индексов:
mm
. (49.8)
jiij
Лагранжиан s-мерной механической системы, можно представить в виде
разности двух положительно определенных квадратичных форм:
s
1
å
2
1,
ji
=
&&
-=
jiij
).(
xxkxxmL
jiij
2. Вековое или характеристическое уравнение.
Составим уравнения Лагранжа. Для определения входящих в них производных запишем полный дифференциал лагранжиана (49.9):
s
s
1
åå
2
= =
i
1 1
j
&&&&
ijijjiij
--+=
.)(
dxxkdxxkxdxmxdxmdL
ijijjiij
Рассмотрим первую сумму в правой части полученного выражения. Ввиду
того что индексы суммирования
пробегают одни и те же значения, мы можем
(49.7)
(49.9)
произвести их переименование:
i j
=
jiij
, при этом
j i
&&&&
.
xdxmxdxm
ijji
Если теперь использовать свойства симметрии (49.8) кинематических коэффициентов
m
, то можно записать:
ij
i j
&&&&
=
jiij
i j
.
xdxmxdxm
ijij
(49.10)
Аналогичным образом можно показать, что
.
dxxkdxxk
(49.11)
ijij
i j
=
jiij
i j
Таким образом, с учетом равенств (49.10) и (49.11) полный дифференциал
функции Лагранжа (49.9) можно окончательно представить в виде:
s
=
Отсюда следует, что
s
s
æ
ç
ç
i
j
è
dL
=
&
xd
i
ö
÷
&&
-
i
jij
÷
ø
s
&
;
xm
jij
1å=
j
dx
åååå
i
dL
s
æ
ç
ç
1 11 1
= == =
j
è
-=
i
ö
÷
.
dxxkxdxmdL
i
jij
÷
(49.12)
ø
s
.
xk
jij
1å=
j
Поэтому уравнения Лагранжа, описывающие малые колебания рассматриваемой системы вблизи ее положения устойчивого равновесия, можно представить в виде:
s
å
j
&&
1
=
jijjij
==+
K
).,,2,1(0)(
sixkxm
(49.13)
Они образуют систему s-линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными и действительными коэффициентами.
Частные решения системы (49.13) будем искать в виде:
ti
w
jj
),,,2,1()( sjeAtx
K==
(49.14)
149
где
w
w
www
=
=
w
w
w
(
)
-
D
A – некоторые неизвестные постоянные, подлежащие определению. Под-
j
ti
ставляя (49.14) в (49.13) и сокращая на
w
e
, получаем систему линейных и од-
нородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд
s
å
j
1
=
w
2
j
ijij
).,,2,1(0)(
siAmk
K==-
(49.15)
Для того чтобы эта система имела нетривиальные решения, ее определитель
должен обращаться в нуль, т. е.
:
A
j
mk
w
,02=-
(49.16а)
ijij
или
2
11
2
21
2
1
2
1211
2
2221
2
21
;;;
K
;;;
K
;;;
K
2
2
---
mkmkmk
www
112
222
1
ss
2
---
mkmkmk
www
2
ss
.0
=
(49.16б)
................................................................
2
---
mkmkmk
www
ssssssss
Уравнение (49.16) называется характеристическим или вековым уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение степени s относи-
2
тельно
ных корней
w
и в общем случае имеет s различных вещественных и положитель-
2
aw
a
),,2,1(
sK=
. Определенные таким образом величины
a
назы-
вают собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из
корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты
частоты
называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие
a
21
, то колебание с частотой w называется дважды вырожден-
ным; могут быть и трехкратно вырожденные собственные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием
определенной симметрии ее равновесной конфигурации.
После того как собственные частоты системы
ти соответствующие им амплитуды
a
. Подставляя с этой целью какой-нибудь
A
j
определены, можно най-
a
корень векового уравнения
Если все собственные частоты системы
линейной алгебры, амплитуды
рам определителя
1
телям
s
-го порядка, получающимся из
)(
в систему уравнений (49.15), получим:
a
s
å
j
1
=
ww
-=D
2
w
a
a
A
пропорциональны соответствующим мино-
j
22
mk
системы уравнений (49.17), т. е. определи-
ijij
aa
a
j
ijij
различны, то, как известно из
a
2
)(
w
D
вычеркиванием j-го столбца и
a
).,,2,1(0)(
siAmk
K==-
(49.17)
какой-нибудь (обычно, последней) строки. Обозначая эти миноры через
можно записать:
где
a
ba
i
ebB =
– произвольная комплексная постоянная.
aa
jj
aa
150
),,,2,1( sjBA
K=D=
(49.18)
,
a
j
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]