Теоретическая механика. Механика сплошных сред. Учебное пособие

где )/(

+

=

m

+

=

m

u

r

n

r

u

r

χ

nrr

u

=

rrr

()(

)

222

r

mmmm

– приведенная масса частиц, вступающих в реакцию;

21210

)/(

mmmm

– приведенная масса частиц, рождающихся в ходе ядерной

4343

реакции, а u – их относительная скорость.

Из закона сохранения энергии (25.1) находим абсолютное значение относительной скорости частиц

m

3

и

m

u

:

4

2

2μ

u

=

Q-

00

. (25.2)

μ

Направление относительной скорости столкновений, задаем с помощью единичного вектора направлением скорости

Скорость

порог

налетающей частицы

0

/2)(

mu

Q

= называют пороговой скоростью налетающей

00

так же, как и в случае упругих

, составляющего с

m угол

1

, т. е.

.

частицы. Чтобы реакция могла произойти, энергия налетающей частицы должна быть существенно больше ее порогового значения, равного

2

)(

m

)(

E

1

порог

Определим скорости частиц

m

3

и

u

01

порог

2

, родившихся в ходе ядерной реакции.

m

4

Q

æ ç

1

ç è

ö

m

1

÷

+==

. (25.3)

÷

m

2

ø

По аналогии с формулами (24.6) скорости указанных частиц в ц-системе можно представить в виде:

r

¢

30

m

=

4

mm

+

43

Эти скорости удовлетворяют требованию: 0

r

¢

n

uu

,

40

m

-= +

¢

=

r

3

n

uu

mm

. (25.4)

43

¢

+

mmP , т. е. закону

=

uu

404303

сохранения импульса в ц-системе, и приводят к правильному выражению для кинетической энергии частиц

¢

T

m и 4m

3

=

относительно их центра масс:

2

¢

mm

303

+

2

¢

uu

404

2

mu

=

.

В лабораторной системе отсчета можно показать, что искомые скорости

частиц

m

3

и

оказываются равными:

m

4

rr

¢

=

rr

¢

=

4

m

r

n

+

mm

43

r

3

n

+

mm

+

43

¢

cV

303

m

=+

+

r

¢

cV

404

-=+

m

r

1

+

m

,

uuuu

0

mm

21

1

mm

+

(25.5)

r

.

uuuu

0

21

§ 26. Основы классической теории рассеяния частиц

Задача о рассеянии частиц в поле центральной силы представляет собой вторую задачу, связанную с упругими столкновениями частиц. Она допускает как чисто классическое, так и квантово-механическое решение. Если рассеиваемые частицы имеют масштабы атома, то наиболее полным и строгим является решение, получаемое с помощью квантовой механики. Классическое решение задачи получим на основе общей теории движения в центральносимметрическом поле, его следует рассматривать как некоторое приближение к точному квантовомеханическому решению.

81

1. Постановка задачи о рассеянии частиц. Пусть однородный пучок оди-

u

r

W

(

)

(

)

+

u

r

m

(

)

+

=

m

u

r

¥

®

r

наковых частиц с массами расстояния на некоторую совокупность частиц-мишеней (с массами

m и скоростями

1

падает с бесконечно большого

¥

m ), по-

2

коящихся относительно лабораторной системы отсчета (например, в известных опытах Резерфорда пучок a-частиц падает на листок металлической фольги, содержащей огромное число атомов, находящихся друг от друга на расстояниях, превышающих размеры их ядер (мишеней) примерно на четыре порядка). В результате взаимодействия налетающих частиц с частицами-мишенями происходит рассеяние и тех и других. Зная закон взаимодействия между частицами

m

времени в элемент телесного угла время в элемент телесного угла

и

1

m

, требуется определить число частиц

2

d , и число частиц 2m , рассеивающихся за то же

1

d .

2

m

, рассеивающихся в единицу

1

Решение поставленной задачи упрощается, если пучок налетающих частиц

m и

1

совокупность частиц-мишеней достаточно разрежены. В этом случае можно пренебречь взаимодействием между частицами одного и того же сорта, а столкновения между частицами пучка и частицами-мишенями считать однократными. Это позволяет свести задачу к задаче об инфинитном относительном движении в системе двух взаимодействующих частиц

лентной задаче о движении фиктивной m-частицы в поле

m и 2m или к эквива-

1

rU силового центра O ,

совпадающего с центром масс какой-нибудь одной пары частиц (системы отсчета, связанные с центрами масс различных пар частиц

m

m и 2m ,

1

и

m

2

покоятся относительно друг друга, центры масс движутся относительно л-системы с одинаковой скоростью, равной

/ mmm

¥

). Систему отсчета, связанную с

211

силовым центром O , условимся называть ц-системой.

Таким образом, задача о рассеянии достаточно разреженного пучка частиц частиц-мишеней

m сводится к задаче о рассеянии пучка фиктивных

2

m и

1

-частиц

полем неподвижного силового центра O . Поэтому, прежде чем приступить к нахождению угловых распределений для реально рассеивающихся частиц, необходимо предварительно решить такую же задачу для фиктивных m-частиц.

2. Эффективное сечение рассеяния m-частиц. Рассмотрим рассеяние не-

подвижным силовым центром O однородного пучка m-частиц с массами

/ mmmm

нулю при

2

=muE .

2/

¥

и скоростями

2121

поэтому ее полную энергию можно представить в виде

,

. Потенциальная энергия m-частицы стремится к

¥

Поток m-частиц будем характеризовать его интенсивностью (или плотностью) n, т. е. числом частиц, проходящих в единицу времени через единицу

площади поперечного сечения пучка, выбранного на достаточно большом удалении от рассеивающего силового центра.

Рассеяние m-частиц силовым центром O происходит по траекториям гиперболического типа (рис. 5.4). Траектория рассеяния каждой m-частицы характе-

82

ризуется двумя параметрами: прицельным параметром r и углом рассеяния c.

r

(

)

crr

=

c

r

(

)

c

r

(

)

ccc

+

(

)

rrr

+

c

+

r

+

r

pr

=

s

m

(

)

ccc

+

(

)

r r+r

Под прицельным параметром частицы понимают кратчайшее расстояние, на котором частица прошла бы мимо рассеивающего центра, если бы силовое поле отсутствовало. Углом рассеивания m-частицы c называют угол между асим-

птотами к ее траектории (напомним, что этот угол одновременно является углом рассеяния в ц-системе для реальных частиц

существует функциональная зависимость

m и 2m ). Между параметрами

1

, причем производная

и c

dd / –

величина отрицательная. Последнее нетрудно понять, если учесть, что при увеличении параметра r на частицу в любом ее положении относительно рассеи-

вающего центра будет действовать меньшая сила, в результате чего происходит уменьшение угла c. В некоторых случаях функция

может оказаться

многозначной.

æ

dæ

z

æ+d æ

d

æ

0

На угол c, принадлежащий интервалу частицы, прицельные параметры r которых заключены в интервале

d

, , могут рассеяться только те

d

, .

Поэтому искомое число m-частиц, рассеивающихся в единицу времени на угол

, заключенный между значениями c и

d

, будет равно произведению

плотности пучка n на площадь кольца между окружностями с радиусами r и

d

, т. е.

.2

dndN

(26.1)

Полученное число dN неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка частиц. Поэтому вместо числа dN вводится отношение

Величину

dN

d == (26.2)

d , имеющую размерность площади, называют эффективным

n

.2

rprs

d

дифференциальным сечением рассеяния. Оно определяет относительное число

-частиц, рассеивающихся в единицу времени в заданный, бесконечно узкий

интервал угла рассеяния деляется видом рассеивающего поля

d

, . Эффективное сечение рассеяния sd опре-

rU и поэтому является важнейшей ха-

рактеристикой процесса рассеяния.

83

Если связь между параметрами r и c взаимно однозначна, то дифферен-

(

)

(

)

ccpcs

=

(

)

c

r

c

ccp

=

W

c

(

)

c

+

(

)

s

(

)

W

c

W

(

)

c

(

)

=

p

r

=

r

p

c

=

(

)

ò

=

(

)

циальное сечение рассеяния m-частиц можно представить в виде:

cr

d

()

d 2= (26.3)

cprs

d

c

d

c

или

где

Если функция

многозначна, то в правой части равенства (26.3) необ-

ходимо взять сумму выражений

r

()

c

F =-= (26.5)

d

c

d

crpr

dd /2

по всем ветвям этой функции.

,sin2

dFd

(26.4)

r

r c

r

d

sinsin

.

c

d

Физический смысл функции F(х) становится очевидным, если в выражении (26.4) перейти от элемента плоского угла рассеяния

угла

dd sin2

, под которым виден из центра поля O (рис. 4) бесконечно

d

к элементу телесного

малый элемент поверхности сферы единичного радиуса, высекаемый конусами с углами раствора

и

2

и

2 . Формулы (26.3) и (26.4) при этом принимают вид:

d

r

sin

cr

c

d

W

d

s

d

=

W= d

(26.3а)

c

()

.

c

F

(26.4а)

Функция F(х) определяет относительное число частиц, рассеиваемых в единицу времени в единичный телесный угол. Величину

dF

можно сопос-

тавлять с вероятностью рассеяния отдельной частицы в элемент телесного угла

d

, а функцию

F – с ее плотностью. Если угол рассеяния

может

изменяться от 0 до p, то имеет место следующее равенство:

=

p

ò

c

ccccr

.sin2

dF

0

(при лобовом ударе

(26.6)

0

и

2

() ()

В этом легко убедиться, если учесть, что

).

Кроме дифференциального сечения, очень часто рассматривают полное эффективное сечение рассеяния, которое можно получить интегрированием

выражения (26.3) или (26.4) по всем допустимым значениям угла c, т. е.

= .sin2

cccps

dF

(26.7)

Полное сечение рассеяния равно отношению общего числа частиц ND, рассеиваемых в единицу времени по всем направлениям, к плотности падающего пучка n. В том случае, когда взаимодействием m-частицы с рассеивающим

центром (или взаимодействием между частицами начиная с некоторого расстояния

rr

, полное сечение рассеяния оказывается

эфф

m и 2m ) можно пренебречь,

1

равным

2

;

r

ps

= (26.8)

эфф

величину

r называют эффективным радиусом взаимодействия.

эфф

84

3. Эффективные сечения рассеяния налетающих и первоначально покоя-

ц

Q

(

)

s

<

(

)

Q

c

QQ=

W

p

s

<

=

(

)

(

)

>

(

)

Q

c

>

(

)

Q

c

(

)

Q

c

(

)

s

(

)

Q

c

щихся частиц. В общем случае, когда

m ~2m формула (26.3) определяет эффек-

1

тивные сечения рассеяния этих частиц в зависимости от угла рассеяния c в

-системе. Для нахождения эффективных сечений рассеяния тех же частиц в

лабораторной системе отсчета необходимо в этой формуле выразить c через углы рассеяния

1

и

с помощью диаграмм столкновения. При этом удобно

2

исходить из формулы (26.4), переписанной в виде:

dFd =

Запишем сначала дифференциальное сечение рассеяния

1.

m

. При этом возможны три различных случая:

1

mm

. Зависимость

21

в этом случае однозначно определяется фор-

1

частиц

мулой (24.14), при этом

2

ö

æ

m

1

÷

ç

÷

ç

m

2

ø

è

2

ö

æ

m

1

÷

ç

÷

ç

m

2

ø

è

2

ö

m

1

÷ ÷

m

2

ø

2

ö

æ

m

1

÷

ç

÷

ç

m

2

ø

è

cos4cos2,2 WQ=QQ= dd

cos2

d

где

sin2

dd

тающих частиц при

2.

mm

. Это наиболее простой случай, когда

21

é ê ê

2

m

cp

( )

1

cos

ê

m

2

ê ê ê

ë

. Следовательно, эффективное сечение рассеяния

111

mm

имеет вид:

21

é ê ê

2

m

( )

[ ]

Fd

cs

11

1

cos

ê

m

2

ê ê ê

ë

+

+Q=Q d

1

-

æ ç

+

ç è

+Q×Q= d

1

-

cpc

.cos2

ccps

(26.9)

d для налетающих

1

ù ú

2cos1

Q

1

ú

,

W

ú ú

2

sin1

Q

ú

1

ú

û

(26.10)

1

d нале-

1

ù ú

2cos1

Q

1

ú

.

W

(26.11)

ú

1

ú

2

sin1

Q

ú

1

ú

û

(26.12)

1111

1

s

при

mm

имеет две ветви:

21

и, следовательно,

3.

mm

. Функция

21

ределяемые формулами (24.19), при этом величина формулой (26.10), а

é ê ê

2

m

cp

( )

12

cos2

d

1

m

cos

2

1

ê ê ê ê

ë

Чтобы получить сечение рассеяния ражение (26.9) по обеим ветвям функции

+

+Q-=Q d

-

d необходимо просуммировать вы-

1

2

ö

æ

m

1

÷

ç

÷

ç

m

2

ø

è

ö

æ

m

1

÷

ç

÷

ç

m

2

ø

è

. В результате находим:

85

.cos24

WQQ= dFd

(26.13)

1111

и

11

cos2 Q

cp

d определяется

11

ù ú

2cos1

Q

1

ú

.

W

(26.14)

ú

2

sin1

Q

1

ú ú

1

ú

û

12

, оп-

( )

Q

Q-=

p

c

(

)

s

(

)

QQ=

W

p

(

)

crr

=

jpc

±

=

[ ]

Fd

cs

( )

[ ]

F

c

12

Зависимость от угла c отдачи частиц

m и 2m имеет вид

1

m

æ ç

ç è

m

2

ö

m

1

÷ ÷

m

2

ø

2

ö

æ

m

1

÷

ç ç

è

1

2

1

2

sin1

÷

m

2

ø

2

ö ÷

2cos1

÷ ø

ö ÷

÷ ø

Q

2

sin1

QQ=Q dd

222

é ê ê

2

m

1

cos

ê

111

m

2

ê ê ê

ë

é ê ê

2

m

1

m

cos

2

ê ê

+Q-×Q+

1

ê ê

ë

2

, откуда

2

+

+Q×Q=

1

-

æ

m

ç

+

ç

m

è

æ ç

-

ç è

при любом соотношении между массами

2

c

Q

.2sin2cos

ù ú

2cos1

Q

1

ú

+W

d

ú

1

ú

2

Q

ú

1

ú

û

(26.15)

ù ú

1

ú

.

W

d

ú

1

ú ú

1

ú

û

Поэтому дифференциальное сечение рассеяния щихся частиц с массами

где

sin2

dd

m равно:

2

.

222

ps

d

первоначально покоя-

2

.cos24

QQQ-= dFd

(26.16)

2222

§ 27. Определение функциональной зависимости Обратная задача теории рассеяния

.

Вычисление дифференциального сечения рассеяния сводится, как это вид-

но из формулы (26.3), к нахождению функциональной зависимости прицельно-

го параметра r от угла рассеяния c. Рассмотрим с этой целью траекторию рассеяния какой-либо m-частицы (рис. 5.5). Траектория частицы, движущейся в цетральносиммегрическом поле, симмет-

Рис. 5.5

рична относительно ее апсиды

OP

. Если угол между этой

прямой и направлением падающего пучка обозначить через 0j, то угол рассеяния c можно представить в виде:

,2

m

0

(27.1)

где верхние знаки соответствуют полям отталкивания, а нижние – полям притяжения. Угол 0j определяется интегралом

L

¥

=

j

0

ò

r

min

2

m

dr

2

r

[ ]

()

rUE

86

.

2

L

--

2

r

(27.2)

Чтобы эта связь между параметрами r и c стала более очевидной, выразим

rmua

mu

=

2

r

(

)

c

r

u

r

(

)

c

r

=

момент импульса частицы через ее прицельный параметр. С помощью рис. 5.5 можно показать, что

rL

.sin

¥¥¥

(27.3)

Кроме того, как уже указывалось выше,

2

¥

=muE (27.4)

.

Подставляя в (27.2) выражения (27.3), (27.4) и учитывая соотношения

(27.1), окончательно находим:

±

m

2

¥

cp

=

ò

r

min

1

dr

2

r

2

r

--

r

mu

,

(27.5)

()

rU

22

¥

где верхний знак перед c соответствует полям отталкивания. Этим соотношением и определяется искомая функциональная зависимость

.

§ 28. Формула Резерфорда

Рассмотрим пример применения классической теории рассеяния к исследованию рассеяния бесспиновых заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона

()

rUa= (28.1)

Допустим, что однородный пучок частиц массами стями мишеней массами действия (28.1) равна

падает на некоторую совокупность первоначально покоящихся частиц-

¥

m и зарядами eZ

2

eZZ ). Вычислим сначала дифференциальное сечение

21

2

.

r

m

, зарядами

1

eZ

и скоро-

1

(при этом постоянная a в законе взаимо-

кулоновского рассеяния в ц-системе. Необходимую для этого зависимость можно получить, обращаясь к общей формуле (27.5):

1

ö

æ

d

r

÷

mu

ç

r

ø

è

12

a

2

r

¥

.

(28.2)

2

r

--

2

r

-

cp

2

¥

-=

ò

r

min

1

Переходя в формуле (28.2) к новой независимой переменной полняя элементарное интегрирование, получим:

0

cp

-

arccos

=

2

1

r

a

+

x

+

2

rmu

¥

2

æ ç

ç è

ö

a

÷

2

÷

rmu

¥

ø

arccos

=

æ

mu

ç

1

+

ç

a

x

max

è

87

rx /1

и вы-

1

2

¥

,

2

ö

2

÷

r

÷ ø

2

c

2

<<

=

л

<<

®

m

Q

®

c

=

s

=

m

Q

2

ö

æ

mu

откуда .

ç

1

+

ç

a

è

Из (25.3) находим: .

2

¥

÷

r

÷ ø

æ

2

ç

r

=

ç è

=

mu

a

sin

2

¥

1

c

2

ö ÷

÷ ø

ctg

c

2

(28.4)

2

(28.3)

Дифференцируя выражение (28.4) по углу c и подставляя полученный результат в формулу (26.3) или (26.4), искомое дифференциальное сечение куло-

новского рассеяния в ц-системе можно представить в виде:

mu

W

4

2

ö

( )

cos1

a

÷

2

÷

¥¥

ø

d

( )

-

c

-

2

cos1

c

(28.6)

c

2

cos

mu

ö

a

÷

2

÷ ø

d

s

sin

2

dd (28.5)

c

3

æ

a

ç

=

ç

2

mu

¥

è

æ ç

ps

=

ç è

или .

æ ç

2

pc

=

ç è

2

ö

d

÷

2

÷ ø

sin

Выражение (28.5) или (28.6) называют формулой Резерфорда. Из этой формулы видно, что дифференциальное сечение кулоновского рассеяния не зависит от того, притягиваются заряженные частицы друг другом или отталкиваются, несмотря на то, что траектории взаимодействующих частиц в этих двух случаях различны.

Перейдем теперь к л-системе, ограничившись рассмотрением наиболее интересных случаев:

Чтобы получить дифференциальное сечение рассеяния налетающих частиц

-системе для случая

замену

m

,

1

при этом эффективное сечение 0

mm

и

21

mm

, достаточно в формуле (28.5) или (28.6) произвести

21

mm

.

21

. В результате получаем:

2

m

ö

W

a

u

1

¥

d

sin

1

Q

4

÷

2

÷ ø

2

æ ç

=

d

s

1

ç

2

è

d (частицы-мишени продолжают оста-

,

(28.7)

1

m в

1

ваться в покое и после столкновений).

Формула (28.7) была впервые получена Резерфордом в 1911 г. На основе сопоставления этой формулы с экспериментальными данными по рассеянию aчастиц Резерфорд пришел к открытию атомного ядра. Немаловажную роль при этом сыграло следующее обстоятельство: классическое дифференциальное сечение кулоновского рассеяния, как выяснилось позже, в точности совпадает с квантово-механическим сечением, вычисленным без учета релятивистских эффектов. Открытие атомного ядра, возможно, задержалось бы на многие годы, если бы не это поразительное совпадение, обеспечившее правильность классического доказательства его существования.

Если массы налетающих частиц и частиц-мишеней одинаковы (т. е.

mmm

; 2/m

21

углом отдачи

), то связь угла c с углом рассеяния

первоначально покоящихся частиц определяется соотноше-

2

налетающих и

1

88

ниями:

Q

=

c

Q-=

p

c

a

s

Q

2

1

и

2

. Подстановка этих соотношений в формулу (28.5)

2

приводит к следующим выражениям эффективных сечений для налетающих и первоначально покоящихся частиц:

2

æ ç

=

d

s

1

ç è

и .

=

d

s

2

ö

cos

2

a

÷

2

÷

m

u

¥

ø

æ

2

a

ç

2

ç

m

u

¥

è

Q

1

W

d

4

sin

Q

2

ö

W

d

÷

3

÷

cos

ø

1

2

(28.9)

Q

2

(28.8)

Если у обеих частиц одинаковы не только массы, но и другие характеристики, т. е. частицы тождественны между собой (например, при рассеянии

-частиц в парах гелия), то после рассеяния не имеет смысла различать налетающие и первоначально покоящиеся частицы. Эффективное дифференциальное сечение рассеяния, общее для всех частиц, очевидно, можно получить, складывая

d и

d заменяя углы

1

2

1

и

единым углом Q. Получаемое при этом

2

эффективное сечение кулоновского рассеяния тождественных частиц оказывается равным:

2

m

ö

a

2

u

¥

12

é

÷

ê

÷

sin

Q

ë

ø

1

+

cos

ù

44

ú

Q

û

..cos

WQ

d

(28.10)

æ ç

d

=

s

клас

ç è

Однако при сопоставлении этой формулы с экспериментальными данными

(например, по рассеянию a-частиц гелием) сразу же обнаруживается ее несо-

стоятельность. Как показывает квантовая механика, дифференциальное сечение такого процесса в действительности описывается формулой, существенно отличающейся от (28.10):

é

2

ê

m

ö

a

2

u

¥

12

ê

÷ ÷

ê

sin

ø

Q

ê ê

ë

1

+

cos

+

44

Q

æ ç

квант

=

ç è

d

s

2

é

a

ê

u

h

¥

ë

22

cossin

ù

2

tglncos2

Q

ú

ú û

ú ú

QQ

..cos

WQ

d

(28.11)

ú ú

û

Появление в квантово-механической формуле (28.11) дополнительного интерференционного члена обусловлено полной неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике (в классической механике одинаковые частицы можно различать по траекториям), приводящей к специфическому квантовому эффекту, так называемому обменному взаимодействию тождественных

частиц. Интерференция, описываемая дополнительным членом в формуле (28.11), приводит к существенному увеличению дифференциального сечения рассеяния (например, на угол

o

45 – почти в два раза).

Контрольные вопросы

1 . Какой процесс называется столкновением частиц?

2. В чем суть двух задач о столкновениях частиц?

3. Как определяются скорости частиц в ц-системе до столкновения?

4. Как определяются скорости частиц в л-системе после столкновения?

89

5. В чём заключается упругое столкновение частиц, когда масса налетающей

частицы меньше массы первоначально покоящейся частицы?

6. Как решается задача о кинематике ядерных реакций?

7. Сформулируйте постановку задачи о рассеянии частиц.

8. Что называется эффективным дифференциальным сечением рассеяния?

полным эффективным сечением рассеяния?

9. Что называется прицельным параметром? углом рассеяния? Какая существует

связь между ними?

10. Как найти дифференциальное сечение рассеяния в л-системе?

11. Какое значение имеет формула Резерфорда?

12. Чем отличается классическое эффективное дифференциальное сечение

рассеяния от квантово-механического?

90